Nella costruzione di un algoritmo di ottimizzazione, si rende necessario l’utilizzo di una funzione costo da minimizzare che rappresenti lo stato del sistema della configurazione all’iterazione attuale. Considerando che si utilizzano con degli stimatori, una metrica da considerare è quella fornita dal Cramér-Rao Lower Bound derivabile dalla FIM che quantifica la quantità di informazione sul parametro d’interesse a partire da misure rumorose.
Associando la FIM al simbolo J, in letteratura sono state definite molte funzioni costo scalari ψ(J). Le più utilizzate in letteratura in paper sul posizionamento sono dettagliatamente descritte in [36] e sono riassunte in seguito:
• D-optimality o criterio del determinante:
ψ(J) = − ln det(J)
che minimizza il volume di incertezza nell’ellissoide della stima ed è invariante rispetto al cambio di scala dei parametri e trasformazioni lineari dell’output;
1.6. ALGORITMI DI INFORMATION SEEKING 17 • E-optimality, criterio che dipende dal valore del minimo autovalore:
ψ(J) = λmax(J−1)
dove l’operatore λmax(·) è il massimo autovalore della matrice e questo
criterio minimizza la lunghezza del massimo asse dello stesso elissoide; • A-optimality nel quale viene studiata la traccia:
ψ(J) = tr(J−1)
il quale elimina la varianza media delle stime;
• Sensitivity criterion nel quale si utilizza la traccia della matrice di informazione:
ψ(J) = −tr(J)
spesso usato per la sua semplicità.
Nel seguito della sezione vengono riportati i principali riferimenti utilizzati durante la stesura di questo lavoro. La sezione si divide in due parti: la prima riguarda i paper principali presenti in letteratura sull’argomento della localizzazione e sul posizionamento ottimale per il tracking di un emettitore mentre nella seconda parte vengono descritti alcuni dei paper riguardanti problemi similari, caratterizzati da una funzione costo differente per i diversi obiettivi da conseguire.
Uno dei primi lavori sullo studio della posizione ottimale dei sensori per la localizzazione è [37] dove l’autore si è focalizzato su come la geometria del posizionamento di sensori vada ad incidere sulla prestazione della loca- lizzazione dell’emettitore. È introdotto e descritto il fattore di prestazione
Geometric Diluition of Precision (GDOP) e vengono riportate delle contour
maps che mostrano come la disposizione ottimale sia quella che vede i sensori disposti come i vertici del poligono con centro nel target.
Successivamente, sono stati pubblicati [27, 38, 39] dove vengono studiate le strategie di coordinamento e il piazzamento ottimale di una rete di sensori mobili per il tracking di un target. In particolare, viene utilizzata come funzione costo il determinante della Fisher Information Matrix (D-optimality) e vengono calcolate le posizioni ottimali nel quale devono essere collocati i sensori. In questo paper viene sfruttato un risultato noto il letteratura, ovvero che la formazione ottimale dei sensori è quella che circonda il target in modo circolare descrivendo il poligono ad area maggiore il cui centro sia il nodo da localizzare, come discusso anche in [37]. Sfruttando questo risultato, gli autori hanno creato un algoritmo che forza i sensori a disporsi su una circonferenza centrata sul target.
In [40] gli autori hanno calcolato rigorosamente le posizioni dei sensori utilizzando gli angoli che essi formano rispetto al target. Utilizzando il
18 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE determinante della FIM (D-optimality), che è inversamente proporzionale all’incertezza della stima della posizione del target, viene mostrato come la posizione ottima dei sensori non sia unicamente quella descritta in [37] ma c’è la possibilità di disporre i sensori su una semicirconferenza centrata sul target. Un altro contributo di questo articolo consiste nelle considerazioni sul posizionamento nel quale i sensori non hanno stesso raggio di copertura.
Gli stessi autori hanno studiato in [41] il caso in cui la stima del para- metro fosse di tipo TDOA. Dalle simulazioni è emerso che nel caso in cui venga utilizzata la differenza di tempo di arrivo per la stima della posizione la configurazione è indipendente dal sensor-range. Gli autori concludono che esistono più configurazioni ottimali, una delle quali è quella più volte riportata nel paper dove i sensori sono disposti in modo da formare angoli uguali tra loro.
Nell’articolo [42] vengono fatte delle analisi riguardanti la geometria ottima di emettitore e sensori misurando la potenza del segnale ricevuto RSS. Viene dimostrato rigorosamente per n = 2, 3 nodi che la disposizione su una circonferenza non è sempre la formazione ottima. Inoltre, si analizza anche la simmetria della formazione dei nodi rispetto all’emettitore, con i sensori che possono essere disposti su un semipiano rispetto la vera posizione del target. Gli autori si soffermano sull’unicità di questo lavoro alla data della pubblicazione e tutt’ora non è semplice trovare algoritmi di posizionamento che si basano sulla stima RSS a causa dei problemi delle fluttuazioni descritte in precedenza.
In [43] vengono effettuati degli studi sul posizionamento di dispositivi in grado di muoversi sott’acqua come gli Autonomous Underwater Vehi-
cle (AUV) per il mapping dell’habitat marino, ispezione tubature ed altre
applicazioni. Il contributo principale di questo lavoro, nel quale viene uti- lizzato la funzione costo D-optimality, è quello di analizzare la formazione per due modelli: i) posizione dell’emettitore nota con una piccola incertezza, ii) varianza della misura gaussiana dipendente dalla distanza. Una disposi- zione ottimale dei sensori è desiderabile anche in applicazioni di esplorazione terrestre con una destinazione fissata [44]. A causa del limitato range dei sensori, essi devono essere disposti ad una distanza adeguata. Un approccio frequentemente utilizzato, in quanto si dimostra un metodo molto valido, è la creazione di algoritmo Flocking [45]. La formazione dello stormo deve tener conto anche della disposizione ottimale dei sensori per ottenere una buona stima del target.