Analisi dinamica non lineare (Non linear time history analysis)

L’analisi dinamica non lineare consiste nel calcolo della risposta sismica della struttura mediante integrazione delle equazioni del moto, utilizzando un modello non lineare della struttura e gli accelerogrammi.

L’analisi dinamica non lineare è sempre obbligatoria quando il sistema d’isolamento non può essere rappresentato da un modello lineare equivalente.

L'integrazione nel tempo delle equazioni del moto è condotta utilizzando il metodo di Newmark e gli step temporali di integrazione in genere sono assunti costanti.

Ad ogni iterazione la convergenza si considera raggiunta allorché l'aliquota di forza non bilanciata è minore di un’aliquota della forza totale.

L'equazione del moto che descrive la risposta del sistema è la seguente:

g NL U U MU F KU U C U M .. . . .. ) , ( = − + + + [3.26] Dove:

• M è la matrice delle masse della struttura;

• C è la matrice di smorzamento della struttura;

• K è la matrice di rigidezza della struttura;

• FNL è la forza degli elementi non-lineari della struttura (isolatori sismici) che dipende dagli

spostamenti, dalle velocità e dalla storia di carico.

La matrice delle rigidezze K e quella delle masse M sono definite in funzione della geometria della struttura, delle proprietà delle sezioni trasversali, e delle connessioni fra gli elementi strutturali. La matrice di smorzamento C è definita come combinazione lineare della matrice delle masse e di quella delle rigidezze, in accordo con la seguente espressione (smorzamento di Rayleigh):

C = α M + β K [3.26]

con

• α = 4π(ξ2T2-ξ1T1)/(T22-T12)

• β = [(T1T2) /π][(ξ1T2 - ξ2T1)/(T22-T12)]

• ξ1 e ξ2 valore dello smorzamento che si vuole attribuire ai due modi principali

• T1 e T2 definiscono i periodi ai quali corrisponde uno smorzamento pari a ξ1 e ξ2.

Lo smorzamento risultante per gli altri modi di vibrare dall’adozione dei coefficienti α e β tarati su due soli modi è ricavabile dalla seguente formula (Figura 3-12):

77

ξi= 0.5[(αTi)/(2π) + (2πβ)/Ti] [3.27]

Figura 3-12. Smorzamento modale in funzione del periodo di vibrazione

Nei ponti isolati con pile in c.a. lo smorzamento modale ξ può essere considerato pari al 5 % per tutti i modi tranne quelli caratterizzati da spostamenti che interessano gli isolatori, per i quali lo smorzamento del resto della struttura può essere trascurato. Poiché in genere i dispositivi di isolamento sono modellati con un legame costitutivo non lineare (e quindi lo smorzamento dei dispositivi è già messo in conto essendo l’analisi, per l’appunto, non lineare), i fattori α e β sono definiti stabilendo le coppie di valori T1-ξ1 e T2-ξ2 nel seguente modo:

T1 =Tis ξ1 = 0 α

≅

T2 =Ts ξ2 = 5% β = Tsξ2 / π

Con:

• Tis periodo di vibrazione che coinvolge il sistema di isolamento;

• Tsperiodo di vibrazione della sottostruttura (pile).

La curva del fattore di smorzamento in funzione del periodo assume di conseguenza l’andamento riportato in Figura 3-13.

Lo smorzamento nel tratto con periodi T >1.5 sec in cui l'isolamento caratterizza la risposta della struttura è molto piccolo (ξ < 0.3%); per questi periodi lo smorzamento dipende quasi esclusivamente dalla risposta non-lineare degli isolatori.

Per periodi molto piccoli (T = 0.05 sec) lo smorzamento si incrementa significativamente (ξ >10%); questo effetto è positivo in quanto i modi che hanno periodi dello stesso ordine di grandezza degli step di integrazione (in genere dell’ordine di 0.01 sec) non possono essere integrati con accuratezza ed è preferibile "filtrarli" con valori di smorzamento elevati.

78 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 Periodo T [sec] S m o rz a m e n to ξ

Figura 3-13. Smorzamento modale in funzione del periodo per ponti isolati con pile in c.a.

Limitazioni a spostamenti e tagli all’interfaccia di isolamento secondo EN1998-2

Anche nel caso di analisi dinamica non lineare l’EN1998-2 (punto 7.5.6) pone dei limiti inferiori agli spostamenti e alle forze orizzontali ottenuti all’interfaccia di isolamento (valori maggiori dell’80% di quelli determinati con l’analisi con il Metodo del modo fondamentale). Si opera analogamente a quanto riportato al paragrafo precedente relativo all’analisi multi-modale con spettro di risposta.

3.1.3.1 Modellazione della struttura

Nel caso di analisi dinamica non lineare il modello di calcolo deve comprendere sia la sovrastruttura che la sottostruttura, oltre al sistema di isolamento.

Il modello della sovrastruttura e della sottostruttura può essere rappresentato da elementi a comportamento lineare, essendo assenti o trascurabili le escursioni in campo non lineare delle pile e dell’impalcato, mentre il sistema d’isolamento è simulato mediante elementi finiti del tipo “link non lineari”, che colgono al meglio il comportamento ciclico (forza-spostamento) reale dei dispositivi.

La modellazione della sovrastruttura prevede l’impiego di elementi finiti di tipo beam e/o shell a comportamento elastico lineare.

La modellazione della sottostruttura dovrà descrivere con sufficiente accuratezza la reale distribuzione delle rigidezze e delle masse.

La risposta del sistema può dipendere significativamente dal comportamento flessionale delle sottostrutture, nel caso in cui l’altezza delle pile in calcestruzzo armato sia rilevante. Per la valutazione della rigidezza flessionale delle pile si può operare come segue:

• si può utilizzare la rigidezza delle sezioni non fessurate per l’intera sottostruttura;

• si impiega la rigidezza flessionale effettiva che può essere definita in base ai diagrammi momento-curvatura delle sezioni, in corrispondenza delle massime sollecitazioni flettenti

79 ottenute dall’analisi, oppure di una frazione di queste. La rigidezza effettiva così attribuita resta comunque costante durante l’analisi, indipendentemente dell’entità e direzione delle sollecitazioni flettenti ai vari step di integrazione;

• si possono utilizzare soluzioni più raffinate, come i modelli che simulano il comportamento assiale di un numero di “fibre” rappresentative in cui viene suddivisa la sezione trasversale dell’elemento (Figura 3-14). Ogni fibra è caratterizzata da una determinata posizione, un’area ed un legame costitutivo di tipo tensione-deformazione (σ -ε). Le tensioni normali sono integrate sull’intera sezione per determinare le caratteristiche di sollecitazione N-M2-M3.

Contemporaneamente gli spostamenti assiali e le rotazioni sono ottenuti a partire dalla deformazione assiale in ogni fibra.

Fibra j-esima: calcestruzzo

Fibra i-esima: barre di armatura

Figura 3-14. Modello a fibre di una pila in c.a.

Il modello “a fibre” considera automaticamente l’interazione fra le caratteristiche di sollecitazione nelle diverse direzioni, e quindi della variabilità del diagramma momento- curvatura in funzione della direzione della sollecitazione in ogni istante di integrazione. Ne risulta, comunque, una modellazione che richiede tempi di analisi piuttosto lunghi, motivo per cui è sempre consigliabile cercare la discretizzazione che conduce al bilanciamento ottimale fra l’accuratezza dei risultati ed i tempi di analisi.