Analisi dimensionale del fenomeno della filtrazione

Il teorema di Buckingham - Riabucinski o teorema p costituisce la base di tutta l’analisi dimensionale. Tale teorema può essere applicato a qualsiasi relazione fisica e in pratica stabilisce come raggruppare le variabili dimensionali in gruppi adimensionali.

L’analisi dimensionale consente di distinguere le grandezze fondamentali o primarie, dimensionalmente indipendenti, dalle grandezze derivate, inoltre riduce il numero delle variabili da indagare.

Ad esempio consideriamo la relazione seguente:

go = f (g1, g2 , g3 …. gn)

Tra le variabili g1, g2, g3…gn, supponiamo di scegliere, come fondamentali, le

variabili indipendenti g1, g2 e g3, ognuna delle quali sta a rappresentare una unità

fondamentale.

Si definisce Π il termine ottenuto come prodotto tra una variabile non fondamentale e le variabili fondamentali elevate ad opportuni esponenti tali da rendere il termine Π adimensionale.

[ ] [ ] [ ]

i i i i i g g g g γ β α 3 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ = Π con i = 1,2,3,...n.

Nel presente studio si analizza il fenomeno della filtrazione delle rampe in massi e la variazione della dissipazione di energia sulla rampe.

Per quanto riguarda il fenomeno della filtrazione all’interno della rampa, QF/Q(%), essa può essere espressa con un legame funzionale del tipo:

' ' '' 50 50 50 0 (%) ( , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 1, 4) F s s s e f r s si Q f Q Q k g n S d D D H L i h U U b i t BC BC Q = ρ ρ ρ υ τ μ dove:

• Q portata liquida entrante sulla rampa

• QF portata di filtrazione misurata in uscita dal canale Venturi

• Qs portata superiore in uscita dalla rampa

• k altezza critica

• g accelerazione di gravità

• d50 riferito al diametro del materiale di base, corrispondente al 50% della

curva granulometrica

• D50’ diametro del materiale della rampa, relativo al primo strato ovvero

quello a contatto con il materiale di base, corrispondente al 50% della curva granulometrica

• D50’’ diametro del materiale della rampa, relativo al secondo strato,

corrispondente al 50% della curva granulometrica • m viscosità dinamica dell’acqua

• n viscosità cinematica del fluido • r densità dell’acqua

• rs densità del materiale di base

• rs’ densità del materiale della rampa

• t tortuosità

• t spessore dello strato filtrante • Sf sfericità del materiale di base

• i0 pendenza della rampa

• isi gradiente piezometrico relativo al settore si

• H altezza della rampa • Lr lunghezza della rampa

• Us velocità al piede della rampa, relativa alla portata superiore Qs

• h tirante idrico sulla rampa in una sezione generica • b larghezza del canale

• ne porosità efficace del materiale

Discorso a parte meritano i parametri BC1 (boundary condition 1) e BC4 (boundary condition 4) i quali stanno a significare rispettivamente la condizione al contorno di monte e la condizione al contorno di valle. Per quanto riguarda la condizione di monte occorre specificare ancora una volta che nel nostro modello sperimentale il fondo permeabile della rampa inizia nella sezione zero (vedi disegno sotto) e inoltre che la portata in arrivo sulla rampa comincia a filtrare attraverso lo strato poroso soltanto dalla sezione zero prima menzionata. Viene di seguito riportato un disegno che raffigura in particolare la parte di monte del modello. QF SETTI IMPERMEABILI Q 0,00 0 10 k Y X Z

Figura 5.1 particolare della sezione di monte

È necessario ricordare, come già specificato nei capitoli precedenti, che le elaborazioni che verranno di seguito riportate sono inerenti, prevalentemente, alle prove in “pressione”, e quindi la condizione di valle è proprio riferita a questa

particolare vincolo piezometrico (vedi cap. 4). Verranno comunque presentati dei grafici nei quali si riportano anche le prove in condizione di pressione atmosferica, ma verranno utilizzate a scopo di confronto con le prove in “pressione”.

Ciò premesso, i parametri BC1 e BC4 possono essere trascurati perché ogni prova sperimentale è stata condotta osservando tali condizioni.

Vanno adesso svolte alcune considerazioni sulle altre grandezze sopra elencate. La portata “Q(x)” è funzione dell’altezza “h” ed è ricavabile come è noto dalla relazione di Manning una volta determinato il coefficiente di scabrezza “n”, il quale può essere a sua volta espresso dalla relazione di Pagliara – Chiavaccini (2006)

0.11 50 0

0.064( )

n= d i ,

con d50 espresso in metri, legge valida per rampe con pendenza variabile tra 0,1 e

0,4 e materiale di riprap di tipo angolare; quindi la portata che scorre al di sopra della rampa, in una sezione generica e in ipotesi di moto uniforme, è data da

5 3 0 1 ( ) Q x i bh n =

valida per sezioni rettangolari molto larghe, e stesso ragionamento vale per la portata “Qs” e la rispettiva altezza di valle “h1”. Si sottolinea come le velocità U e

Us siano legate alle rispettive portate dalla relazione Q=UA.

Mentre la portata entrante “Q” è legata all’altezza critica nel modo seguente

2 3 2 Q k b g =

La viscosità dinamica “m” è legata alla viscosità cinematica n e alla densità r del fluido dalla relazione

μ υ ρ= ⋅

8.00E-07 9.00E-07 1.00E-06 1.10E-06 1.20E-06 1.30E-06 1.40E-06 0 5 10 15 20 25 30 °C Vis c o s it à ( m 2 /s )

Figura 5.2 andamento della viscosità cinematica in funzione della temperatura

ma dato che le prove sperimentali sono state condotte pressoché in un ambiente a temperatura costante, si può confermare l’invarianza di tale parametro durante le prove.

La tortuosità “t” è legata sia alla lunghezza della rampa Lr che all’altezza del

mezzo poroso H.

Altri parametri come la porosità efficace, la sfericità, la densità del materiale di base e di quello costituente la rampa possono essere considerati costanti e quindi tolti dalla relazione funzionale precedentemente scritta.

Si possono trascurare la lunghezza della rampa “Lr” mantenuta costante, e

analogo discorso vale per la larghezza “b” del canale.

Irrilevante è anche la variazione della percentuale di filtrazione al variare del D50’

e D50’’, come poi verrà successivamente spiegato in maniera più esaustiva (nel

seguito il D50’ e il D50’’ verranno chiamati indistintamente D50).

Possiamo adesso procedere all’ analisi dimensionale riferendoci alla seguente formula e alla tabella successiva in cui viene riportato uno schema delle grandezze indagate.

Il legame funzionale di tali grandezze è rappresentato dalla seguente espressione

Q Qs QFiltr 0,00 0 10 30 45 60 80 95

i

s1 k 100 Y X Z

i

s2

i

s3

i

s4

i

s5

L

r

s

1

s

2

s

3

s

4

s

5 H U b h1 h s,d50,ne 's,D50',D50'', t io=tg

Figura 5.3 grandezze oggetto dello studio

Fluido r n Gravità e pendenza g i0 Strato filtrante d50 ne t Caratteristiche idrodinamiche k U h Caratteristiche geometriche b H Rampa D50‘ D50‘’ Gradiente piezometrico isi

Nel documento analisi dei processi di interscambio idrico su letti in macroscabrezza (pagine 93-99)