Aggiunta del rumore di Wiener

Un primo approccio stocastico al sistema `e dato dall’introduzione del rumore di Wiener. Teoricamente quest’aggiunta consiste nell’inserire il sistema in un bagno termico che porta delle fluttuazioni proporzionali alla temperatura. Ci`o che viene modificato dalle fluttuazioni `e lo stimolo che sar`a una funziona a scalino modulata da un fattore ξ√2T , dove ξ rappresenta una variabile aleatoria distribuita in modo gaussiano con media nulla

e varianza unitaria, mentre √2T rappresenta il parametro che regola l’ampiezza della varianza del processo stocastico:

σ(t) = (

1 + ξ√2T se t < d

ξ√2T se t > d (3.33)

Quindi nelle equazioni che descrivono la dinamica del modello ((3.29)) il parametro che risente del rumore `e kc(σ(t)):

kc(σ(t)) =

(

(5 × 10−2)σ(t) se t < d

σ(t) se t > d (3.34) `

E stato integrato il sistema di equazioni seguendo lo schema di Itˆo (par. 2.4) e si sono confrontati i risultati con quelli ottenuti dalle simulazioni sul modello deterministico. In Figura 3.10 si pu`o notare come il sistema deterministico rimanga in condizioni di equilibrio per un tempo limitato per poi precipitare alle condizioni iniziali, mentre per effetto delle fluttuazioni inserite nel modello stocastico il sistema riesca a rimanere allo stato stabile per un tempo molto pi`u lungo.

Inoltre si `e voluta osservare la transizione di fase al variare delle fluttuazioni. Dalle im- magini in Figura 3.11 e Figura 3.12 si pu`o notare come inserendo un rumore piccolissimo il modello stocastico riproduce esattamente i risultati ottenuti dal modello deterministi- co, mentre, aumentando il parametro che modula le fluttuazioni, si ottengono risultati diversi. Infatti il rumore permette al sistema di stabilizzarsi anche in quei casi in cui, secondo la precedente trattazione deterministica, non si sarebbe stabilizzato.

(a) nθ = 1, d = 77.05, T = 0.

(b) nθ = 1, d = 77.05, T = 0.0005 .

Figura 3.10: Le immagini rappresentano l’andamento del sistema con stessi valori soglia di transizione e diverse temperature del bagno termico che modula la fluttuazione di Wie- ner. In particolare si osserva come il modello stocastico (b) garantisce una permanenza dello stato stabile molto pi`u duratura del modello deterministico (a).

(a) nθ = 1, d = 77.049, T = 0.

(b) nθ = 1, d = 77.049, T = 0.000005.

Figura 3.11: Le immagini rappresentano l’andamento del sistema con stessi valori soglia di transizione e diverse temperature del bagno termico che modula la fluttuazione di Wiener. In particolare si nota come aggiungendo un rumore molto piccolo si riproduce lo stesso risultato ottenuto in assenza di rumore.

(a) nθ = 1, d = 77.049, T = 0.00005.

(b) nθ = 1, d = 77.049, T = 0.0005.

Figura 3.12: Le immagini rappresentano l’andamento del sistema con stessi valori soglia di transizione e diverse temperature del bagno termico che modula la fluttuazione di Wie- ner. In particolare si nota come aumentando il rumore il sistema raggiunga e mantenga lo stato stabile.

Per quanto riguarda l’evoluzione del sistema con soglia di oligomerizzazione nθ > 1 anche nel modello stocastico si `e notato che non si stabilizza mai:

(a) nθ = 2, d = 1000, (SC, C, Col) = (10, 0, 0), T = 0 .

(b) nθ = 2, d = 1000, (SC, C, Col) = (10, 0, 0), T = 0.0005.

Figura 3.13: Le immagini rappresentano l’andamento del sistema con stessi valori so- glia di transizione e diverse temperature del bagno termico che modula la fluttuazione di Wiener. Si osserva come sia per il modello deterministico (a) che per il modello stoca- stico (b) con la soglia di oligomerizzazione pari a nθ = 2 il sistema non raggiunge mai l’equilibrio.

(a) nθ = 2, d = 1000, (SC, C, Col) = (9, 0, 1), T = 0.

(b) nθ = 2, d = 1000, (SC, C, Col) = (9, 0, 1), T = 0.0005 .

Figura 3.14: Le immagini rappresentano l’andamento del sistema con stessi valori so- glia di transizione e diverse temperature del bagno termico che modula la fluttuazione di Wiener. Si osserva come sia per il modello deterministico (a) che per il modello stoca- stico (b) con la soglia di oligomerizzazione pari a nθ = 2 il sistema non raggiunge mai l’equilibrio.

Quindi, come per il modello deterministico, `e stato inserito un ‘seme’ di 2 proteine oligomerizzate:

(a) nθ = 2, d = 15, (SC, C, Col) = (8, 0, 2), T = 0.

(b) nθ = 2, d = 15, (SC, C, Col) = (8, 0, 2), T = 0.00005.

Figura 3.15: Le immagini rappresentano l’andamento del sistema con stessi valori soglia di transizione, stesse condizioni iniziali e diverse temperature del bagno termico che modula la fluttuazione di Wiener. Si osserva come, aumentando le fluttuazioni, il sistema evidenzi una maggiore tendenza a raggiungere l’equilibrio.

(a) nθ = 2, d = 15, (SC, C, Col) = (8, 0, 2), T = 0.0005.

(b) nθ = 2, d = 15, (SC, C, Col) = (8, 0, 2), T = 0.005.

Figura 3.16: Le immagini rappresentano l’andamento del sistema con stessi valori soglia di transizione, stesse condizioni iniziali e diverse temperature del bagno termico che modula la fluttuazione di Wiener. Si osserva come, aumentando le fluttuazioni, il sistema evidenzi una maggiore tendenza a raggiungere l’equilibrio.

Conclusione

Il modello PADP si propone di descrivere la plasticit`a sinaptica come conseguenza di un meccanismo di aggregazione di proteine. Per questo `e stata studiata la dinamica delle reazioni che inducono la plasticit`a sinaptica, approssimandola con un sistema di equazioni differenziali ordinarie non lineari che descrive il ciclo di trasformazioni lineari reversibili delle proteine.

Si `e visto come la teoria di campo medio sia in grado di sostituire, sotto certe condizioni, la teoria stocastica e, applicando questo approccio deterministico, `e stata studiata l’evo- luzione del sistema. `E stato quindi verificato come il raggiungimento e la durata dello stato stabile, oligomerizzato, siano strettamente dipendenti da due parametri fondamen- tali: la durata dello stimolo e la soglia di oligomerizzazione. `E stato poi sottolineato come, nei punti critici individuati, la transizione di fase sia molto brusca: come un pen- dolo inverso tende all’equilibrio stabile, cos`ı le proteine non oligomerizzate tendono ad oligomerizzarsi. Inoltre, aumentando la soglia di oligomerizzazione e il numero di protei- ne oligomerizzate nello stato iniziale, `e stato visto come il sistema continui a tendere allo stato stabile anche nel caso in cui venga inserito un piccolissimo stimolo esterno. Ci`o potrebbe essere interpretato da un lato come un risultato anomalo, in quanto sarebbe l’evidenza che questo sistema ‘impara da solo’ senza input significativi, ma dall’altro pu`o essere visto come il tipico comportamento prion-like di autosostentamento, ipotizzando che in origine le proteine fissate nella condizione iniziale siano state comunque portate all’oligomerizzazione da un precedente stimolo esterno.

Volendo analizzare lo stesso sistema da un punto di vista stocastico `e stato inserito il rumore di Wiener, ovvero un bagno termico che induce fluttuazioni al sistema. I risultati ottenuti da queste simulazioni mostrano che, a differenza del caso deterministico, il siste- ma tende molto pi`u velocemente allo stato stabile e ci si mantiene per un tempo molto pi`u lungo. Quindi il rumore, interpretabile come effetto dell’ambiente di una sinapsi, favorisce il raggiungimento dell’oligomerizzazione delle proteine.

Appendice A: Prima

implementazione del modello PADP

Codice per il modello PADP nella Drofophila:

i m p o r t s c i p y . i n t e g r a t e as i n t e g r a t e i m p o r t m a t p l o t l i b . p y p l o t as plt i m p o r t n u m p y as np f r o m s c i p y i m p o r t s i g n a l f r o m s c i p y . i n t e g r a t e i m p o r t o d e i n t f r o m m a t h i m p o r t exp , s q r t t = np . l i n s p a c e (0 , 7000 , 1 0 0 0 ) def O r b 2 ( y , t , Koff , T r a n s R a t e , D e g r R a t e , A g g r R a t e , E x i t R a t e , S e e d R a t e , D i s s R a t e ): f , A , As , Bs = y if t < 4 0 0 0 : s i g m a = ( s i g n a l . s q u a r e (2 * np . pi * 0.2 * t , d u t y = 0 . 3 ) + 1 ) / 0 . 5 e l s e : s i g m a = 0 d f d t = s i g m a - K o f f * f d A d t = T r a n s R a t e * f * ( 1 / ( s q r t (1 + exp ( 5 0 * ( Bs - 3 ) ) ) ) ) - D e g r R a t e * A d A s d t = A g g r R a t e * A - E x i t R a t e * As d B s d t = S e e d R a t e * f * ( 1 / ( s q r t (1 + exp ( -50*( As - 3 ) ) ) ) ) * ( 1 / ( s q r t (1 + exp ( 5 0 * ( Bs - 3 ) ) ) ) ) + D i s s R a t e

* ( 1 / ( s q r t (1 + exp ( -50*( Bs - 3 ) ) ) ) - 1 ) * Bs d y d t = ( dfdt , dAdt , dAsdt , d B s d t ) r e t u r n d y d t K o f f = 0.7 T r a n s R a t e = 0 . 0 0 5 D e g r R a t e = 0 . 0 0 2 A g g r R a t e = 0 . 0 0 8 E x i t R a t e = 0 . 0 0 1 S e e d R a t e = 0 . 0 1 D i s s R a t e = 0 . 0 0 0 4 y0 = np . a r r a y ([0. , 0. , 0 , 0 ])

sol = o d e i n t ( Orb2 , y0 , t , a r g s =( Koff , T r a n s R a t e , D e g r R a t e , A g g r R a t e , E x i t R a t e , S e e d R a t e , D i s s R a t e )) i m p o r t m a t p l o t l i b . p y p l o t as plt plt . p l o t ( t , sol [: , 2] , ’g ’ , l a b e l = ’ Orb2A ’) plt . p l o t ( t , sol [: , 3] , ’b ’ , l a b e l = ’ Orb2B ’) plt . l e g e n d ( loc = ’ best ’) plt . x l a b e l ( ’ t [ s ] ’) plt . s h o w ()

Appendice B: Seconda

implementazione del modello PADP

Codice per il modello PADP nei mammiferi. Per il modello stocastico si `e usato lo stesso codice modificando il parametro che modula il rumore.

i m p o r t m a t p l o t l i b . p y p l o t as plt i m p o r t n u m p y as np i m p o r t s d e i n t f r o m s c i p y . i n t e g r a t e i m p o r t o d e i n t f r o m m a t h i m p o r t exp , log t = np . l o g s p a c e (0 , 5 , 50000 , e n d p o i n t = F a l s e ) # P A R A M E T R I n =2. D =15 # D u r a t a s t i m o l o ks = 0 . 0 0 5 kol = 0 . 0 0 5

# k d e o l = 0 . 0 0 5 * exp (( log ( 1 0 0 ) ) * ( Col - n )) T =0. # A m p i e z z a v a r i a n z a b = np . s q r t (2* T ) # D R I F T def f ( x , t ): SC , C , pc = x Col = 1 0 . 0 - SC - C

d S C d t = - SC * pc + C * ks

d C d t = SC * pc + Col * 0 . 0 0 5 * exp (( - log ( 1 0 0 ) / n )*( Col - n )) - C *( ks + kol ) eq = 5 e -6 if t > D e l s e 5 e -2 dpc = 1 0 * ( eq - pc ) r e t u r n np . a r r a y ([ dSCdt , dCdt , dpc ]) x0 = np . a r r a y ([8.0 , 0.0 , 5 e - 6 ] ) # D I F F U S I O N E def g ( x , t ): SC , C , pc = x r e t u r n np . d i a g ([0.0 , 0.0 , b ]) # R I S O L V E : dx = f ( x ) dt + g ( x ) dW # %% t1 = np . l i n s p a c e (0 , D , 50000 , e n d p o i n t = T r u e ) x01 = np . a r r a y ([8.0 , 0.0 , 5 e - 2 ] ) s o l 1 = s d e i n t . i t o E u l e r ( f , g , x01 , t1 ) t2 = np . l i n s p a c e ( D , D *2 , 50000 , e n d p o i n t = T r u e ) x02 = s o l 1 [ -1] s o l 2 = s d e i n t . i t o E u l e r ( f , g , x02 , t2 ) t3 = np . l i n s p a c e ( D *2 , 6000 , 80000 , e n d p o i n t = T r u e ) x03 = s o l 2 [ -1] s o l 3 = s d e i n t . i t o E u l e r ( f , g , x03 , t3 ) # t = np . h s t a c k ([ t1 , t2 , t3 ])

sol = np . v s t a c k ([ sol1 , sol2 , s o l 3 ])

# %%

s h a r e x = T r u e )

ax1 . p l o t ( t , sol [: , 0] , ’b ’ , l a b e l = ’ SC ’) ax1 . p l o t ( t , sol [: , 1] , ’r ’ , l a b e l = ’ C ’)

ax1 . p l o t ( t , 10 - sol [: , 1] - sol [: , 0] , ’g ’ , l a b e l = ’ Col ’)

ax1 . l e g e n d ( loc = ’ best ’) ax1 . s e t _ x l a b e l ( ’ Tempo ’) ax2 . s e t _ x l a b e l ( ’ Tempo ’)

ax2 . p l o t ( t , sol [: , 2] , ’b ’ , l a b e l = ’ Stimolo ’) ax2 . l e g e n d ( loc = ’ best ’)

plt . s h o w () # %%

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