3.5
Analisi degli errori
Per l’analisi degli errori per le primarie si `e seguita la procedura descritta in Epstein et al. (2010)[22]. Il metodo definisce quattro osservabili, associando ad ognuna un errore σi, e assume che ciascun parametro atmosferico mi possa scriversi
come combinazione di lineare di queste. L’errore su ciascun parametro pu`o scriversi pertanto: σ(mi) = v u u t 4 X k=1 c2 ikσi2 (3.20)
Le quattro osservabili dell’analisi sono:
• o1 : pendenza della retta di best fit: AF eI vs χ
• o2 : pendenza della retta di best fit: AF eI vs EW
• o3 : hAiF eI − hAiF eII
• o4 : [F e/H]F eI– [F e/H] , dove [F e/H]F eI = hAiF eI– 7.47
La matrice ciksi costruisce variando un parametro atmosferico per volta e calcolando
la conseguente variazione di ciascuna osservabile.
Infine, l’incertezza sull’abbondanza si calcola assumendo che essa possa esprimersi come combinazione lineare dei parametri atmosferici. In questo caso, i coefficienti si ottengono dal rapporto ∆AF e
∆mi , dove ∆AF e `e la variazione di abbondanza indotta
dalla variazione ∆mi del (solo) parametro i-esimo.
Tali coefficienti dipendono dall’opacit`a del continuo: in stelle di tipo solare, nelle quali la sorgente dominante `e lo ione H− e il ferro `e principalmente ionizzato, le variazioni previste sono piccole (dell’ordine del millesimo). Per questo motivo i coefficienti sono stati calcolati una singola volta su una stella campione e poi utilizzati per l’analisi degli errori di tutte le primarie.
Questo termine di errore si somma in quadratura all’errore interno, ovvero quello dovuto alla dispersione dei valori di abbondanza ottenuti da ciascuna riga.
L’errore standard sulle abbondanze medie hAiF eI e hAiF eII `e generato dall’incer-
tezza sulle misure di larghezza equivalente e sulla forza di oscillatore. Per quanto riguarda la stima della prima, σEW, l’idea `e quella di prendere in esame un sistema
binario le cui componenti siano il pi`u simili possibile (in termini di temperatura) e osservare di quanto differisce la misura di ciascuna riga da una stella all’altra. Per quantificare l’errore `e stata utilizzata la dispersione dei punti (EWA
i , EWiB) attorno
alla retta di best fit (figura 3.4). Come conseguente errore standard sull’abbondanza media di Fe `e stata assunta la quantit`a:
σhAi =
hAiEW +σEW − hAi
Nrighe
(3.21) dove hAiEW +σEW `e il valore (medio) di abbondanza ottenuto incrementando tutte
le larghezze equivalenti di una quantit`a σEW(senza variare i parametri atmosferici).
Tale errore `e di 0.008 dex.
26 Analisi delle primarie dovuto all’incertezza sulla forza di oscillatore `e dell’ordine di ∼ 0.06 − 0.07 dex. In conclusione, l’errore cumulativo stimato sull’abbondanza media `e dell’ordine di 0.010 dex per il Fe I e 0.015 dex per il Fe II.
Figura 3.4: Larghezze equivalenti della secondaria in funzione di quelle della primaria per il sistema HD 109628.
Capitolo 4
Analisi delle secondarie
4.1
Analisi differenziale
Le secondarie di ciascun sistema sono state analizzate in maniera differenziale rispetto alle primarie. A differenza di un approccio puramente spettroscopico, questo metodo consente di eliminare molte delle fonti di incertezza sistematica che inevitabilmente condizionano un’analisi di abbondanze, prima fra tutte la problematica inerente quanto fedelmente i modelli teorici riproducano la struttura delle atmosfere reali. L’approccio adottato in questa analisi consente di determinare in maniera accurata la differenza di gravit`a tra primaria e secondaria dalla formula:
log gB gA = log MB MA +0.4 (mv,B−mv,A)+0.4 (BCB−BCA)+4 log Tef f,B Tef f,A (4.1) Infatti, dal momento che le stelle esaminate sono di sequenza principale, il rapporto tra le loro masse `e noto con precisione una volta tenuto conto dei fattori evolutivi. Inoltre, essendo le componenti di ciascuna coppia alla stessa distanza da noi, la loro differenza di luminosit`a `e nota e corrisponde alla differenza di ma- gnitudine apparente: viene cos`ı ad essere eliminata una delle sorgenti principali di errore, quella dovuta cio`e alla misura delle parallassi. Le differenze di magnitudine apparente sono note con incertezze dell’ordine di qualche centesimo di magnitudine, il che si traduce in un errore inferiore a 10 K sulla differenza di temperatura, inferiore ad esempio rispetto all’errore interno (dovuto cio`e allo scatter da riga a riga). Un valore accurato della differenza di temperatura pu`o cos`ı essere ottenuto dall’imposizione dell’equilibrio di ionizzazione (in senso differenziale): infatti la differenza di abbondanza tra ferro neutro e ionizzato `e estremamente sensibile a variazioni di temperatura ( 0,0009 dex/K).
Dal punto di vista operativo, si `e proceduto quindi per iterazione: ad ogni step si modifica la differenza di temperatura al fine di imporre l’equilibrio di ionizzazione; il nuovo valore cos`ı ottenuto `e in seguito utilizzato per aggiornare la differenza di gra- vit`a superficiale (4.1) e la microturbolenza del modello della secondaria (vedi sezione 4.3). Terminata un’iterazione, si procede con il nuovo modello della secondaria a ristabilire l’equilibrio di ionizzazione e cos`ı via. La massa della secondaria `e ricavata dalle isocrone di Girardi (2002)[27] come in Da Silva et al. (2006)[13]. Anch’essa pertanto viene aggiornata ad ogni iterazione in conseguenza della variazione di
28 Analisi delle secondarie temperatura.
Infine, lo stesso valore di metallicit`a della primaria `e stato adottato anche per la secondaria.
A conclusione dell’analisi, la differenza di abbondanza `e calcolata come media delle differenze riga per riga del Fe I. I valori ottenuti per ciascun sistema sono mostrati in Tabella 4.1, insieme alla deviazione standard e al numero di righe utilizzate nell’analisi. In tabella 4.2 sono invece riportati i parametri atmosferici e l’abbondanza (assoluta) ottenuta dalle righe del Fe I per le secondarie. Solamente l’errore interno `e mostrato per quest’ultima.
Oggetto ∆[F e/H] rms Nrighe
HD 2770 −0.003 ± 0.037 0.125 105 HD 76037 −0.125 ± 0.029 0.102 93 HD 85441 −0.020 ± 0.039 0.106 58 HD 86057 0.064 ± 0.031 0.138 101 HD 87743 0.046 ± 0.027 0.138 109 BD +18 2366 −0.035 ± 0.028 0.083 86 HD 94399 −0.044 ± 0.026 0.093 95 HD 99121 0.045 ± 0.032 0.171 93 HD 105421 0.026 ± 0.037 0.156 98 HD 109628 −0.037 ± 0.024 0.097 105 HD 117963 0.026 ± 0.028 0.112 101 HD 118328 0.026 ± 0.038 0.164 70 HD 121298 −0.104 ± 0.030 0.139 94 HD 124054 0.030 ± 0.023 0.112 105 HD 126246 0.078 ± 0.029 0.123 98 BD +22 2706 0.027 ± 0.023 0.071 99 HD 128041 −0.025 ± 0.028 0.129 98 HD 139569 0.116 ± 0.041 0.148 101 HD 143144 0.009 ± 0.025 0.091 94 HD 186858 0.011 ± 0.034 0.078 97 HD 201936 −0.114 ± 0.052 0.229 88 HD 209965 −0.021 ± 0.027 0.112 93
Tabella 4.1: Differenze di metallicit`a tra le componenti dei sistemi analizzati, con relative
4.1 Analisi differenziale 29 Oggetto Tef f log g ξ M (M ) AF eI HD 2770 5466 4.34 1.20 0.89 7.365 ± 0.012 HD 76037 6289 4.27 1.35 1.18 7.515 ± 0.018 HD 85441 4919 4.13 0.52 0.80 7.488 ± 0.016 HD 86057 5535 4.58 1.00 0.94 7.463 ± 0.009 HD 87743 5692 4.45 0.84 0.90 7.192 ± 0.009 BD +18 2366 4985 4.09 0.52 0.81 7.499 ± 0.010 HD 94399 5187 4.23 0.53 0.81 7.354 ± 0.010 HD 99121 6157 4.53 1.15 1.09 7.322 ± 0.012 HD 105421 5948 4.63 0.55 0.99 7.275 ± 0.012 HD 109628 5595 4.30 0.75 0.83 7.062 ± 0.008 HD 117963 6177 4.67 0.33 1.17 7.554 ± 0.012 HD 118328 5600 4.34 0.46 0.89 7.262 ± 0.021 HD 121298 5892 4.60 1.08 0.87 7.073 ± 0.012 HD 124054 5537 4.29 0.70 0.87 7.189 ± 0.010 HD 126246 5924 4.61 0.70 1.04 7.425 ± 0.008 BD +22 2706 5401 4.31 0.61 0.87 7.349 ± 0.009 HD 128041 4850 4.15 0.00 0.79 7.372 ± 0.012 HD 139569 6051 4.45 0.88 1.17 7.754 ± 0.013 HD 143144 5666 4.44 0.48 0.93 7.387 ± 0.011 HD 186858 4709 4.60 0.00 0.72 7.345 ± 0.014 HD 201936 6442 4.63 2.24 1.29 7.745 ± 0.020 HD 209965 5870 4.42 1.06 0.96 7.262 ± 0.010
Tabella 4.2: Parametri atmosferici, masse e abbondanze di ferro assolute per le secondarie dei sistemi analizzati.
30 Analisi delle secondarie