Analisi con la CUF

A dierenza di quanto fatto con le formulazioni 1D e 2D, cambiamo leggermente notazione, poichè ci aiuterà a lavorare con le equazioni. Infatti dividiamo il vettore delle deformazioni in due, in cui il primo (indicato col pedice p) è per le deformazioni sul piano, mentre il secondo (indicato col pedice n) è per le deformazioni fuori dal piano (faremo un discorso analogo anche per le tensioni) :

p = {11, 22, 12}^T, n = {13, 23, 33}^T (5.37) Inoltre indichiamo gli spostamenti in questo modo:

u = {u, v, w}^T (5.38)

Se generalizziamo i risultati trovati nella sezione precedente usando la formulazione CUF e inseriamo la funzione per studiare la sezione Fτ = F_τ(ξ³):

₁₁= F_τu_τ,1

₂₂= F_τh

Hv_τ,2+ Hw_τ R

i

₁₂= F_τ[u_τ,2+ Hv_τ,1]

₁₃= w_τ,1F_τ+ u_τ,1F_τ,3 (5.39)

₂₃= F_τh

w_τ,2− vτ

R i

+ F_τ,3Hv_τ,2

₃₃= w_τ,3F_τ,3

Adoperando anche la discretizzazione FEM 2D per gli spostamenti avremo:

δu_τ = N_i(ξ¹, ξ²)F_τ(ξ³)δq_{τ i}, u_s = N_j(ξ¹, ξ²)F_s(ξ³)δq_sj, (5.40)

5.4  Analisi con la CUF

Utilizzeremo le seguenti matrici per calcolare le deformazioni in funzione degli spostamenti:

D_p =





∂₁ 0 0

0 H∂₂ 0

∂₂ H∂₁ 0



, D_nΩ=





0 0 ∂₁ 0 0 ∂₂ 0 0 0





Dnz =∂3Anz =





1 0 0

0 H 0

0 0 1



 (5.41)

A_p =





0 0 0

0 _R¹H 0

0 0 0



, A_n=





0 0 0 0 _R¹ 0 0 0 0



 In forma compatta possiamo riscrivere:

_p = F_τ(D_p+ A_p) (N_iI) q_{τ i} (5.42)

_n= F_τ(D_nΩ− A_n) (N_iI) q_{τ i}+ F_τ,sA_nz(N_iI) q_{τ i}

Dato che studiamo strutture multistrato, useremo l'apice k per indicare le quantità del singolo strato. Le tensioni diventano:

σ^k_p = eC^k_pp^k_p+ eC^k_pn^k_n (5.43) σ^k_n = eC^k_np^k_p + eC^k_nn^k_n (5.44) con le matrici del materiale:

Ce^k_pp=







Ce^k₁₁ Ce^k₁₂ Ce^k₁₆ Ce^k₁₂ Ce^k₂₂ Ce^k₂₆ Ce^k₁₆ Ce^k₂₆ Ce^k₃₆





, Ce^k_pn=







0 0 Ce^k₁₃ 0 0 Ce^k₂₃ 0 0 Ce^k₃₆





 (5.45)

Ce^k_np =





0 0 0

0 0 0

Ce^k₁₃ Ce^k₂₃ Ce^k₃₆



, Ce^k_nn =







Ce^k₄₄ Ce^k₄₅ 0 Ce^k₄₅ Ce^k₅₅ 0 0 0 Ce^k₆₆







Passando alle equazioni di governo, partiamo sempre dal principio dei lavori virtuali con δLint = δL_est:

Z

Ωk

Z

l

n

δ^k_p^Tσ^k_p + δ^k_n^Tσ^k_no

dΩ_kdξ^3k = Z

Ωk

Z

l

δu^kp^kdΩ_kdξ^3k (5.46) con p^k = p^k(ξ¹, ξ³, ξ²). Al ne di riportare i dominii di integrazione alla supercie mediana di ciascun strato nel sistema delle coordinate curvilinee, bisogna introdurre il parametro H in questo modo:

Z

Ωk

Z

l

n

δ^k_p^Tσ^k_p + δ^k_n^Tσ^k_no

HdΩ_kdξ^3k = Z

Ωk

Z

l

δu^kp^kHdΩ_kdξ^3k (5.47)

R_k è il raggio di curvatura della supercie media del k-esimo strato e abbiamo

−^h₂^k < ξ^3k < +^h₂^k, dove h^k è lo spessore del k-esimo strato.

Inne abbiamo, come già per i casi plate e beam il Nucleo Fondamentale:

δq^T_{τ i} : K^{kijτ s}q^k_sj = P^k_sj (5.48)

Capitolo 6

Uso della CUF per l'analisi dei laminati

6.1 Introduzione ai metodi ESL e LW

Figura 6.1: Struttura laminata e Nuclei Fondamentali 3 × 3

Le strutture che studieremo nella parte di simulazioni numeriche saranno, per la gran parte, strutture composite, formate da materiali ortotropi. Nel presente capitolo dovremo vedere come poter applicare le formulazioni CUF 1D e 2D allo studio di queste strutture. Come già dunque spiegato nella parte teorica del metodo CUF, anche qui usiamo discretizzazione FEM in combinazione con le teorie CUF, le quali dovranno essere scelte in maniera approfondita: infatti vi sono delle dierenze nell'utilizzo di espansioni di Taylor e di Lagrange. Dato che usiamo il metodo CUF, possiamo notare che per ogni strato della sezione si avrà la sua sottomatrice K^{τ s}

(che è parte della matrice più grande K^{τ sij} derivante dal fatto di aver usato la FEM, sia essa per una beam o per una piastra) composta dai nuclei fondamentali (in gura 6.1 possiamo vedere la stuttura laminata e i simboli che useremo per indicare le matrici 3X3 del nucleo fondamentale). A seconda delle tecniche adottate le matrici K^{τ s} sono assemblate in maniera diversa.

6.1.1 Uso dell'espansione di Taylor

Figura 6.2: Sezione e Matrice assemblata per espansione di Taylor con la formulazione 1D

Figura 6.3: Sezione e Matrice assemblata per espansione di Taylor con la formulazione 2D

Come già visto nella parte introduttiva sulle espansioni, queste ultime sono mol-to versatili, perchè possiamo impostare noi un grado della teoria, senza dover creare teorie empiriche ad hoc per ogni tipo di problema. La caratteristica peculiare di questo tipo di espansione, inoltre, è che utilizza un campo di spostamenti valido per tutta la sezione e non possiamo suddividere la sezione in sottodominii. Perciò, quando studiamo i laminati, consideriamo una media di tutte le caratteristiche della sezione e dunque gli unici metodi che possono essere adoperati con le espansioni di

6.1  Introduzione ai metodi ESL e LW

Taylor sono i cosiddetti Equivalent Single Layer. In questi casi tutte le caratteristi-che meccanicaratteristi-che dei vari strati vengono sommate. In pratica i nuclei fondamentali vengono sommati, ovviamente in maniera opportuna a seconda degli indici della teoria di espansione usata . Sebbene usiamo delle teorie che considerano la sezione nella sua globalità, i risultati con Taylor sono molto precisi, poichè non ci limitia-mo a usare teorie classiche come le già accennate (Eulero-Bernoulli per la trave o Reissner-Mindlin per la piastra), ma usiamo teorie di ordine molto elevato anche

no a N=20 (sia per la formulazione CUF 1D che 2D). Con tali teorie si può suppli-re in parte anche al problema della determinazione delle tensioni traversali, come possiamo notare nella parte relativa alle applicazioni, anche se solo con la strategia LW possiamo arrivare a risultati molto precisi.

Formulazione CUF 1D Facciamo un esempio per la formulazione 1D, adope-rando una teoria lineare, ossia del primo ordine (N = 1) e scriviamo dunque il campo di spostamenti lungo la sezione:







ux = ux1 + xux2 + zux3

u_y = u_y1 + xu_y2 + zu_y3 u_z = u_z1 + xu_z2 + zu_z3

(6.1)

Vediamo come vi sia un unico campo di spostamenti per tutta la sezione (nella parte sinistra della gura6.2 abbiamo colorato la sezione completamente di blu per indicare l'omogeneità) Se passiamo poi all'assemblaggio della matrice K^{τ s}dobbiamo sapere quale sia il numero di nuclei fondamentali (indicato dalla lettera M) che cambia a seconda dell'ordine del'espansione di Taylor (e dal tipo di formulazione).

Per la CUF 1D sappiamo che M = (N + 1)(N + 2)/2 e quindi qui M è pari a 3.

Avremo, dunque, una matrice K^{τ s} di dimensioni 3 × 3. In gura 6.2 vediamo dal punto vista semplicato l'asseblaggio di questa matrice. Notiamo come tutti gli strati siano omogeneizzati e i nuclei fondamentali siano sommati insieme.

Formulazione CUF 2D Per la formulzione 2D, adoperiamo, invece una teoria del terzo ordine (N = 3), che dipenderà in maniera esplicita, diversamente dall'altra formulazione, soltanto dalla coordinata z:







u_x = u_x0 + zu_x1 + z²u_x2 + z³u_x3 u_y = u_y0 + zu_y1 + z²u_y2 + z³u_y3 u_z = u_z0 + zu_z1 + z²u_z2 + z³u_z3

(6.2)

Anche qui il campo di spostamenti è unico per tutta la sezione e nella parte sinistra della gura 6.3 il segmento blu indica l'omogenizzazione (raguro un segmento poichè nella CUF 2D, nella parte di implementazione, la sezione della piastra viene costruita con degli elementi beam). Se passiamo poi all'assemblaggio della matrice

K^{τ s} dobbiamo sapere quale sia il numero di nuclei fondamentali (indicato dalla lettera M) che cambia a seconda dell'ordine del'espansione di Taylor (e dal tipo di formulazione). Per la CUF 2D sappiamo che M = N + 1 e quindi qui M è pari a 4. Avremo, dunque, una matrice K^{τ s} di dimensioni 4 × 4. In gura 6.3 vediamo dal punto vista semplicato l'asseblaggio di questa matrice. Notiamo come tutti gli strati siano omogeneizzati e i nuclei fondamentali siano sommati insieme.

6.1.2 Uso dell'espansione di Lagrange Layer-Wise

Figura 6.4: Sezione e Matrice assemblata per espansione di Lagrange LW con la formulazione 1D

Figura 6.5: Sezione e Matrice assemblata per espansione di Lagrange LW con la formulazione 2D

Come abbiamo visto nei capitoli precedenti, possiamo usare diversi ordini di espansione di Lagrange a seconda del numero di nodi che compongono gli elementi piani (per CUF 1D) o unidimensioniali (per CUF 2D). Una delle grandi potenzialità di questa strategia è che la sezione può essere discretizzata in tanti sottodominii, che possono avere ordine qualsiasi (facendo sempre attenzione a far combaciare i nodi

6.1  Introduzione ai metodi ESL e LW

dei diversi sottodominii) e ad ognuno di essi posso associare una certa laminazione indipendentemente dagli altri. Con queste caratteristiche, ad ogni strato possiamo associare un espansione di Lagrange con caratteristiche meccaniche diverse e quindi per ogni strato possiamo decidere di usare un campo di spostamenti diverso. Questi metodi sono chiamati Layer Wise. Anche in questo caso dobbiamo assemblare un matrice K^{τ s} con diversi nuclei fondamentali fondamentali. A dierenza del caso TE, qui solo alcuni nuclei fondamentali dei vari strati devono essere sommati tra di loro (per garantire la continuità tra gli strati), mentre gli altri sono distinti. La matrice delle rigidezze aumenta di molto la propria dimensione perchè, appunto, ogni strato ha le sue caratteristiche indipendenti. Comunque, per incrementare le capacità di predizione delle tensioni, potremmo creare altri sottodominii all'interno dello stesso strato. Come di consueto studieremo in parallelo le formulazioni CUF 1D e 2D.

Formulazione CUF 1D Come esempio, vediamo il caso di una sezione divisa in tre strati (k: strato generico), e ognuno di essi è schematizzato da un'espansione LE4 :







u^k_x = F₁u^k_x

1 + F₂u^k_x

2 + F₃u^k_x

3 + F₄u^k_x

4

u^k_y = F₁u^k_y

1 + F₂u^k_y

2 + F₃u^k_y

3 + F₄u^k_y

4

u^k_z = F₁u^k_z1 + F₂u^k_z2+ F₃u^k_z3 + F₄u^k_z4

(6.3)

dove le funzioni Fτ sono state già descritte nei capitoli precedenti. Come possiamo notare la dierenza è notevole rispetto ai modelli ESL, perchè dobbiamo scrivere un campo di spostamenti per ogni strato (potremmo usare anche più elementi per ogni layer). Nella parte sinistra della gura 6.4 sono ragurati i tre sottodominii con colori dierenti per evidenziare le loro dierenze. Se passiamo poi all'assemblaggio della matrice K^{τ s}dobbiamo sapere quale sia il numero di nuclei fondamentali (indi-cato dalla lettera M) che cambia a seconda dell'ordine del'espansione di Lagrange.

Per questo tipo di espansione l'ordine della teoria cinematica N è pari al numero M. Avremo, dunque, per ogni sottodominio, una matrice K^{τ s} di dimensioni 4 × 4.

Con il metodo LW le sottomatrici di ogni elemento della sezione devono essere unite per formare la matrice K^{τ s} che viene visualizzata nella gura6.4.

Formulazione CUF 2D Come esempio, vediamo il caso di una sezione divisa in tre strati (k: strato generico), e ognuno di essi è schematizzato da un'espansione

LE3: 





u^k_x = F1u^k_x1 + F2u^k_x2 + F3u^k_x3 u^k_y = F₁u^k_y

1 + F₂u^k_y

2 + F₃u^k_y

3

u^k_z = F₁u^k_z

1 + F₂u^k_z

2 + F₃u^k_z

3

(6.4)

dove le funzioni Fτ sono state già descritte nei capitoli precedenti. Come possiamo notare la dierenza è notevole rispetto ai modelli ESL, perchè dobbiamo scrivere un

campo di spostamenti per ogni strato (potremmo usare anche più elementi per ogni layer). Nella parte sinistra della gura 6.5 sono ragurati i tre sottodominii con colori dierenti per evidenziare le loro dierenze (mostriamo un segmento poichè in questa formulazione la sezione è unidimensionale). Se passiamo poi all'assemblag-gio della matrice K^{τ s} dobbiamo sapere quale sia il numero di nuclei fondamentali (indicato dalla lettera M) che cambia a seconda dell'ordine del'espansione di La-grange. Per questo tipo di espansione l'ordine della teoria cinematica N è pari al numero M. Avremo, dunque, per ogni sottodominio, una matrice K^{τ s} di dimensio-ni 3 × 3. Con il metodo LW le sottomatrici di ogdimensio-ni elemento della sezione devono essere unite per formare la matrice K^{τ s}, che viene visualizzata nella gura 6.5.

6.2 Metodo Equivalence Single Layer con polinomi

Nel documento UsodiPolinomidiLagrangenell'AnalisiLineareeNonlinearediStruttureLaminate TesidiLaureaMagistrale POLITECNICODITORINO (pagine 56-64)