Tecnica esplorativa che indaga la relazione fra più variabili al fine di individuare un modello in grado di sintetizzare l’informazione
Il modello di riferimento ha puro valore descrittivo in quanto
determinato dalla procedura matematica con cui è stimato
Cos’è l’analisi fattoriale? Statistica descrittiva Rappresentazione delle variabili in studio. Aumentare la quantità di informazioni relative ai dati raccolti ed alle
variabili considerate. Rappresentazione più efficace ed utile possibile dei dati.
Semplificazione dei dati per migliorare la loro interpretazione. Statistica inferenziale vs Confermare, dimostrare un’ipotesi di partenza. - H di partenza - Variabili dipendenti - Fattori - Strumenti di raccolta dati
- Analisi dei dati
- Eventuale falsificazione dell’H0
Nasce in ambito medico-psicologico:
Utilizzata soprattutto per validare i questionari
perché fornisce informazioni relative alla struttura dei dati.
E’ una procedura matematica.
Spesso viene sovrastimata da molti autori.
Non ci permette di arrivare alla conferma di un’H di partenza ma è una tecnica vantaggiosa, per
questo ampiamente usata, che ci fornisce informazioni difficili da ottenere in altro modo.
Come lavora l’Analisi Fattoriale
Variabili di partenza
Operazioni matematiche
Quantitative, gaussiane, correlate fra loro che vengono analizzate allo stesso livello.
Matrice di correlazione
Estrazione di fattori ortogonali Rotazione
Scopi principali
2. Trasformazione delle varabili in studio in variabili
indipendenti fra loro*
1. Riduzione del numero di variabili in studio (ma non
dell’informazione).
3. Individuazione delle sorgenti delle variabili**
Trova variabili artificiali, aleatorie, è possibile rintracciarne un numero infinito.
Sono indipendenti tra loro, per questo non riflettono la realtà psicologica dove è difficile trovare fenomeni non correlati.
Validazione di questionari e riduzione del numero di variabili in studio, non correlate tra loro
- Riduzione delle variabili ma non
dell’informazione utile.
- Creazione di fattori che rappresentano la
stessa realtà ma che sono indipendenti fra loro.
- Non vengono considerate le differenze fra le
diverse variabili.
Ruolo
indiscusso:
Vantaggi:
I OPERAZIONE: Creazione della Matrice di Correlazione
La prima matrice di correlazione estratta dall’analisi è la matrice di correlazione R.
Mostra tutte le relazioni possibili tra le variabili. Le variabili vengono correlate a due a due.
Due variabili sono statisticamente correlate fra loro quando al variare di una anche l’altra varia.
Avremo un numero di nuove variabili, fattori, corrispondente al numero delle variabili iniziali, item.
Avremo una varianza complessiva uguale al numero delle variabili iniziali, perché ogni item ha varianza 1 e media 0.
II OPERAZIONE: Estrazione dei Fattori
Metodi di estrazione:
- Metodo delle componenti principali
- Metodo della massima verosimiglianza - Metodo dei minimi quadrati
I punteggi grezzi vengono trasformati in punti z, ovvero vengono standardizzati
Standardizzazione dei dati raccolti
x Una variabile gaussiana è detta variabile Z quando ha:
= 0 ; S = 1 (N = 0; 1)
Semplifica i conti.
Permette il confronto di punteggi appartenenti a diversi questionari.
Cos’è la varianza? Può essere vista come la quantità d’informazione trasportata da ogni parametro.
Metodo delle componenti principali
Tale metodo permette di creare variabili artificiali, dette fattori, fra loro ortogonali (correlazione = 0).
I fattori sono combinazioni lineari delle variabili sperimentali, si ottengono cioè dalla somma dei prodotti delle singole variabili sperimentali, o meglio dei loro valori z, per gli opportuni
coefficienti. Il valore e il segno di questi coefficienti indicano quanto e come il singolo fattore sia legato alle diverse variabili sperimentali.
I fattori non hanno più varianza = 1
Utilizza un processo a cascata per cui il primo fattore spiega il massimo della varianza, ed è il più importante. Si avvale del calcolo degli AUTOVALORI e degli
Cosa sono gli AUTOVALORI e gli AUTOVETTORI?
Vengono calcolati direttamente dalla matrice di correlazione R attraverso un processo
algebrico.
Autovalori = la quantità di varianza di un fattore, la comunalità.
Autovettori = sono i fattori o componenti. R x AUTOVETTORE = AUTOVETTORE x AUTOVALORE
AUTOVETTORE x R dev’essere uguale a se stesso a meno di una costante che si chiama
Come decidere quanti fattori tenere?
1. Posso decidere un numero preciso
da tenere (sottoscale).
2. Posso decidere la percentuale di
informazione spiegata che voglio tenere (60-65%).
3. Tengo solo i fattori con varianza
A cosa mi servono le nuove variabili?
- Compattazione dei dati.
- Tengo un numero inferiore di dati, perdo una
parte accettabile d’informazione ed ho una interpretazione delle variabili in studio.
- Guardo il legame tra fattori e variabili di partenza. - Osservando la matrice per colonna posso
indagare quanto i singoli fattori sono correlati alle variabili di partenza.
- Osservando la matrice per riga è possibile
decidere quali sono gli item da scartare in
E’ possibile calcolare il valore ad ogni fattore soggetto per soggetto.
Tali punteggi saranno variabili Z con media = 0 e varianza = 1. Punteggio grezzo del soggetto 1 all’item 1 Coefficiente di correlazione tra item 1 e fattore 1
Faccio la stessa cosa con tutti gli item (1, 2, 3, …), sommo tutti i prodotti ed ottengo il punteggio del soggetto 1 al fattore 1.
Metodo dei minimi quadrati
Minimizza la somma dei quadrati degli scarti fra i dati osservati e la matrice di correlazione prodotta dal modello.
Metodo della Massima Verosimiglianza
Questa tecnica affronta la casualità in termini inversi rispetto alla probabilità:
Parte dai dati sperimentali e si chiede che probabilità c’è di avere una distribuzione del fenomeno di un certo tipo.
Lavora per approssimazioni successive e stima una matrice di correlazione e un’insieme di
varianze che rappresentano i dati sperimentali, eliminando la ridondanza con la minima
Lo sopo principale è quello di rappresentare al meglio la realtà.
L’Analisi Fattoriale è utilizzata per studiare modelli che rappresentino al meglio la realtà, caratterizzati da legami tra item e fattori, in altre parole modelli a variabili artificiali, latenti.
La tecnica della Massima Verosimiglianza ci offre la miglior rappresentazione della realtà possibile e ci da anche la misura di quanto bene riesca a
Tale tecnica parte dall’estrazione dei fattori delle Componenti Principali.
Vengono modificati i fattori per rappresentare al meglio gli item sperimentali.
Aumenta e diminuisce la varianza dei fattori e
contemporaneamente vengono modificati anche gli altri fattori finchè non trova la combinazione di fattori, varianze, che
rappresentano al meglio la realtà.
Quando fermarsi?
Ogni volta che si fa una modifica viene applicato il test del Chi2 per misurare la bontà dell’adattamento dei dati. La significatività indica che la modifica apportata è
significativamente migliore rispetto ai fattori delle Componenti Principali (e della modifica precedente).
Il valore reale (dati grezzi) è differente dal valore dei
fattori (calcolato), così il Chi2 confronta le due situazioni relative agli stessi dati e ci dice quanto è reale la
Ottengo anche in questo caso delle variabili ortogonali ma non avrò il primo fattore con la
maggior quantità d’informazione spiegata e i fattori successivi con varianza man mano sempre minore.
C’è una distribuzione equa, più simile possibile alla realtà dell’informazione.
Per creare fattori non ridondanti non è necessario creare un fattore principale con effetto a cascata sulla quantità di varianza degli altri, anzi la maggior parte dei questionari distribuisce in modo equo
Componenti Principali
Massima
Verosimiglianza
• Calcola i fattori attraverso una formula diretta.
• Offre la miglior condensazione di varianza,con la minima
dispersione d’informazione; questo non significa che
rappresenta la realtà nel miglior modo.
• Al variare del numero di fattori da tenere l’ analisi non cambia
• Usa la tecnica delle
approssimazioni successive. • Trova i fattori che meglio
rappresentano la realtà. • Non lavora con troppe o
troppo poche variabili.
• Se vario il numero di fattori che sono interessato a tenere devo rifare l’analisi.
Maggiore sarà il numero delle variabili di partenza e maggiore sarà la differenza dei risultati delle due analisi.
Modifica la relazione esistente tra item e fattori attraverso una rotazione dei fattori.
Con la rotazione operiamo una combinazione lineare dei fattori di partenza in modo da modificare la loro relazione con gli item. Tali fattori possono rimanere fra loro ortogonali oppure divenire non
ortogonali.
III Operazione: Rotazione dei fattori
Nasce principalmente da due critiche:
1. Vengono scoperte variabili latenti indipendenti. 2. Vengono dati dei nomi ai fattori.
La rotazione rende i fattori maggiormente interpretabili.
Una diversa interpretazione dei fattori, e del loro legame con gli item, modifica l’interpretazione, il significato della ricerca!
Mentre la rotazione ORTOGONALE mantiene l’indipendenza dei fattori, la rotazione OBLIQUA rende i fattori correlati fra loro.
Con la rotazione ORTOGONALE ruoto rigidamente gli assi
cartesiani ed essi rimangono ortogonali e la somma totale delle varianze rimane uguale al totale della variabili di partenza.
Con la rotazione OBLIQUA gli assi cartesiani non sono più
perpendicolari fra loro ma obliqui, quindi non sono più indipendenti ma correlati e la somma totale delle varianze non corrisponderà più al numero totale delle variabili di partenza.
Le rotazioni sono meglio interpretabili attraverso un grafico
cartesiano dove gli assi rappresentano i fattori e le coordinate sono date dalle correlazioni della matrice R.
La rotazione può essere ORTOGONALE oppure OBLIQUA.
Varimax Method. Effettua una rotazione ortogonale che minimizza il
numero di variabili che sono fortemente correlate con ogni fattore. Il peso dei fattori è così distribuito più uniformemente e l’interpretazione dei fattori è semplificata.
Tecniche di rotazione:
Quartimax Method. Ha un funzionamento opposto a quello della
Varimax. Minimizza il numero di fattori necessari a spiegare ciascuna variabile. Semplifica la spiegazione delle variabili osservate.
Equamax Method. È una combinazione fra il varimax e il quartimax. Oblimin Rotation: Rotazione obliqua che cerca di adattare i fattori agli
item e li correla.
Promax Rotation. Rotazione obliqua. E’ un metodo più diretto che