1. Richiami sui problemi di campo

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(1)

G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

In questa Nota prima elencheremo le classi di problemi che in questo Corso sono discussi e risolti numericamente. I problemi trattati sono suddivisi in 5 classi:

- soluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari;

- soluzione di sistemi di equazioni algebriche non lineari;

- soluzione di equazioni differenziali a derivate ordinarie con condizioni iniziali;

- soluzione di equazioni differenziali a derivate parziali con condizioni al contorno (ed iniziali);

- soluzione di equazioni integrali.

Discuteremo poi il concetto di problema ben posto. Infine richiameremo alcuni problemi canonici di campo in vista della loro soluzione numerica al calcolatore.

Descriveremo l’equazione della diffusione, l’equazione di Poisson, l’equazione di Helmholtz ed alcuni problemi canonici di elettromagnetismo risolti attraverso formulazioni differenziali e formulazioni integrali.

1.1 Equazioni algebriche lineari

La soluzione dell’equazione algebrica lineare

ax= b (1.1)

è il problema più semplice della matematica. La soluzione è (per a! 0)

x=b

a. (1.2)

La soluzioni di un sistema di n equazioni algebriche lineari (con n finito) nelle n incognite x1, x2,..., xn

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G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

a11x1+ a12x2 + ...+ a1nxn = b1

a21x1+ a22x2 + ...+ a2nxn = b2

...

an1x1+ an2x2+ ...+ annxn = bn.

!

"

##

$

##

(1.3)

è un problema molto più complicato. Questo problema, oltre ad essere un modello matematico di sistemi fisici, ha un ruolo basilare nel calcolo numerico. Ad esempio, la discretizzazione di equazioni differenziali a derivate parziali lineari con condizioni al contorno assegnate e di equazioni integrali lineari porta, come vedremo, alla risoluzione di sistemi algebrici lineari.

Il sistema (1.3) può essere espresso in modo più compatto utilizzando la notazione matriciale

Ax = b (1.4)

dove x= x1, x2,..., xn T !Rn ( Cn) è il vettore colonna delle incognite, b= b1,b2,...,bn T !Rn ( Cn) è il vettore colonna dei termini noti e A= a

( )

ij ,

i, j= 1,2,...,n , è la matrice quadrata di ordine n dei coefficienti aij, A : Rn ! Rn ( Cn! Cn). La soluzione dell’equazione (1.4) è (se A è invertibile)

x = A!1b , (1.5)

dove A!1 è l’inversa della matrice A. Il costo per il calcolo dell’inversa di una matrice può essere troppo elevato anche per i più potenti calcolatori attualmente disponibili. Bisogna ricorrere, come vedremo, a tecniche molto elaborate per risolvere l’equazione (1.4) con costi di calcolo accettabili.

1.2 Equazioni algebriche non lineari

Consideriamo ora la classe delle equazioni algebriche non lineari. Il problema più semplice è la soluzione di una singola equazione algebrica non lineare

f x

( )

= 0 . (1.6)

La soluzione di questa equazione non può essere espressa in forma chiusa (con qualche eccezione) e, quindi, bisogna ricorrere a metodi approssimati. Come vedremo la soluzione di un’equazione algebrica non lineare può essere ricondotta alla risoluzione di una successione di equazioni algebriche lineari.

Un sistema di equazioni algebriche non lineari di dimensione finita

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G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

f1

(

x1, x2,.., xn

)

= 0

f2

(

x1, x2,.., xn

)

= 0

...

fn

(

x1, x2,.., xn

)

= 0

!

"

##

$

##

(1.7)

può essere sia il modello matematico di un sistema fisico, che il modello discreto di equazioni differenziali a derivate parziali non lineari con condizioni al contorno assegnate ed equazioni integrali non lineari. Il sistema (1.7) può essere espresso in modo più compatto utilizzando la notazione vettoriale

f x

( )

= 0 (1.8)

dove x!Rn e f : Rn ! Rn. Come nel caso di un’equazione algebrica non lineare, la soluzione di un sistema di equazioni algebriche non lineari può essere ricondotta alla risoluzione di una successione di sistemi di equazioni algebriche lineari.

1.3 Equazioni differenziali a derivate ordinarie

Consideriamo ora la classe delle equazioni differenziali a derivate ordinarie con condizioni iniziali assegnate. Il problema più semplice consiste nella soluzione dell’equazione

du

dt = f u;t

( )

(1.9)

con la condizione iniziale

u t

(

= t0

)

= u0. (1.10)

Questo problema, salvo qualche caso particolare, non ha soluzione in forma chiusa e, quindi, deve essere risolto attraverso tecniche numeriche approssimate. In realtà i metodi numerici per la soluzione di questo problema si estendono senza grosse difficoltà, almeno in principio, alla soluzione di un generico sistema di equazioni differenziali

du1

dt = f1

(

u1,u2,..,un;t

)

du2

dt = f2

(

u1,u2,..,un;t

)

...

dun

dt = fn

(

u1,u2,..,un;t

)

!

"

##

##

$

##

##

(1.11)

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G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

con la condizione iniziale

u1

(

t = t0

)

= u1( )0

u2

(

t= t0

)

= u2( )0

...

un

(

t = t0

)

= un( )0.

!

"

##

$

##

(1.12)

Il sistema (1.11) con la condizione iniziale (1.12) può essere espresso in modo più compatto utilizzando la notazione vettoriale

du

dt = f u;t

( )

, (1.13)

u t

(

= t0

)

= u0, (1.14)

dove u!Rn e f : Rn ! R " Rn.

Un sistema di equazioni differenziali a derivate ordinarie con condizioni iniziali assegnate può essere sia il modello matematico di un sistema fisico, che il modello discreto di equazioni differenziali a derivate parziali non lineari con condizioni al contorno ed iniziali assegnate. La soluzione di un sistema di equazioni differenziali a derivate ordinarie con condizioni iniziali assegnate può essere ricondotta alla soluzione di una successione di problemi algebrici lineari.

1.4 Equazioni differenziali a derivate parziali

Una grandezza di campo è una grandezza fisica che dipende dallo spazio ed, eventualmente, dal tempo. Le grandezze di campo sono scalari o vettoriali. Le leggi che governano le grandezze di campo sono espresse da equazioni differenziali a derivate parziali. L’esigenza di sviluppare modelli matematici basati su equazioni differenziali a derivate parziali nasce semplicemente dal fatto che la realtà fisica è pluridimensionale (tre dimensioni spaziali ed una temporale). Le equazioni che considereremo sono di seguito riportate. Nella seconda parte di questa Nota analizzeremo approfonditamente alcune di esse.

a. Equazione di diffusione scalare: u= u P;t

( )

, P!", t0 ! t ! tf

!u

!t " D#2u= b P;t

( )

(1.15)

dove !2

( )

è l’operatore laplaciano1, ! è la regione di spazio in cui il problema è definito e t!" 0,tf#$ è l’intervallo di tempo in cui il problema è definito. Essa descrive,

1 La divergenza di un campo vettoriale A ( ! " A ) è un campo scalare così definito: si consideri una regione Ω in cui A è definito, un dominio spaziale τ contenuto in Ω e limitato da una superficie chiusa

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G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

ad esempio, la propagazione del calore per diffusione attraverso un mezzo omogeneo ed isotropo. In questo caso u è la temperatura e D è un parametro caratteristico delle proprietà termiche del materiale.

b. Equazione delle onde scalare: u= u P;t

( )

, P!", t0 ! t ! tf

!2u

!t2 " c2#2u= b P;t

( )

. (1.16)

Essa descrive, ad esempio, la propagazione di onde trasversali di piccola ampiezza in una corda (ad esempio di chitarra), in una membrana elastica (ad esempio quella di un tamburo); essa può descrivere la propagazione di onde sonore o di onde elettromagnetiche (le componenti del campo). Qui u rappresenta l’ampiezza delle oscillazioni e c è la velocità di propagazione.

La variante

!2u

!t2 " c#2u+ m2u= b P;t

( )

, (1.17)

ottenuta aggiungendo all’equazione di propagazione il termine m2u , si chiama equazione di Klein-Gordon, importante in meccanica quantistica. Infine, l’altra variante

!2u

!t2 +" !u

!t # c2$2u= b P;t

( )

(1.18)

regolare Σ orientata con la normale rivolta verso l'esterno e sia V il volume di τ. Si faccia contrarre la regione τ attorno a un punto fisso P. Il limite per V! 0 (se esiste ed è finito indipendentemente dalla forma di Σ) del rapporto (

!

""SA! ndS)/ V è la divergenza di A in P. In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari si ha ! " A =#Ax/#x + #Ay/#y + #Az/#z dove Ax, Ay, Az sono le componenti del campo A nel sistema di coordinate considerato. Il teorema della divergenza afferma che

A! ˆndS

"V

! ##

=

###

V$ ! AdV dove !V è la frontiera della regione V con la normale ˆn rivolta verso l’esterno. In modo analogo si definisce la divergenza superficiale !s" As di un campo vettoriale superficiale As.

Il gradiente di un campo scalare U ( !U ) è un campo vettoriale così definito: si consideri una regione Ω in cui il campo scalare U è definito, un punto P0 di Ω, e una generica retta orientata s passante per P0 e un altro punto P di essa. Si faccia tendere a zero la distanza d P, P

(

0

)

tra P e P0. Il limite per d P, P

(

0

)

! 0 del rapporto incrementale U P"# ( )! U P( )0 $% / d P,P( 0) (se esiste ed è finito), al variare di s, corrisponde alla componente, secondo le direzione s, di un vettore univocamente individuato. Esso è il gradiente di U in P0. In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari si ha

!u = ˆx"u / "x + ˆy"u / "y + ˆz"u / "z.

L’operatore laplaciano !2( )" è per definizione dato da !2u= ! " !u( ). In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari si ha !2u= "2u /"x2+ "2u /"y2+ "2u /"z2.

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G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

ottenuta aggiungendo il termine ! "u / "t

( )

con ! > 0 descrive la propagazione in un mezzo dissipativo. L’equazione (1.18) dà anche l’equazione dei telegrafisti, che governa la propagazione dei segnali elettrici lungo una linea di trasmissione.

c. Equazione di Laplace (e di Poisson): u= u P

( )

, P!",

!2u= 0 . (1.19)

L’equazione di diffusione e l’equazione delle onde descrivono fenomeni evolutivi.

L’equazione di Laplace descrive le soluzioni stazionarie di entrambe queste equazioni quando i termini noti sono nulli. La sua variante non omogenea

!2u= b (1.20)

è l’equazione di Poisson. Le equazioni di Laplace e Poisson rivestono un ruolo fondamentale nell’elettromagnetismo stazionario e quasi-stazionario.

d. Equazione di Helmholtz scalare: u= u P;t

( )

, P!",

!2u+ k2u= b P

( )

(1.21)

dove k2 è una costante. L’equazione di Helmholtz descrive le soluzioni sinusoidali dell’equazione di diffusione e dell’equazione delle onde.

e. Equazione di Schroedinger: ! = ! P;t

( )

, P!", t0 ! t ! tf ,

!i!"#

"t = !

2m$2# + V P;t

( )

# (1.22)

dove i è l’unità immaginaria, ! la costante di Planck, m è la massa della particella e V = V P;t

( )

è l’energia potenziale della particella. Questa equazione descrive, in meccanica quantistica, l’evoluzione di una particella carica in un campo di forze a potenziale. La funzione ! 2 ha il significato di densità di probabilità.

f. Equazioni di Maxwell in mezzi continui lineari: d= d P;t

( )

, e= e P;t

( )

,

b= b P;t

( )

, h= h P;t

( )

, j= j P;t

( )

, P!", t0 ! t ! tf,

! " d =# (legge di Gauss) (1.23) ! " b = 0 (solenoidalità campo magnetico) (1.24) ! " e = #$b

$t (legge di Faraday-Neumann) (1.25) ! " h = j +#d

#t (legge di Ampere-Maxwell) (1.26)

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G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

dove ! " #

( )

denota l’operatore di rotore2 e d=!e b=µh

j=" e + E

(

m

)

(1.27)

sono le relazioni costitutive del mezzo che abbiamo supposto implicitamente lineare e non dispersivo; e è il campo elettrico, d è il campo di spostamento elettrico, h è il campo magnetico, b è il campo di induzione magnetica e j è il campo di densità di corrente; ! è la densità di carica elettrica. Il campo densità di corrente e il campo densità di carica soddisfano l’equazione di continuità della carica

!"

!t = #$ % j. (1.28)

Alle equazioni (1.24)-(1.26) e (1.28) bisogna aggiungere le condizioni di raccordo su eventuali superfici di discontinuità ! del materiale

ˆn! D

(

1" D2

)

# =$ , (1.29) ˆn! B

(

1" B2

)

# = 0, (1.30) ˆn! E

(

1" E2

)

# = 0, (1.31) ˆn! H

(

1" H2

)

# = jS, (1.32)

!"

!t = #$S% jS # ˆn % j

(

1# j2

)

&. (1.33) Abbiamo indicato il valore di ciascuna grandezza sulle due facce della superficie ! con i pedici “ 1” e “2”; ˆn è la normale alla superficie ! orientata dalla faccia “2” alla

2Il rotore di un campo vettoriale A ( ! " A ) è un altro campo vettoriale così definito: si consideri una regione Ω, in cui A è definito e sia P un punto di tale regione. Data una qualsiasi superficie aperta S passante per P, sia γ la linea chiusa orientata (l'orientazione di γ e la normale n devono essere concordi secondo la regola del cavatappi), che ne costituisce l'orlo. Si faccia contrarre la superficie S attorno a P mantenendo fissa la normale n a S in P. È possibile dimostrare che, al variare di n il limite per S! 0 (se esiste ed è finito indipendentemente dalla forma di S e γ ) del rapporto

A! tdl

"

(

!#

)

/ S corrisponde alla componente, secondo le direzione n, di un vettore univocamente individuato. Esso è il rotore di A in P. In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari si ha

! " A = ˆx# / #x + ˆy# / #y + ˆz# / #z( )" (Axˆx+ Ayˆy+ Azˆz) effettuando formalmente i prodotti vettoriali considerati.

Il teorema del rotore afferma che

!#

"SA! ˆtdl=

##

S($ % A)! ˆndS dove !S è la frontiera della superficie (aperta) S: il versore ˆt tangente alla frontiera !S e la normale ˆn alla superficie S hanno versi concordi con la regola della “mano destra”.

(8)

G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

faccia “1”; ! è la densità di carica superficiale e jS è il campo di densità di corrente superficiale.

g. Equazione di Poisson non lineare: u= u P

( )

, P!",

!2u= F u;P

( )

(1.34)

Un’equazione di questo tipo governa i fenomeni di carica spaziale in equilibrio statico, come, ad esempio, nelle giunzioni tra due semiconduttori.

Figura 1.1 Tipico andamento di una funzione non lineare con saturazione.

h. Equazione di diffusione non lineare: u= u P;t

( )

, P!", t0 ! t ! tf tale che

!b

!t " #2u= f P;t

( )

b= B u

( )

$

%&

'&

(1.35)

dove

B = B

( )

u è una funzione non lineare continua, invertibile e differenziabile del tipo illustrato in Figura 1.1. Un’equazione di questo tipo governa, ad esempio, la diffusione del campo magnetico in un materiale conduttore ferromagnetico.

i. Un’equazione di propagazione non lineare: u= u P;t

( )

, P!", t0 ! t ! tf tale

che

!2d

!t2 " #2u= f P;t

( )

d = D u

( )

$

%&

'&

(1.36)

dove

D = D

( )

u è una funzione non lineare continua, invertibile e differenziabile.

Un’equazione di questo tipo governa, ad esempio, la propagazione in un dielettrico non lineare del tipo illustrato in Figura 5.1.

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Tutte le equazioni a derivate parziali considerate devono essere risolte con opportune condizioni al contorno. Per le equazioni (1.15)-(1.18), (1.22)-(1.28), (1.35) e (1.36) bisogna assegnare anche opportune condizioni iniziali. Osserviamo che le equazioni (0.25), (0.26) e (1.28) implicano le equazioni (0.23) e (1.24) se queste ultime sono verificate all’istante iniziale.

In questo Corso introdurremo i principi sui quali si basano i metodi numerici per risolvere le equazioni a derivate parziali con condizioni al contorno. In generale, la soluzione di un’equazione differenziale a derivate parziali con condizioni al contorno può essere ricondotta alla soluzione di una successione di sistemi di equazioni algebriche; la soluzione di un’equazione differenziale a derivate parziali con condizioni al contorno e condizioni iniziali può essere ricondotta alla soluzione di una successione di sistemi di equazioni differenziali a derivate ordinarie.

1.5 Equazioni integrali

Consideriamo ora la classe delle equazioni integrali. L’esigenza di sviluppare modelli matematici basati su equazioni integrali nasce essenzialmente dalla necessità di limitare il dominio di definizione delle grandezze incognite. Ιn questo Corso considereremo solo qualche esempio di equazione integrale allo scopo di illustrarne le caratteristiche fondamentali.

Un esempio molto semplice di equazione integrale è il seguente. Consideriamo un corpo metallico che occupa la regione ! e sia !" la sua frontiera. La densità di carica elettrica superficiale ! = ! P

( )

che nasce su !" quando il potenziale elettrico del corpo è uguale a U0 (il potenziale elettrico all’infinito è posto uguale a zero), è soluzione dell’equazione integrale

G r

( )

PQ

!"

#

$ Q

( )

dSQ = U0 %P &!" (1.37) dove rPQ è la distanza tra i punti P e Q ,

G r

( )

= 4!"1

0

1

r (1.38)

è la funzione di Green per il vuoto dell’elettrostatica e !0 è la costante dielettrica del vuoto. L’equazione (0.28) è un esempio di equazione integrale di Fredholm di prima specie (la funzione incognita compare solo sotto l’operatore integrale).

Una volta risolta l’equazione (1.37) è possibile determinare attraverso l’integrale di Coulomb il potenziale elettrico (e quindi anche il campo elettrico) in tutto lo spazio

U P

( )

=

#

!"G r

( )

PQ $ Q

( )

dSQ. (1.39)

Il potenziale U P

( )

può essere ottenuto anche risolvendo il problema differenziale:

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G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

!2U = 0 "P #$% \$ (1.40) con

U !" = U0 (1.41)

U regolare all’infinito (1.42) dove !" è l’intero spazio e !" \! è la regione complemento della regione ! occupata dal corpo metallico rispetto all’intero spazio !". In questo caso, però, il dominio di definizione dell’incognita è !" \! , che è un dominio illimitato, e ciò rappresenta un grosso problema nella soluzione numerica. La formulazione integrale non soffre di queste limitazioni perché la grandezza incognita è la sorgente del campo, quindi il dominio in cui essa è definita è intrinsecamente limitato.

Come vedremo anche la soluzione di un’equazione integrale può essere ricondotta alla soluzione di una successione di sistemi di equazioni algebriche.

1.6 Problemi ben posti

Nella soluzione di un problema del tipo che abbiamo appena descritto è fondamentale stabilire condizioni sui dati affinché il problema abbia le seguenti caratteristiche:

a) esista almeno una soluzione;

b) esista una sola soluzione;

c) la soluzione dipenda con continuità dai dati.

L’esistenza e l’unicità della soluzione garantisce che il modello “sta in piedi”, nel senso che ha le potenzialità per rappresentare adeguatamente un fenomeno osservabile e ripetibile. La condizione c) richiede che ad una piccola variazione dei dati corrisponda una piccola variazione della soluzione. Si tratta di una proprietà molto importante, denominata anche stabilità locale della soluzione rispetto ai dati. La soluzione numerica (con il calcolatore) di un problema che non verifica questa condizione può essere molto lontana dalla soluzione vera a causa degli errori (inevitabili) dovuti alle procedure di calcolo. Un problema si dice ben posto secondo Hadamard se possiede le caratteristiche a), b) e c).

1.7 Equazione di diffusione

In questa paragrafo ed in quelli successivi deriveremo e/o commenteremo alcune equazioni di campo di particolare interesse sia teorico che applicativo. In particolare, affronteremo il problema dell’unicità della soluzione. Iniziamo con l’equazione di diffusione, che è un’equazione di campo scalare.

1.7.1 Problema della diffusione del calore

È utile mostrare almeno in un caso come si costruisce un’equazione di campo. In questa sezione ricaveremo l’equazione di diffusione del calore. Consideriamo la

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G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

diffusione del calore per conduzione in un corpo rigido, omogeneo ed isotropo, con densità di massa costante, che può ricevere energia da una sorgente esterna (per esempio, dal passaggio di corrente elettrica all’interno del corpo o da una reazione chimica, oppure per irraggiamento dall’esterno). Indichiamo con ! la regione di spazio occupata dal corpo e con !" la sua frontiera, orientata concordemente con il versore normale ˆn uscente da !.

Isoliamo una regione elementare3 arbitraria !" del corpo, centrata nel punto P e con frontiera ! "#

( )

orientata concordemente con il versore normale ˆnP uscente da

!". L’energia interna U!" = U!"

( )

t dell’elemento !" varia nel tempo sia a causa del calore che fluisce attraverso la superficie ! "#

( )

, che a causa della sorgente esterna di energia presente in !". Indichiamo con dU!" la variazione di energia interna dell’elemento !" nell’intervallo di tempo elementare4 t,t

(

+ dt

)

, con dQ!"

la quantità di calore che attraversa la superficie ! "#

( )

nello stesso intervallo di tempo concordemente con l’orientazione scelta per ! "#

( )

e con dW!" l’energia generata dalla sorgente esterna nella regione !" sempre nello stesso intervallo di tempo. Dalla legge della conservazione dell’energia applicata all’elemento !"

nell’intervallo di tempo t,t

(

+ dt

)

abbiamo

dU!" = #dQ!"+ dW!". (1.43)

Le grandezze che compaiono nell’equazione (1.43) non sono grandezze di campo in quanto esse dipendono, oltre che dal punto P , anche dall’elemento di volume !" e dall’intervallo di tempo elementare dt.

La variazione di energia interna dell’elemento !" nell’intervallo di tempo elementare t,t

(

+ dt

)

può essere espressa attraverso una grandezza di campo, la densità di energia interna u= u P;t

( )

, che dipende solo dal punto P e dall’istante t . Dalla definizione di densità di energia interna si ha immediatamente

U!"

( )

t = u P;t

( )

!" (1.44)

quindi

dU!" = #u

#t dt!". (1.45) In questa relazione compare la derivata parziale rispetto al tempo perchè la densità di energia dipende anche dalla variabile spaziale.

La quantità di calore che attraversa la superficie ! "#

( )

nell’intervallo di tempo t,t+ dt

( )

può essere espressa attraverso il campo vettoriale densità di flusso di calore.

3 Con “regione elementare” intendiamo una pezzo di materia così piccolo da poter assumere tutte le grandezze di campo uniformi in esso.

4 Con “intervallo di tempo elementare” intendiamo un intervallo di tempo così piccolo da poter assumere tutte le grandezze costanti in esso.

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G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

Si consideri una generica superficie elementare aperta !S, con baricentro nel punto M , orientata secondo il versore normale ˆnM. Dalla definizione del campo di densità di flusso di calore si ha che la quantità di calore dQ!S che attraversa la superficie elementare orientata !S nell’intervallo di tempo elementare t,t

(

+ dt

)

è data da

dQ!S = q M;t#$

( )

" ˆnM!S%&dt, (1.46) dove q M;t

( )

è il campo di densità di calore nel punto M ed all’istante t (che è indipendente sia da !S che da dt). Le grandezze q e dQ!S svolgono, rispettivamente, ruoli analoghi ai ruoli che svolgono nell’elettromagnetismo il campo di densità di corrente elettrica e la carica elettrica. Nel Sistema Internazionale il calore si misura in joule ([J]), quindi q si misura in J/m2s . Il flusso di calore dQ!" può essere, allora, espresso come

dQ!" =&'

%

$"q M;t

( )

# nP

( )

M dSM()dt . (1.47)

L’energia generata dalla sorgente esterna nell’elemento !" nell’intervallo di tempo elementare t,t

(

+ dt

)

può essere espressa attraverso un’altra grandezza di campo, la densità di potenza generata dalla sorgente esterna pS = pS

( )

P;t , che dipende anch’essa solo dal punto P e dall’istante t . Dalla definizione di densità di potenza generata si ha immediatamente

dW!" = p P;t

( )

!"dt . (1.48)

Sostituendo le (1.45), (1.47) e (1.48) nell’equazione (1.43) otteniamo:

!u

!t "#dt = $'(

&

!#q M;t

( )

% nP

( )

M dSM)

*dt + pS"#dt. (1.49) Dividendo tutto per !"dt abbiamo:

!u

!t = " 1

#$

&

!$q M;t

( )

% nP

( )

M dSM + pS. (1.50)

Ricordando infine che (!" è una regione elementare sufficientemente piccola) 1

!"

%

$"q M;t

( )

# nP

( )

M dSM = & # q (1.51) è la divergenza nel punto P del campo vettoriale q dalla (1.50) si ha

!u

!t = "# $ q + pS. (1.52)

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G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

Questa è la legge della conservazione dell’energia in forma locale e coinvolge solo grandezze di campo.

Assumiamo ora le seguenti leggi costitutive:

legge di Fourier per la conduzione del calore: in condizioni “normali”, il campo densità di flusso di calore è direttamente proporzionale al gradiente di temperatura

q= !k"T (1.53)

dove T è la temperatura assoluta (nel Sistema Internazionale è misurata in kelvin [K]) e k> 0 è la conducibilità termica, che è legata alle proprietà del materiale. In generale, k può dipendere dalla temperatura. Qui la consideriamo costante. Il segno meno tiene conto del fatto che il calore fluisce dalle regioni a temperatura più alta alle regioni a temperatura più bassa. Le dimensioni di k sono J! K-1!s-1! m-1.

 La densità di energia interna è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta

u=!cvT (1.54)

dove ! è la densità di massa del materiale, che abbiamo assunto costante, e cv è il calore specifico a volume costante. Anche il calore specifico a volume costante può essere considerato una costante. Le dimensioni di ! sono kg ! m-3 e le dimensioni di

cv sono J! K-1! kg-1.

Tenuto conto di queste leggi, la (1.52) diventa

!cv"T

"t = k#2T + pS. (1.55)

Questa equazione può essere riscritta nella forma

!T

!t " D#2T = f (1.56)

dove D! k /"cv è il coefficiente di diffusione e f ! pS /"cv è il termine noto.

L’equazione (1.56) è l’equazione di diffusione. Essa è definita in ogni punto del materiale e in un intervallo di tempo ben definito t0 ! t ! tf dove t0 e tf sono, rispettivamente, l’istante iniziale e l’istante finale dell’intervallo di osservazione (in particolare, si può avere t0 ! "# e/o tf ! +" ).

Basta l’equazione (1.56) per prevedere come evolve la distribuzione di temperatura nel materiale per assegnato coefficiente di diffusione e termine noto?

Se vogliamo studiare l’evoluzione della temperatura risolvendo l’equazione (1.56) bisogna conoscere anche la distribuzione della temperatura nel materiale all’istante iniziale t0, che equivale a conoscere la distribuzione dell’energia interna nell’istante

(14)

G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

iniziale. In generale a diverse distribuzioni iniziali di energia interna corrispondono evoluzioni diverse. Occorre dunque assegnare la condizione iniziale per la distribuzione della temperatura. Questa è la condizione di Cauchy.

Questo però non è sufficiente: è necessario tener conto di come il corpo interagisce con l’ambiente circostante. Per convincersene, basti pensare al fatto che, partendo da una data distribuzione iniziale di temperatura, potremmo influire sull’evoluzione di T controllando ciò che succede sulla superficie del corpo. Un modo per farlo è, per esempio, usare un termostato per mantenere !" ad una temperatura desiderata. Ciò equivale ad assegnare la distribuzione della temperatura sulla frontiera !". Questa è la condizione al contorno di Dirichlet.

Anziché la temperatura, si potrebbe controllare la densità di flusso di calore attraverso la frontiera !". Ciò equivale ad assegnare su !" la distribuzione della derivata normale della temperatura. !". Questa è la condizione al contorno di Neumann.

Può presentarsi il caso in cui occorre assegnare condizioni miste: su una parte della frontiera !" una condizione di Dirichlet e sulla restante parte una condizione di Neumann. In altre situazioni può essere appropriata una condizione di Robin (o di radiazione): si assume che il flusso di calore attraverso !" è direttamente proporzionale alla differenza tra la temperatura di !" e la temperatura del mezzo circostante tenuto ad una temperatura assegnata.

1.7.2 Equazione di diffusione scalare

I problemi considerati costituiscono modelli di diffusione molto più generali, dove per diffusione si intende, per esempio, il trasporto di materia dovuto al moto molecolare nel mezzo in cui essa è immersa. In tal caso, la soluzione potrebbe rappresentare la concentrazione di un soluto o di un inquinante oppure anche una densità di probabilità.

Le condizioni al contorno che abbiamo illustrato sono fra le più usate e i problemi associati prendono il nome dai tipi di dati assunti sulla frontiera. Riassumendo, abbiamo i seguenti tipi di problemi: determinare u= u P;t

( )

(dove ora u è una generica grandezza) tale che

!u

!t " D#2u= f P;t

( )

$P %&, t0 < t ' tf u P;t

(

= t0

)

= u0

( )

P $P %&

+ condizioni al contorno (

)**

+*

* (1.57)

dove D> 0 e le condizioni al contorno possono essere, ad esempio, le seguenti:

− Problema di Cauchy-Dirichlet: u !"= g P;t

( )

#P $!", t0 < t % tf ; (1.58)

− Problema di Cauchy-Neumann: !u

!n !"= p P;t

( )

#P $!", t0 < t % tf; (1.59)

(15)

G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

− Problema di Cauchy-misto:

u !"

1= g P;t

( )

#P $!"1, t0 < t % tf,

!u

!n "2= p P;t

( )

#P $!"2, t0 < t % tf;

&

'(

)( (1.60)

− Problema di Cauchy-Robin: !u

!n+"u

#$% &

'( !)= q P;t

( )

*P +!), t0 < t , tf. (1.61) I problemi considerati sotto ipotesi non troppo onerose sono ben posti, cioè la soluzione esiste, è unica e dipende con continuità dai dati iniziali. Di seguito affronteremo il problema dell’unicità della soluzione con il metodo dell’energia.

1.7.3 Unicità della soluzione

Tutti i problemi definiti prima hanno al più una soluzione se D> 0 e ! > 0. Mostreremo questa proprietà utilizzando il metodo dell’energia. Supponiamo che u e v siano due soluzioni distinte di uno dei problemi considerati. Poniamo w= u ! v ; vogliamo dimostrare che w= 0 assumendo D > 0 e ! > 0. Per il momento non ci preoccupiamo troppo delle condizioni precise da porre su u e v . Supponiamole sufficientemente regolari ed osserviamo che w soddisfa l’equazione di diffusione omogenea

!w

!t " D#2w= 0 $P %&, t0 < t ' tf (1.62) con la condizione iniziale

w P;t

(

= t0

)

= 0 !P "# (1.63) ed una delle seguenti condizioni al contorno

− Problema di Cauchy-Dirichlet: w !"= 0 #P $!", t0 < t % tf ; (1.64)

− Problema di Cauchy-Neumann: !w

!n !"= 0 #P $!", t0 < t % tf; (1.65)

− Problema di Cauchy-misto:

w !"

1= 0 #P $!"1, t0 < t % tf,

!w

!n "2= 0 #P $!"2, t0 < t % tf;

&

'(

)( (1.66)

− Problema di Cauchy-Robin: !w

!n +"w

#$% &

'( !)= 0 *P +!), t0 < t , tf (1.67) con ! > 0.

Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione (1.62) per w ed integriamo su !; si trova

(16)

G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

w!w

!t dV

"

#

$ D w%

#

" 2wdV = 0. (1.68)

Ora

w!w

!t dV = 1

" 2

#

dtd

#

"w2dV , (1.69)

e, dalla formula di Gauss5

w!2wdV

"

#

=

#

$"w$w$ndS%

#

"!w2dV. (1.70)

Posto E t

( )

= w

"

! 2dV dalle equazioni (1.68)-(1.70) otteniamo 1

2 dE

dt = D w!w

!n

!"

#

dS$ D %w

#

" 2dV. (1.71)

Se vale la condizione di Robin si ha w!w

!ndS

!"

#

= $%

#

!"w2dS. (1.72)

In tutti gli altri casi si ha

w!w

!ndS

!"

#

= 0. (1.73)

Di conseguenza, essendo D> 0 ed ! > 0, dE

dt ! 0, (1.74)

cioè la funzione E t

( )

non può crescere. Essendo E 0

( )

=

&

%!"w P;t

(

= t0

)

#$2dV = 0 ed

E t

( )

! 0 , deduciamo che E t

( )

= 0 per t0 ! t ! tf . Essendo w è regolare E t

( )

= 0

implica w P;t

( )

= 0 , che è quanto si voleva provare.

1.8 Equazione di Poisson

In condizioni di equilibrio, cioè quando non c’è variazione nel tempo, la soluzione dell’equazione di diffusione soddisfa la versione stazionaria

5 Innanzitutto richiamiamo l’identità vettoriale ! " w!w( )= !w2+ w!2w. Applicando a questa identità la formula di Gauss si ottiene la (1.70).

(17)

G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

!2u= f P

( )

"P #$ (1.75)

che è l’equazione di Poisson. Se f = 0 si ha l’equazione di Laplace. Le condizioni al contorno possono essere, ad esempio, le seguenti:

− Problema di Dirichlet: u !"= g P

( )

#P $!" , (1.76)

− Problema di Neumann: !u

!n !"= p P

( )

#P $!", (1.77)

− Problema di Cauchy-misto:

u !"

1= g P

( )

#P $!"1,

!u

!n "2= p P

( )

#P $!"2,

%

&

'

(' (1.78)

− Problema di Cauchy-Robin: !u

!n+"u

#$% &

'( !)= q P

( )

*P +!) , (1.79) dove !" è la frontiera di ! ed ˆn è il versore normale a !", orientato verso l’esterno.

Ora vedremo che l’equazione di Poisson (o Laplace) non si presenta solo come versione stazionaria dell’equazione di diffusione. L’equazione di Poisson svolge un ruolo principale nella teoria dei campi conservativi (campo elettrostatico, campo gravitazionale,…).

1.8.1 Un problema di elettrostatica in un dominio limitato

Consideriamo il seguente problema. Nella regione ! delimitata dalla superficie

!" c’è una distribuzione di carica costante nel tempo con densità volumetrica ! . La costante dielettrica del mezzo ! è uniforme. Le equazioni in forma locale del campo elettrostatico sono

! " E = #

$ !P "#, (1.80)

! " E = 0 !P "#. (1.81)

Essendo il campo elettrico irrotazionale (ovunque, anche all’esterno di !), esso può essere espresso attraverso il gradiente di un campo scalare U = U P

( )

definito in ! (il segno meno è una convenzione)

E= !"U. (1.82)

Sostituendo la (1.82) nell’equazione (1.80) otteniamo l’equazione di Poisson

!2U = "#

$ !P "#. (1.83)

(18)

G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

Per poter risolvere questa equazione bisogna tener conto anche di tutto ciò che è al di fuori della regione ! attraverso le condizioni al contorno su !". Le condizioni al contorno tipiche dei problemi di elettrostatica sono del tipo Dirichlet – si assegna il potenziale, ovvero la componente tangente del campo elettrico, sulla superficie !" – e del tipo Neumann – si assegna la componente normale del campo elettrico sulla superficie !".

Se il dielettrico non è omogeneo la costante dielettrica è funzione del punto dello spazio, l’equazione (1.80) deve essere sostituita dall’equazione

! "

( )

#E =$ (1.84)

e l’equazione (1.83) con l’equazione

! "

(

#!V

)

=$ !P "#. (1.85)

I problemi ben posti associati a questa equazione sono gli stessi associati all’equazione di Poisson.

1.8.2 Unicità della soluzione

I problemi ben posti associati all’equazione di Poisson

!2u= f P

( )

"P #$

+ condizioni al contorno

%&

' (1.86)

sono sostanzialmente quelli già visti per l’equazione di diffusione, naturalmente senza condizione iniziale. Le condizioni al contorno che considereremo sono le seguenti:

− Problema di Dirichlet: u !"= g P

( )

#P $!" ; (1.87)

− Problema di Neumann: !u

!n !"= p P

( )

#P $!"; (1.88)

− Problema di Cauchy-misto:

u !"

1= g P

( )

#P $!"1,

!u

!n "2= p P

( )

#P $!"2;

%

&

'

(' (1.89)

− Problema di Cauchy-Robin: !u

!n+"u

#$% &

'( !)= q P

( )

*P +!) , ! > 0. (1.90) Per il problema di Neumann bisogna tenere conto di una condizione di compatibilità, senza la quale il problema non ammette soluzione. Integrando ambo i membri dell’equazione di Poisson (1.86) sul dominio ! si ha applicando la formula di Gauss

!u

!n

!"

#

dS=

#

"fdV. (1.91)

(19)

G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

Di conseguenza la soluzione del problema di Neumann esiste solo se la condizione al contorno è compatibile con la (1.91), ovvero se le due funzioni f e p sono tali che

!"p

#

dS=

#

"fdV. (1.92)

Nel problema di Neumann il termine noto dell’equazione e la condizione al contorno non sono indipendenti.

Studiamo ora l’unicità della soluzione dell’equazione di Poisson (1.86) con una delle condizioni al contorno (1.87)-(1.90). Il ragionamento è simile a quello svolto nel

§ 7.1 per l’equazione di diffusione, utilizzeremo il metodo dell’energia. Supponiamo che u e v siano due soluzioni distinte di uno dei problemi (1.87)-(1.90). Poniamo w= u ! v . Supponiamole sufficientemente regolari ed osserviamo che w soddisfa l’equazione di diffusione omogenea

!2w= 0 "P #$ (1.93)

con una delle seguenti condizioni al contorno

− Problema di Dirichlet: w !"= 0 #P $!" ; (1.94)

− Problema di Neumann: !w

!n !"= 0 #P $!"; (1.95)

− Problema di misto:

w !"

1= 0 #P $!"1,

!w

!n "2= 0 #P $!"2;

%

&

'

(' (1.96)

− Problema di Robin: !w

!n +"w

#$% &

'( !)= 0 *P +!) con ! > 0. (1.97) Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione (1.93) per w ed integriamo su !; si trova

w!2wdV

"

#

= 0 . (1.98)

Utilizzando la (1.70) otteniamo

!w2dV

"

#

=

#

$"w$w$ndS. (1.99)

Se vale la condizione di Robin si ha w!w

!ndS

!"

#

= $%

#

!"w2dS. (1.100)

In tutti gli altri casi si ha

(20)

G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

w!w

!ndS

!"

#

= 0. (1.101)

Di conseguenza, essendo ! > 0 si ottiene che

!w2dV

"

#

$ 0 , (1.102)

che implica necessariamente !w = 0 ovunque in ! e cioè w= u ! v = costante in

!. Per i problemi di Dirichlet, misto e di Robin questa costante deve essere necessariamente uguale a zero a causa delle condizioni al contorno (1.94), (1.96) e (1.97), quindi la soluzione è unica. Per il problema di Neumann la costante può essere diversa da zero, dunque il problema di Neumann ammette al più una sola soluzione a meno di una costante additiva arbitraria.

1.8.3 Integrale di Coloumb

Un problema molto particolare, ma allo stesso tempo molto importante, è il calcolo del potenziale elettrostatico generato da una distribuzione di carica con densità volumetrica !0 nel vuoto assegnata. Il problema è governato dall’equazione

!2U = "#0

( )

P

$0

%P &'( (1.103)

con la condizione al contorno

U regolare all’infinito6; (1.104)

!" indica l’intero spazio. La soluzione di questo problema può essere espressa in

forma chiusa. Essa è data da (integrale di Coulomb)

U P

( )

= 4!"1

0

#0

( )

Q rPQ dVQ

%

$ (1.105)

dove ! è il supporto di !07. Il potenziale elettrostatico generato da una distribuzione di carica superficiale di densità superficiale ! è dato da una simile espressione,

U P

( )

= 4!"1

0

#0

( )

Q rPQ dSQ

&

$% (1.106)

dove !" è il supporto di !0. In entrambi i casi il potenziale è ovunque continuo. Se

! e !" sono limitate il potenziale è regolare all’infinito.

6 Il potenziale elettrostatico tende a zero all’infinito in modo tale che l’energia associata al campo elettrostatico sia finita.

7 Il supporto di una funzione è la parte del suo dominio di definizione in cui la funzione è quasi ovunque diversa da zero.

(21)

G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

1.8.4 Formulazione variazionale dell’equazione di Poisson

Il problema della soluzione dell’equazione di Poisson con condizioni al contorno di Dirichlet può essere trasformato in un problema variazionale. Il problema

trovare u!W :

J u

( )

= minv!W J v

( )

con v "#= g e J v

( )

= 1

2 $v2dV + fvdV

%

#

%

#

&

'(

)( (1.107)

dove W è lo spazio delle funzioni a quadrato integrabile e con gradiente a quadrato integrabile definite in ! fin sulla frontiera, è equivalente alla soluzione dell’equazione di Poisson con condizioni al contorno di Dirichlet. Ora dimostriamo questa interessante proprietà.

Si supponga che u= u P

( )

sia la soluzione del problema variazionale (1.107).

Allora, ponendo v= u P

( )

+!w P

( )

con ! numero reale e w !" = 0, si ha che J u

( )

! J u +

(

"w

)

!w "W. (1.108)

La funzione ! "

( )

= J u +

(

"w

)

è una funzione quadratica in ! con minimo raggiunto per ! = 0. Pertanto abbiamo

d!

d" " =0 = 0. (1.109) Per definizione di derivata si ha

d! d" = lim" #0

J u

(

+"w

)

$ J u

( )

" %w &W . (1.110) Consideriamo il termine J u

(

+!w

)

:

J u

(

+!w

)

= 1

2

$

#" u +

(

!w

)

2dV +

$

#

(

u+!w

)

fdV

=J u

( )

+1

2

$

#

(

!2 "w2+ 2!"w %"u

)

dV +

$

#! fwdV. (1.111)

Di conseguenza

J u

(

+!w

)

" J u

( )

! =

1

2

&

%

(

! #w2 + 2#w $#u

)

dV+

&

%fwdV. (1.112)

Passando al limite per ! " 0 ed imponendo che esso si annulli, si ottiene

(22)

G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009

!u "!wdV

$

# +

$

#fwdV = 0 %w &W . (1.113) Applicando la formula di Gauss la (1.113) diventa (ricordiamo che abbiamo supposto

w !"= 0)

!2u" f

( )

wdV

$

# = 0 %w &W , (1.114)

il che equivale a dire che !2u" f è la funzione quasi ovunque nulla in !, ovvero

!2u= f . (1.115)

Viceversa se u è soluzione dell’equazione di Poisson si dimostra procedendo in modo analogo che J u

( )

! J v

( )

"v #W .

1.9 Formulazioni differenziali di problemi di elettromagnetismo

In questa Sezione descriveremo alcune formulazioni differenziali di problemi canonici di elettromagnetismo. Come già accennato le formulazioni differenziali si prestano bene alla soluzione di problemi in cui il campo elettromagnetico incognito è definito in un dominio limitato.

1.9.1 Equazione delle onde vettoriale

Consideriamo il campo elettromagnetico in una regione finita ! generato da una distribuzione di densità di carica !0 =!0

( )

P;t e da un campo di densità di corrente j0 = j0

( )

r;t assegnati; ovviamente !0 e j0 sono compatibili con l’equazione di continuità della carica

!"0

!t = #$ % j0. (1.116)

La regione ! è delimitata dalla superficie !" orientata concordemente con il verso della normale ˆn uscente. Il materiale che riempie ! è lineare, isolante elettricamente, non dispersivo ed omogeneo; ! e µ sono, rispettivamente, la costante dielettrica e la permeabilità magnetica.

Le equazioni che governano il campo elettromagnetico e,b

( )

all’interno della regione ! sono per t0 < t ! tf:

!b

!t + " # e = 0, (1.117)

µ!"e

"t # $ % b = #µj0. (1.118)

figura

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Riferimenti

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