Le formule di duplicazione e bisezione sono strumenti fondamentali della trigonometria. Permettono di esprimere le funzioni trigonometriche dell’angolo doppio (2α) o dell’angolo metà (α/2) in funzione dell’angolo α. Vengono utilizzate nella risoluzione di equazioni trigonometriche, nel calcolo integrale e in numerose applicazioni di fisica e ingegneria.
Le formule di duplicazione
Le formule di duplicazione esprimono seno, coseno e tangente di 2α in funzione di α. Si ricavano tutte a partire dalle formule di addizione, ponendo i due angoli uguali.
Seno dell’angolo doppio
sin(2α) = 2 · sin α · cos α
Dimostrazione: partendo da sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, si pone β = α e si ottiene sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α.
Coseno dell’angolo doppio
Il coseno dell’angolo doppio ammette tre forme equivalenti, tutte ugualmente utili a seconda del contesto:
- cos(2α) = cos²α – sin²α — forma base, ottenuta da cos(α + α)
- cos(2α) = 2cos²α – 1 — sostituendo sin²α = 1 – cos²α
- cos(2α) = 1 – 2sin²α — sostituendo cos²α = 1 – sin²α
La seconda e la terza forma sono particolarmente importanti perché coinvolgono una sola funzione trigonometrica, il che le rende ideali per semplificare espressioni e risolvere equazioni.
Tangente dell’angolo doppio
tan(2α) = 2 tan α / (1 – tan²α)
Si ricava dividendo sin(2α) per cos(2α), oppure direttamente dalle formule di addizione della tangente: tan(α + α) = (tan α + tan α) / (1 – tan α · tan α).
Le formule di bisezione
Le formule di bisezione esprimono le funzioni trigonometriche di α/2 in funzione di α. Si ricavano invertendo le formule di duplicazione del coseno, il che spiega la presenza della radice quadrata.
Dalla formula cos(2β) = 1 – 2sin²β, ponendo β = α/2 e risolvendo per sin(α/2):
sin(α/2) = ±√[(1 – cos α) / 2]
Dalla formula cos(2β) = 2cos²β – 1, con lo stesso procedimento:
cos(α/2) = ±√[(1 + cos α) / 2]
Per la tangente, dividendo seno per coseno:
tan(α/2) = ±√[(1 – cos α) / (1 + cos α)]
Esistono anche due forme alternative senza radice, spesso più comode nei calcoli:
tan(α/2) = sin α / (1 + cos α) = (1 – cos α) / sin α
Il segno ± nelle formule con la radice dipende dal quadrante in cui cade l’angolo α/2: si determina caso per caso in base al valore di α.
Tabella riassuntiva
| Formula | Espressione |
|---|---|
| sin(2α) | 2 sin α cos α |
| cos(2α) | cos²α – sin²α = 2cos²α – 1 = 1 – 2sin²α |
| tan(2α) | 2 tan α / (1 – tan²α) |
| sin(α/2) | ±√[(1 – cos α) / 2] |
| cos(α/2) | ±√[(1 + cos α) / 2] |
| tan(α/2) | ±√[(1 – cos α) / (1 + cos α)] = sin α / (1 + cos α) |
Esercizi risolti
Esercizio 1: calcolare sin(60°) usando la duplicazione
Sapendo che α = 30°, si applica sin(2α) = 2 sin α cos α:
sin(60°) = 2 · sin(30°) · cos(30°) = 2 · (1/2) · (√3/2) = √3/2 ✓
Esercizio 2: calcolare cos(15°) usando la bisezione
Si pone α = 30°, quindi α/2 = 15°. Poiché 15° è nel primo quadrante, il coseno è positivo:
cos(15°) = +√[(1 + cos 30°) / 2] = √[(1 + √3/2) / 2] = √[(2 + √3) / 4] = √(2 + √3) / 2
Il valore numerico è circa 0,9659.
Esercizio 3: semplificare 1 – 2sin²(x)
Riconosciamo la terza forma del coseno dell’angolo doppio:
1 – 2sin²(x) = cos(2x)
Questo tipo di riconoscimento è molto frequente negli esercizi di semplificazione e nelle verifiche.
Esercizio 4: calcolare tan(π/8) usando la bisezione
Si pone α = π/4, quindi α/2 = π/8. Usando la formula senza radice:
tan(π/8) = sin(π/4) / (1 + cos(π/4)) = (√2/2) / (1 + √2/2) = (√2/2) / ((2 + √2)/2) = √2 / (2 + √2)
Razionalizzando: √2(2 – √2) / (4 – 2) = (2√2 – 2) / 2 = √2 – 1 ≈ 0,4142
Per approfondire
Le formule di duplicazione e bisezione si collegano strettamente alle relazioni tra angoli associati. Per un ripasso completo, è utile consultare la pagina sugli angoli associati in trigonometria. Chi ha bisogno di rivedere i valori numerici delle radici può fare riferimento alle tavole numeriche.
Padroneggiare queste formule significa avere in mano una chiave per semplificare moltissimi problemi di trigonometria, dalle equazioni goniometriche alle applicazioni nel calcolo integrale. Per approfondire, consulta anche le relazioni di Kramers-Kronig. Per approfondire, consulta anche la simmetria U(1) nei fibrati.