Per poter caratterizzare completamente la condizione di stato stazionario di una rete metabolica si può fare ricorso al concetto di extreme pathways, che, come avremo modo di vedere, è direttamente collegato ad ulteriori nuovi concetti, quali la Reaction Partecipation e la correlazione tra le reazioni del modello.
4.4.1 Extreme pathways
Le capacità fenotipiche di una rete metabolica possono essere caratterizzate da un insieme di pathway unici e indipendenti (Schilling et al. 2000).
Gli extreme pathways corrispondono alle distribuzioni di usso attraverso le reazioni della rete metabolica in condizione di stato stazionario. Perciò essi non descrivono solamente un set lineare di reazioni che legano il substrato ai prodotti, bensì caratterizzano i ussi relativi attraverso tutte le reazioni necessarie per convertire i substrati in prodotti, per bilanciare tutti i gruppi di cofattori e per secernere ogni prodotto secondario necessario per mantenre la rete in uno stato omeostatico (cioè in una condizione di stabilità).
Il nome di tali pathway (extreme) è legato al fatto che costituiscono i bordi dello spazio delle soluzioni e quindi caratterizzano le funzioni estremali della rete. La Figura 4.8 [7] ci aiuta ad immaginare questi extreme pathways come i generatori di un cono convesso in uno spazio pluridemensionale, che circoscrive tutti i possibili fenotipi ottenibili in stato stazionario.
Tutte le potenziali distribuzioni di usso (ossia tutti i possibili fenotipi metabolici) in stato stazionario sono delle combinazioni lineari a coe cienti non negativi degli extreme pathways. In pratica quindi gli extreme pathway caratterizzano i lower e gli upper bound della conversione di qualsiasi substrato in qualsiasi prodotto.
4.4.1.1 Lunghezza del pathway e matrice della Reaction Patercipation
Per costruire una matrice relativa agli extreme pathways (matrice P ), si crea una matrice in cui ogni colonna rappresenta un extreme pathway e ogni riga una reazione della rete. Il valore dell'elemento in posizione ij corrisponde al livello di usso relativo attraverso l'i-esima reazione nel j-esimo pathway.
Per costruire tale matrice si utilizzano tutti gli extreme pathways: in Figura 4.9 [7] possiamo osservare un esempio di tale matrice relativo ad una rete contenente tre extreme pathways, che in generale possono
Figure 4.8: [7] Rappresentazione schematica di un cono convesso caratterizzato da 5 extreme pathways (EP1,
EP2, EP3, EP4 ed EP5), che cisrcostcrivono lo spazio delle soluzioni per tre ussi (vA, vB e vC). Tutti
i punti all'interno del cono possono essere descritti da una combinazione lineare a coe cienti non negativi degli extreme pathways.
avere un numero qualsiasi di input e di output. Nell'esempio possiamo osservare che i pathway EP1 ed EP2
non sono delle semplici reazioni lineari, bensì contengono due output (E e il prodotto secondario).
Figure 4.9: [7] Esempio di un sistema di cui vengono rappresentate la matrice stechiometrica e la matrice degli extreme pathways, rappresentati nella parte inferiore.
La matrice lunghezza (PLM) si può calcolare direttamente dalla matrice stessa P , come possiamo osservare dalla Figura 4.10.
Figure 4.10: Esempio delle lunghezze degli extreme pathways.
Come prima cosa occorre scrivere la matrice P in forma binaria ( ˜P), nella cui posizione ij compare un
1 se la reazione i viene utilizzata all'interno dell'extreme pathway j e uno 0 altrimenti. A questo punto la
matrice lunghezza PLM (simmetrica) si può ottenere calcolando
PLM = ˜PT · ˜P .
I termini diagonali di PLMindicano la lunghezza di ciascuno degli extreme pathway. Nell'esempio riportato
in Figura 37, il primo termine diagonale vale 6: signi ca che al pathway EP1partecipano 6 reazioni. I termini
al di fuori della diagonale indicano il numero di reazioni che ciascuna coppia di pathway ha in comune.
Nell'esempio analizzato possiamo osservare che i pathway EP3 (terza colonna) ed EP1(prima riga) hanno 5
reazioni in comune. Dalla Figura 4.9 possiamo veri care che tali reazioni sono b1, v1, v2, b2 e b3.
Dalla matrice binaria ˜P si può ricavare anche la matrice delle Reaction Participation (RP M), anch'essa
simmetrica:
RP M= ˜P · ˜PT.
La Reaction Participation è de nita come la percentuale di extreme pathways che utilizza una data reazione.
La matrice RP M del nostro esempio può essere visualizzata in Figura 4.11.
Figure 4.11: Esempio di matrice delle Reaction Participation e proprietà ad essa relative.
I termini diagonali di RP M si riferiscono al numero di pathway a cui partecipa la reazione corrispondente.
Nell'esempio in Figura 4.11, il primo termine diagonale, corrispondente alla reazione v1, assume il valore 3,
quindi tale reazione partecipa a tutti e tre gli extreme pathways della rete (si può verifucare osservando la Figura 4.9). Tali valori possono essere considerati come percentuali del numero totale degli extreme pathways:
Figura 4.11 i pathway sono 3). Il primo termine diagonale dell'esempio sarebbe quindi corrispondente ad un
100% di reaction participation, poichè v1partecipa a tutti e 3 i pathway.
I termini fuori diagonale indicano il numero di extreme pathways che contengono entrambe le reazioni
corrispondenti. Nell'esempio in Figura 4.11 le reazioni b2 (ottava colonna) e v4(quarta riga) sono contenute
entrambe in 2 (67%) pathways (osservando la Figura 4.9 possiamo veri care che si tratta dei pathways EP2
ed EP3.
Gli elementi cerchiati nella matrice RP M rapprentata in Figura 4.11 mostrano coppie di reazioni che
partecipano esattamente agli stessi extreme pathways. In questo esempio particolare, ciascuna di queste
coppie partecipa alla totalità dei pathway, ciò signi ca che v1, b1, b2 e b3sono sempre presenti. Tali reazioni
formano quindi un gruppo di reazioni tali che se una di queste viene utilizzata, allora necessariamente anche tutte le altre devono essere attive.
4.4.1.2 Correlazione tra i valori delle Reaction Participation e de nizione di Sottoinsiemi di Reazioni
La reazioni che possono essere utilizzate in un particolare extreme pathway non sono indipendenti. Come
analizzato precedentemente, gli elementi non diagonali della matrice RP M della Reaction Participation
pos-sono essere utilizzate per determinare quali sottoinsiemi di reazioni appaiono assieme in tutti gli extreme pathways. Questi sottoinsiemi di reazioni forniscono quindi dei sottoinsiemi di enzimi ad esse collegati che devono essere co-regolati.
Altri strumenti di analisi utili nello studio delle reti metaboliche
Prima di analizzare quali operazioni a livello genetico si possono eettuare in un modello metabolico, vor-remmo soermarci su altri due strumenti di analisi, che possono rivelarsi utili nella costruzione di un modello (Gap lling) e nell'analisi della dipendenza del valore ottimo ottenuto con la FBA da particolari reazioni presenti nella rete (Robustness Analysis).