Il processo del reddito che andremo ad utilizzare è quello conosciuto come processo permanente-transitorio. Questo perchè tale processo permette la presenza di shock al reddito di diversa persistenza, a differenza di altre definizioni del processo del reddito, come quella ARMA, descritta nel capitolo 1.
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Assumiamo che il reddito sia influenzato da caratteristiche demografiche come età, titolo di studio, ecc... e che tali caratteristiche siano contenute in un vettore ܼ݅,ݐ/·HTXD]LRQHGHOUHGGLWRVDUjTXLQGLSDULD
݈ݕ݅,ݐ =݈݃൫ܻ݅,ݐ൯ = ܼĻ݅,ݐߚݐ +ܲ݅,ݐ +ݒ݅,ݐ
Dove ܲ݅,ݐ rappresenta lo shock permanente al reddito, al tempo t, del
singolo consumatore i e VL DVVXPH VHJXHQGR O·HVHmpio di numerosi studi empirici (Abowd, Card, 1989; Meghir, Pistaferri, 2004), che segua un processo random walk. Di conseguenza:
ܲ݅,ݐ =ܲ݅,ݐെ1 +ߜ݅,ݐ
Dove ߜ݅,ݐ è un white noise, e quindi serialmente incorrelato. Inoltre:
ݒ݅,ݐ = ߠ݆ߝݐെ݆ ݍ
݆ =0
; ߠ0 = 1
ݒ݅,ݐ rappresenta lo shock transitorio del reddito, e si assume che tale
shock, in questa versione del modello, sia di tipo white noise. Nei paragrafi successivi questa restrizione verrà sollevata, assumendo per la parte WUDQVLWRULD GHO UHGGLWR XQ SURFHVVR 0$ (· VWDWR GLPRVWUDWR (Abowd, Card, 1989; Meghir, Pistaferri, 2004; Hryshko, 2006) che tale frazione del reddito segue un processo di tipo MA(1); disponendo di dati biennali, la prima autocorrelazione che si riesce a calcolare è quella al ritardo 2, che per un processo MA(1) è pari a zero.
Assumere uno shock transitorio del reddito di tipo MA(q) non LQIOXLVFHVXOO·LGHQWLILFD]LRQHGHOPRGHOOR XQRVKRFNWUDQVLWRULRGLTXHVWRWLSR
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aggiunge q-1 parametri da stimare, ma anche q-1 equazioni; infatti O·DXWRFRUUHOD]LRQH GL XQ SURFHVVR 0$ T q ]HUR VROR SHU LQWHUYDOOL strettamente maggiori di q.
Si definisce la variazione non spiegata del reddito come la differenza SULPDGHOUHGGLWRVWHVVRVFHYUDGHOO·HIIHWWRGHOOHFaratterstiche demografiche:
ݕ݅,ݐ =ȟ൫݈ݕ݅,ݐെ ܼĻ݅,ݐߚݐ൯ = ߜ݅,ݐ +ȟݒ݅,ݐ
Si noti che effettuando le differenze prime, si eliminano anche gli effetti delle caratteristiche invarianti nel tempo spesso non misurabili, come intelligenza, produttività, o condizioni iniziali di ricchezza. Se espandiamo O·HTXD]LRQH GHO UHGGLWR LQ PRGR GD LQFOXGHUH TXHVWL IDWWRUL VL RWWHUUj O·HTXD]LRQHVHJXHQWH
݈ݕ݅,ݐ =ܼĻ݅,ݐߚݐ +ܳĻ݅ߛ݅ +ܲ݅,0+ ߜ݅,݆ ܶ
݆ =1
+ݒ݅,ݐ
Dove ߛ݅ sono caratteristiche non misurabili che non variano nel tempo
FRPHODFDSDFLWjGHOO·LQGLYLGXRRODVXDLQWHOOLJHQ]D ܳĻ݅ sono i coefficienti che legano questi fattori al reddito e ܲ݅,0 sono le condizioni iniziali di
ricchezza della famiglia.
6H VRWWUDLDPR O·HIIHWWR delle caratteristiche osservabili e portiamo in differenze prime, otterremo:
ݕ݅,ݐ =ȟ൫݈ݕ݅,ݐ െ ܼĻ݅,ݐߚݐ൯ = =ܳĻ݅ߛ݅ െ ܳĻ݅ߛ݅ +ܲ݅,0െ ܲ݅,0+ ߜ݅,݆ ܶ ݆ =1 െ ߜ݅,݇ ܶെ1 ݇=1 +ݒ݅,ݐെ ݒ݅,ݐെ1=
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=ߜ݅,ݐ +ȟݒ݅,ݐ
&KHqHVDWWDPHQWHO·HTXD]LRQHGLFXLVRSUD
Una volta esplicitato il processo del reddito, si può modellare come tali shock influenzino il consumo. Consideriamo il problema di PDVVLPL]]D]LRQH GHOO·XWLOLWj GHO FRQVXPR GL XQ VRJJHWWR economico con IXQ]LRQHGLXWLOLWjGHOWLSR&55$/·HTXD]LRQHGDPDVVLPL]]DUHq ݉ܽݔܿ൝ܧݐሺ1 + ߜሻെ݅ܥݐ+݅ ߚ െ 1 ߚ ܼ݁ݐ+݅ߴݐ+݅ ܶെݐ ݅=0 ൩ൡ Sotto il vincolo di budget
ܣݐ+݆+1 =ሺ1 + ݎሻ൫ܣݐ+݆ +ܻݐ+݆ െ ܥݐ+݆൯
Dove ߜ è il tasso di sconto, ݎ il tasso di interesse, ܿݐ il consumo al
tempo ݐ, ݕݐ è il reddito da lavoro al tempo ݐ e ܣ sono i risparmi o asset. ߚ
UDSSUHVHQWD O·DYYHUVLRQH DO ULVFKLR GHO VRJJHWWR HFRQRPLFR PHQWUH ܼݐ rappresentano avvenimenti, comuni a tutti i soggetti economici, che causano
variazioni del consumo.
Si ricava la seguente equazione del consumo: ܥݐെ1ߚെ1 =1 +ݎ
1 +ߜ ݁
ȟܼԢݐߴݐܧݐെ1ቂܥ
ݐߚെ1ቃ
Che tuttavia non possiede una soluzione chiusa, e che quindi non è utilizzabile per ricavare una equazione del processo del consumo. Blundell et
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al. (2010) utilizzano un approssimazione in serie di Taylor del logaritmo di una sommatoria13 per approssimare la funzione del consumo, ottenendo:
ȟ݈ܿݐ =ȟሾlogሺCtሻሿ = ȟ ԢtԂԢt +Ʉt +ȳt
Dove Ʉt è uno shock del reddito con media nulla, ȳt indica tutti gli
HIIHWWL FDXVDWL GD WDVVL G·LQWHUHVVH LPSD]LHQ]D H ULVSDUPLR SUHFDX]LRQDOH H ԂԢt =ԂtΤሺ1 െ Ⱦሻ.
Supponendo che ogni componente idiosincratica presente QHOO·HTXD]LRQH possa essere adeguatamente approssimata da una componente deterministica Ȟt e una componente stocastica ߮ݐ, e che quindi ȳt =Ȟt +߮ݐ,
O·HTXD]LRQH GHOO·LQQRYD]LRQH GHO FRQVXPR VL SXz VFULYHUH QHO VHJXHQWH modo:
οct =Ʉt +߮݅,ݐ, ܿݐ = logሺctሻ െ ȟ ԢtԂԢtെ Ȟt
Usando un equazione del reddito del tipo permanente-transitorio, si ottiene il seguente vincolo di budget intertemporale:
ݍݐ+݅ܥݐ+݅ = ܶെݐ ݅=0 ݍݐ+ܻ݅ݐ+݅+ܣݐ ܮെݐ ݅=0
Dove T rappresenta la data della morte, L la data di ritiro dal lavoro, e ݍݐ+݅ un adeguato fattore di sconto.
Approssimando usando la precedente scomposizione in serie di Taylor, e usando un procedimento simile a quello adottato da Hall e Mishkin
13݈݃ σ X t+k σSk=0െt Ƚt+k,S,Ɂൣ݈݃ሺXt+kሻ െ ݈݃൫Ƚt+k,S,Ɂ൯൧ Sെt k=0 ; Ƚt+k,S,Ɂ =ൣ݁ݔ൫σ݇݅=0ߜݐ+݅൯൧ ൛1 + σൗ ݇=1ܵെݐൣ݁ݔ൫σ݇݅=0ߜݐ+݅൯൧ൟ
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(1978) e descritto nel capitolo 1, si considerano le deviazioni dalle FRPSRQHQWL GHWHUPLQLVWLFKH GHOOH YDULH JUDQGH]]H SUHVHQWL QHOO·HTXD]LRQH eliminando tutte quelle vaiabili già note al consumatore nel periodo ݐ െ 1. Si ottiene una funzione dello shock del reddito:
Ʉt =ߨݐ൫ߜ݅,ݐ +ߛݐߝݐ൯
Dove ߨݐ =σܮെݐ݅=0ݍݐ+ܻ݅ݐ+݅ൗ൫σܮെݐ݅=0ݍݐ+ܻ݅ݐ+݅ +ܣݐ൯ rappresenta la parte del reddito
da lavoro futuro della ricchezza della famiglia, e
ߛݐ =1+ݎݎ1 + σݍ݆ =1ߠ݆൘ሺ1 + ݎሻ݆, con ݍ ordine del processo MA della
componente transitoria del reddito, rappresenta un fattore di DQQXLWL]]D]LRQH FKH LQFUHPHQWD FRQ O·HWj 'L FRQVHJXHQ]D O·HTXD]LRQH GHOO·LQQRYD]LRQHGHOFRQVXPRGLYHQWD
ct =ߨݐߜ݅,ݐ +ߛݐߨݐߝݐ +߮݅,ݐ
ct =߶ݐߜ݅,ݐ+ ߰ݐߝݐ +߮݅,ݐ
Dove ߶݅,ݐ è la propensione marginale del consumo rispetto a shock
permanenti del reddito, ߰݅,ݐ è la propensione marginale del consumo rispetto
a shock transitorio del reddito e ߮݅,ݐ è lo shock transitorio del consumo e che FRQWLHQH DO VXR LQWHUQR DQFKH O·HUURUH GL PLVXUD]LRQH GHO FRQVXPR GHOOD quale discuteremo nei prossimi paragrafi). Si noti che quanto detto sopra riguardo le componenti invariantL QHO WHPSR SUHVHQWL DOO·LQWHUQR GHOO·HTXD]LRQHGHOUHGGLWRVLSXzDSSOLFDUHDQFKHDTXHVWDHTXD]LRQH
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Tale formulazione del processo del consumo fornisce anche una interpretazione strutturale della stessa: uno shock permanente avrà un effetto sul consumo pari al valore futuro atteso scontato del reddito da lavoro, in quanto tale shock influenzerà tutto il reddito che percepirà da quel PRPHQWRLQSRL1HOFDVRGLXQRVKRFNWUDQVLWRULRO·HIIHWWRVXOFRQVXPRVDUj pari allo stesso valore atteso scontato, ma moltiplicato per un fattore di DQQXLWL]]D]LRQH UDSSUHVHQWDQWH LOIDWWRFKHO·HIIHWWR GHOOR VKRFN q SDULVROR DOODSDUWHUHODWLYDDOO·DQQRVXFFHVVLYRGHOUHGGLWRIXWXURDWWHVR
Questo tipo di modello include al suo interno due opposte teotrie del consumo, il modello dei mercati completi con informazione perfetta (߶݅,ݐ =
߰݅,ݐ = 0) e il modello del reddito permanente di Friedman (߶݅,ݐ = 1; ߰݅,ݐ = 0).
Sotto mercati completi gli agenti economici possono assicurarsi contro tutti gli shock idiosincratici del reddito.
Tuttavia, informazione asimmetrica e moral hazard rendono tali assicurazioni difficili da implementare, e infatti non sono osservabili nella realtà. La volatilità del consumo individuale è molto più alta di quella DJJUHJDWDIDWWRFKHYDFRQWURO·LSRWHVLGLPHUFDWLFRPSOHWL $L\DJDUL
8OWHULRULWHVW -DSSHOOLH3LVWDIHUUL ULJHWWDQRO·LSRWHVLGLFRPSOHWD assicurazione del consumo, rendendo tale teoria poco adatta a descrivere fenomeni economici. In base a questi risultati, la moderna teoria del consumo VLVYLOXSSDDSDUWLUHGDOO·Dssunzione di mercati incompleti (Hall, 1978).
Nella teoria del reddito permanente (߶݅,ݐ = 1; ߰݅,ݐ = 0) O·XQLFR
meccanismo disponibile ai consumatori per stabilizzare il consumo è il risparmio precauzionale; nella versione più estrema della predetta teoria,
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non sono previste assicurazioni di alcun tipo e si assumono preferenze quadratiche: uno shock permanente del reddito si trasmette integralmente al consumo.
Questi modelli sono caratterizzazioni estreme del comportamento individuale e del mercato nel quale il consumatore agisce, e il modello che si è ricavato in questo capitolo, nel caso entrambi i coefficienti siano compresi tra 0 e 1, descrive un mercato ad assicurazione parziale, dove gli shock del reddito inattesi sono assicurabili in parte.
Ciò potrebbe essere poichè il consumatore dispone di un set di informazioni maggiore rispetto alO·HFRQRPHWULVWDRLQTXDQWRODSHUVLVWHQ]D dello shock non è quella prevista (uno shock che viene considerato permanente può venire valutato dal consumatore come avere effetto finito QHOWHPSRGLPLQXHQGRFRVuO·HIIHWWRGLWDOHVKRFNVXOFRQVXPR