Algoritmo basato su EPLL

retroazione. Lo schema generale di un normale circuito PLL è riportato in gura 3.1.

Figura 3.1: Schema a blocchi di un PLL, [28]

Gli elementi che compongono un PLL sono: un comparatore di fa-se (PHASE DETECTION SCHEME), un ltro passa basso (LOOP FIL-TER) ed un oscillatore controllato in tensione (VCO). Il comparatore di fase confronta la fase istantanea del segnale in ingresso al PLL con il se-gnale generato dall'oscillatore locale. In uscita dal comparatore si ha un segnale il cui valor medio è proporzionale alla dierenza tra le due fasi. Es-so viene opportunamente ltrato per ridurre l'interferenza spettrale delle componenti immagine e successivamente viene inviato al VCO. Quest'ulti-mo blocco produce un segnale la cui frequenza fondamentale è proporzio-nale alla tensione applicata in ingresso. La tensione di controllo del VCO corrisponde alla tensione continua in uscita dal ltro passa basso, che a sua volta risulta essere proporzionale alla dierenza di fase istantanea, e quindi di frequenza, tra il segnale d'ingresso e quello d'uscita. La retroa-zione del sistema garantisce che la frequenza del segnale di uscita sia la stessa di quella del segnale d'ingresso a patto che essa sia all'interno del campo d'aggancio e si mantenga all'interno del campo di cattura del PLL. Il principio di funzionamento di questo algoritmo si basa quindi sulla ca-pacità di questo dispositivo di ricavare la frequenza del segnale d'ingresso anche quando essa non è costante. L'EPLL è un ulteriore sviluppo al PLL, in grado non solo di stimare la frequenza istantanea, ma di ricavare anche ampiezza e fase del segnale in ingresso. Lo schema di principio dell'EPLL è riportato in gura 3.2. Si può notare che la struttura è composta da due anelli di retroazione minori, uno per la gestione dell'errore in ampiezza ed uno per l'errore in frequenza, essi sono poi racchiusi in un anello di retroa-zione maggiore che confronta il segnale d'ingresso con il segnale d'uscita complessivo.

38 Algoritmi di stima

Figura 3.2: Schema a blocchi di un EPLL, [28]

Si supponga che il segnale 3.1 sia il segnale in ingresso all'EPLL, il segnale nel dominio del tempo in uscita dal dispositivo sarà:

y(t, ¯P ) = ˆX₀cos(2π ˆf₀t + ˆφ₀) (3.6)

dove ¯P = [ ˆX₀, ˆf₀, ˆφ₀]è il vettore contenente le stime ottenute. L'errore istantaneo complessivo del segnale stimato è denito come:

J (t, ¯P ) = e(t, ¯P )² = [x(t)− y(t, ¯P )]² (3.7)

Per dimensionare gli anelli di retroazione viene utilizzato il metodo del gradiente discendente (GDM), che ha lo scopo di minimizzare gli errori sulle singole stime intervenendo sulla derivata di ¯P, denita come: ˙¯P =−K∂J

∂P. Dalla denizione di ˙¯P si ricava il seguente sistema di equazioni dierenziali:

       ˙ˆ X₀ = 2k₁e^∗cos( ˆφ₀) ˙ˆ f₀ = ^−2k2e∗_{sin( ˆφ0)} 2π ˙ˆ φ₀ =−2k3e^∗sin( ˆφ₀)− 2π ˆf₀ (3.8) dove e∗ _{= x(t}∗₎− ˆX₀cos( ˆφ₀). Dal sistema 3.8 è possibile dimensionare i parametri k1, k2e k3, tali da minimizzare gli errori sulle stime. Ad esempio, considerando il segnale d'ingresso cosinusoidale il metodo del gradiente discendente fornisce la seguente approssimazione lineare dell'ampiezza:

˙

3.1 Algoritmo basato su EPLL 39 da cui si ricava un valore di k1 per il quale l'errore di stima dell'am-piezza è minore di un valore predenito entro un certo limite temporale. Osservando la gura 3.2 è possibile ricavare la seguente funzione di trasfe-rimento del sistema:

T (s) = ^{X0(k3s + k2)}

s2+ X₀k₃s + X₀k₂ (3.10)

Attraverso lo studio di 3.10 si ricava il comportamento dinamico e sta-tico del dispositivo, identicando i tempi di risposta a diversi tipi di varia-zioni del segnale d'ingresso e la banda dell'intero sistema.

Prestazioni dell'algoritmo

Le prestazioni dell'algoritmo sono state valutate secondo alcuni dei se-gnali di prova identicati nello standard [8] e sono state raccolte sperimen-talmente in [28]. Nella gura 3.3 sono riportati i risultati di tre variazioni a step di frequenza, a partire da una frequenza iniziale di 60 Hz. Si può notare che nel caso di variazione maggiore di 3 Hz l'indice TVE supera, durante un breve transitorio, il 7%. Questo valore elevato dell'errore com-plessivo si può attribuire al tempo impiegato dal dispositivo per agganciarsi al segnale d'ingresso, che indicativamente è pari ad un periodo del segna-le. Una volta che l'aggancio alla componente fondamentale è avvenuto il dispositivo assicura ottime prestazioni nelle stime dei parametri richiesti.

Nella gura 3.4 sono invece riportate le prestazioni dell'algoritmo nel caso di applicazione di una rampa di frequenza, è possibile osservare che il dispositivo, essendo la variazione di frequenza lenta, rimane agganciato al segnale in ingresso e dunque l'errore complessivo si mantiene inferiore allo 0.025%.

Come terzo segnale di prova è stato applicato un gradino in ampiezza, con percentuali del ±10% e del ±20%. La risposta complessiva del dispo-sitivo è quella caratteristica di un sistema del second'ordine, e presenta quindi una sovraelongazione iniziale che si porta asintoticamente al valore previsto. Dalle gure 3.5, è possibile notare che, nell'istante in cui viene applicato il gradino, l'EPLL rileva anche una variazione in frequenza del segnale. Questo comporta un errore nel comparatore di fase che si riper-cuote sulle stime dei parametri e di conseguenza sul TVE, che supera il 20%. Questo aumento del TVE è un transitorio di durata pari a circa un periodo del segnale, successivamente l'indice rientra al di sotto dell'1%.

L'algoritmo di stima basato su EPLL presenta buone prestazioni in regime stazionario e per variazioni di frequenza lente, ciò accade perchè il segnale d'ingresso viene agganciato e si crea una stabilità nel dispositivo

40 Algoritmi di stima

Figura 3.3: Prestazioni EPLL: step in frequenza (±1: linea punteggiata,

±3: linea tratteggiata, ±5 Hz: linea continua). (a) Errore stima ampiezza

%; (b) Errore stima fase (deg); (c) TVE %; (d) Stima Frequenza (Hz), [28] che garantisce delle stime ottimali. Nel caso in cui siano applicati segnali con variazioni rapide, sia in ampiezza che in frequenza, le prestazioni del dispositivo peggiorano notevolmente, tanto da non soddisfare le speciche richieste nello standard [8]. Se si suppone l'applicazione dell'algoritmo basato su EPLL in ambito smart microgrid le problematiche maggiori si avrebbero quando i disturbi nella rete sono identicabili come buchi di tensione.

3.1 Algoritmo basato su EPLL 41

Figura 3.4: Prestazioni EPLL: rampa di frequenza (±0.5 Hz/s: linea trat-teggiata, ±1 Hz/s: linea continua). (a) TVE %; (b) Frequenza istantanea e stimata (Hz); (c) ROCOF stimato (Hz/s), [28]

42 Algoritmi di stima

Figura 3.5: Prestazioni EPLL: step in ampiezza (±10%: linea tratteggiata,

±20%: linea continua). (a) Errore stima ampiezza %; (b) Errore stima fase