Analisi dei risultati

Definito il benchmark per l'applicazione numerica, la prima parte dei risultati si concentrerà sulla quantization. A tal proposito la Tab. 5.3 sintetizza i risultati raggiunti da tale tecnica utilizzando un quantizer di numerosità pari a 1.430: ad ogni epoca di stima, oltre al valore dell'EEeff, vengono indicati anche gli errori e gli errori percentuali in valore assoluto commessi rispetto ai risultati che abbiamo assunto come "veri". I risultati relativi all'EEeff e all'EPEeff della quantization e del benchmark sono meglio rappresentati nella Fig. 5.3, mentre la successiva Fig. 5.4 illustra l'errore percentuale in valore assoluto nell'arco dei 9 time bucktes.

La tecnica di quantizzazione sottostima sempre il valore atteso dell'esposizione futura e, con il passare delle epoche di stima, la divergenza tra gli EEeff delle tecniche aumenta dell'ordine dello 0,05% circa ad ogni epoca; in termini di EPEeff, invece, l'errore di sottostima è dello 0,25973%, che si attesta appunto a metà dell'errore commesso nella valutazione ad un anno del portafoglio. I primi risultati sembrano indicare un buon grado di efficienza della tecnica visto che, a differenza dei metodi Monte Carlo, i valori finali sono frutto di un procedimento deterministico dato dalla scelta della griglia multidimensionale.

Un giudizio definitivo potrà essere espresso una volta messe assieme tutte le procedure e calcolati gli intervalli di confidenza per le quattro tecniche che saranno oggetto di confronto

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 EPE_eff 115.339.705 115.339.705 115.339.705 115.339.705 115.339.705 115.339.705 115.339.705 115.339.705 115.339.705 EE_eff 115.275.057 115.292.360 115.309.476 115.326.032 115.341.236 115.354.344 115.368.482 115.386.969 115.403.391 Err. -57.752 -118.404 -175.993 -237.677 -298.988 -363.421 -425.840 -483.405 -541.677 Err. Ass. % 0,05007% 0,10259% 0,15239% 0,20567% 0,25855% 0,31406% 0,36776% 0,41719% 0,46718% QUANTIZ

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Fig. 5.3 Stima dell'EEeff con la tecnica di quantizzazione a confronto con il benchmark.

Fig. 5.4 Errore assoluto percentuale della quantization rispetto al benchmark.

con la quantizzazione.

Passando alle altre procedure numeriche, oltre ai valori di EPEeff e EEeff si è in grado di costruire anche un intervallo di confidenza al 95% entro cui si troverà il valore teorico di ciascuna delle 9 call option scritte sul portafoglio. Per una singola prova effettuata con il generatore Mersenne Twister, con il Monte Carlo classico, con la variante delle variabili antitetiche e con la sequenza di Halton utilizzando 1.430 estrazioni casuali (o quasi-casuali) si ottengono i grafici riportati in Fig. 5.5. Con il generatore Mersenne Twister e la sequenza di Halton, a partire da un'epoca intermedia rispetto all'orizzonte temporale di un anno, l'EEeff diventa una linea retta orizzontale poiché risulta che il FV calcolato in ciascuna di quelle epoche è più basso del precedente EEeff realizzato.

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Fig. 5.5 Risultati di una simulazione con ciascuna delle tecniche proposte generando 1.430 scenari.

A questo punto del procedimento non rimane altro che confrontare i risultati delle analisi svolte per cercare di giungere ad una conclusione sull'efficienza raggiunta dalle diverse tecniche. A tal proposito si vuole dapprima evidenziare che l'intervallo di confidenza attorno al valor medio aumenta all'aumentare del tempo di stima e, in secondo luogo, che a parità di time bucket l'intervallo si restringe all'aumentare del numero di simulazioni effettuate. Gli intervalli di confidenza dei grafici in Fig. 5.6 sono stati costruiti prendendo come valore atteso teorico l'EEeff realizzato dal benchmark, vedi Tab. 5.2, e la dispersione delle stime nei casi in cui gli scenari generati siano pari a 1.000, 2.000 e 5.000 con ciascuno dei metodi Monte Carlo e con il generatore Mersenne Twister.

I grafici della Fig. 5.6 contengono l'intervallo di confidenza per ciascuna tecnica adottata anche nel caso in cui gli scenari generati per la valutazione siano 5.000; questa cifra è ampiamente al di fuori delle capacità computazionali delle banche di discrete dimensioni che debbano giornalmente produrre delle stime su singoli derivati e/o portafogli. Nonostante tutto, si può notare come la quantization, linea rossa, riesca ad essere all'interno di tutti gli intervalli calcolati. Questo vuol dire che, presa la dispersione delle stime per una

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Fig. 5.6 Intervalli di confidenza attorno al valore atteso teorico per ciascuna delle tecniche studiate e con

scenari pari a 1.000, 2.000 e 5.000.

prova da 5.000 scenari e costruito l'intervallo di confidenza al 95%, la quantizzazione con numerosità 1.430 in maniera del tutto deterministica e non aleatoria è più precisa delle tecniche che attualmente vengono utilizzate.

Una interessante rappresentazione che identifichi la differenza di precisione tra le tecniche Monte Carlo e la quantizzazione è data dalla Fig. 5.7 (i dati sono riportati nella Tab. 5.4); tale figura ci permette di identificare quante simulazioni con il Monte Carlo classico sono necessarie per ottenere i medesimi risultati della quantizzazione. In altre parole, noto l'errore assoluto percentuale commesso da quest'ultima al variare della numerosità del quantizer si vuole trovare il numero di simulazioni N per avere la stessa efficienza nei risultati; l'obiettivo viene raggiunto invertendo la formula per ottenere l'intervallo di confidenza al 95% utilizzata in precedenza, quindi:

ܰ ൌ ൬_{ܧݎݎ݋ݎܸ݈݁ܽǤ ܣݏݏǤ൰}ͳǡͻ͸ ή ߪ ଶǤ

È logico aspettarsi, vedi Tab. 5.4, che all'aumentare della numerosità del quantizer deve aumentare anche il numero di simulazioni per il metodo Monte Carlo per riuscire ad avere la medesima precisione.

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Err. Ass. % Punti Q Simulazioni MC

0,58936% 500 4211

0,51381% 950 5540

0,46718% 1430 6701

Tab. 5.4 Confronto tra punti del quantizer e numero di simulazioni MC.

Fig. 5.7 Numero di simulazioni Monte Carlo e punti del quantizer necessari per ottenere la medesima

efficienza.

Come nel pricing dell'opzione put europea del precedente capitolo sarebbe utile fornire i risultati raggiunti dalle varie tecniche al variare dei parametri di input del problema. In questo senso è possibile modificare la volatilità del portafoglio o il tasso privo di rischio.

Seguendo lo schema di analisi appena delineato, le Fig. 5.8 e 5.9 rappresentano i risultati ottenuti modificando la volatilità del portafoglio impostando rispettivamente il 10% e il 30%. Senza riproporre tutte le tabelle riassuntive dei risultati delle tecniche e del benchmark, è da sottolineare come al diminuire della volatilità l'efficienza della quantizzazione risulta notevolmente superiore rispetto a quanto osservato precedentemente. Nell'ultima epoca di stima, in termini di EEeff, l'errore percentuale commesso è pari allo 0,1221%, sebbene anche in questo caso vi sia sempre un errore 'costante' di sottostima. Come ci si poteva attendere, al variare della volatilità cambia anche l'ampiezza degli intervalli attorno al valore atteso teorico; questa considerazione può essere compresa se nelle Fig. 5.7, 5.8 e 5.9 si guardano i valori sull'asse delle ordinate. Sebbene i valori per

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Fig. 5.8 Intervalli di confidenza attorno al valore atteso teorico per ciascun delle tecniche e con scenari pari a

1.000, 2.000 e 5.000 e volatilità del portafoglio pari al 10%.

Fig. 5.9 Intervalli di confidenza attorno al valore atteso teorico per ciascuna delle tecniche e con un numero di

scenari pari a 1.000, 2.000 e 5.000 e volatilità del portafoglio pari al 30%.

tutte le tecniche non cambino di molto e la quantizzazione fornisca dei risultati che si attestano all'interno dell'intervallo di confidenza al 95% calcolato sulla base di 5.000 scenari, nel caso si assuma che la volatilità del portafoglio sia pari al 30% l'EEeff che si

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ottiene è pari al all'EPEeff nonché pari al valore iniziale MtM0. Questo spiega la linea rossa orizzontale dell'EEeff nei grafici riportati in Fig. 5.9. Quanto detto potrebbe essere un punto a sfavore della quantization, alla luce dei risultati teorici assunti, ma è anche vero che con un tasso privo di rischio non più pari a 0,6% ma sopra l'1,15% l'EEeff della quantizzazione non è più una linea retta orizzontale ma è costantemente in crescita all'aumentare dell'orizzonte temporale.

Fatte salve alcune riflessioni, l'applicazione numerica di calcolo dell'EPEeff, incentrata per ovvi motivi sull'EEeff, ha visto la tecnica di quantizzazione e le altre tecniche affrontare un problema multidimensionale dove l'incertezza delle stime aumenta con il trascorrere del tempo. I risultati ottenuti dalla quantizzazione ci permettono di considerarla una valida alternativa ai metodi Monte Carlo per questa tipologia di applicazioni, andando ad utilizzare la volatilità storica di un portafoglio cleaned su un periodo di sei mesi per calcolare le metriche di rischio a fini normativi.