Angoli di Eulero

Gli angoli di Eulero che utilizzeremo in questa discussione vengono, in am- bienti ingegneristici che necessitano la conoscenza dell'assetto di un veli- volo/satellite/nave, menzionati spesso come angoli di Cardano, riferendosi a Gerolamo Cardano, il matematico italiano del Rinascimento. Sono molto no- ti in questo contesto perché identicano gli angoli di heading ψ (imbardata), pitch θ (beccheggio) e roll φ (rollio).

Se la matrice di assetto rappresenta una metodologia semplice, è anche vero che possiede sei parametri dipendenti che non sono funzionali ad una rap- presentazione coincisa dell'orientazione. Per questo nella pratica si è spesso preferito l'utilizzo di altre tipologie di rappresentazioni, che sfruttassero un minor numero di parametri. Queste tipologie inoltre possono sempre essere usate per ricavare la matrice di assetto, al ne di utilizzare i suoi calcoli

Figura 3.4: Angoli di Cardano: heading, pitch e roll

matriciali per le rotazioni di vettori fra i due sistemi di riferimento, come suggerito in precedenza. Gli angoli di Eulero risultano essere una metodo- logia di rappresentazione di assetto molto apprezzata per la istintività del loro utilizzo, sopratutto per piccole rotazioni. Permettono la descrizione tri- dimensionale della orientazione di un sistema di riferimento rispetto ad un altro, utilizzando unicamente tre parametri che, come abbiamo precedente- mente visto, risulta essere il minor numero possibile per una rappresentazione senza ambiguità. Questi descrivono tre rotazioni successive attorno agli assi dei sistemi di riferimento. Ciò fa si che la loro denizione non risulta uni- voca, ma soggetta a convenzioni, in quanto dipendente dall'ordine e dagli assi scelti per le singole rotazioni. L'idea alla base di questa metodologia di rappresentazione consiste nell'utilizzo di due angoli per conoscere l'orienta- mento nello spazio di un versore della terna solidale, per poi utilizzarne un terzo per conoscere la posizione degli altri due assi applicando una rotazione attorno al versore così individuato.

Per comprendere meglio il signicato di questi parametri utilizziamo il con- cetto di rotazione elementare, ovvero una rotazione che si verica attorno ad un asse della terna ssa, di un generico angolo α. Se ciò avviene allora le due terne, una volta avvenuta la rotazione, avranno un asse in comune, e gli altri quattro assi saranno complanari. Possono essere facilmente ottenute in questo modo le tre possibili matrici di rotazione Rj, le quali si dieren-

3.2 Rappresentazioni di assetto

Figura 3.5: Rotazione elementare attorno a ˆc3

ziano per quale tra gli assi del sistema di riferimento sso funge da asse di rotazione, coincidendo quindi con l'autovettore ˆe della particolare rotazione. Si osserva così che non vi sono accoppiamenti fra gli assi, data la reciproca ortogonalità, e che la traccia delle matrici risulta essere la medesima.

R1(α) =     1 0 0 0 cos(α) sin(α) 0 −sin(α) cos(α)     R2(α) =     cos(α) 0 −sin(α) 0 1 0 sin(α) 0 cos(α)     R3(α) =     cos(α) sin(α) 0 −sin(α) cos(α) 0 0 0 1     ; tr[Rj(α)] = 1 + 2cos(α) (3.7)

Queste rotazioni elementari sono fondamentali per comprendere il funzio- namento degli angoli di Eulero, assieme con la denizione di due ulteriori triadi di riferimento ortonormali, che ci serviranno come riferimenti interme- di. Deniamo in questo modo i sistemi di riferimento ausiliari (ˆc0

1, ˆc02, ˆc03) e

(ˆc00₁, ˆc00₂, ˆc00₃). Una generica rotazione può essere ottenibile mediante tre suc- cessive rotazioni attorno agli assi di questi sistemi di riferimento. Poiché due rotazioni consecutive attorno allo stesso asse possono essere intese come

Figura 3.6: Rotazioni successive della sequenza 321

un'unica rotazione data dalla somma di queste, ne consegue che le possibili rotazioni ammissibili sono 12, divisibili in simmetriche, se il primo e il terzo asse sono i medesimi, e antisimmetriche, se le tre rotazioni avvengono attor- no ad assi dierenti. Tra le sequenze di rotazioni più utilizzate in ambito ingegneristico vi è sicuramente la cosiddetta 321 che, come mostrato in - gura 3.6, consiste in una rotazione attorno all'asse ˆc3 di un angolo ψ, detto

heading/yaw, seguita da una rotazione attorno all'asse ˆc0

2 di θ, detto pitch, e

si conclude con una rotazione attorno all'asse ˆc00

1 di un angolo φ, detto roll. In

questo modo, tramite una sequenza antisimmetrica, si passa dal riferimento sso a quello corpo. Il valore positivo di questi angoli è denito usando la regola della man destra. Proprio questi tre angoli sono i parametri di Eulero, con cui possono essere esplicitate le matrici di rotazione elementare di questa sequenza, ovvero R3(ψ), R2(θ), R1(φ). Poiché la rotazione successiva può

essere ricavata mediante il prodotto matriciale fra le matrici di assetto (con la prima rotazione a destra e l'ultima a sinistra), è diretto l'ottenimento della matrice di assetto complessiva R, che mappa gli assi solidali negli assi ssi.

R = R321(ψ, θ, φ) = R1(φ)R2(θ)R3(ψ) =     c(ψ)c(θ) c(θ)s(ψ) −s(θ) c(ψ)s(φ)s(θ) − c(φ)s(ψ) c(φ)c(ψ) + s(φ)s(ψ)s(θ) c(θ)s(φ) s(φ)s(ψ) + c(φ)c(ψ)s(θ) c(φ)s(ψ)s(θ) − c(ψ)s(φ) c(φ)c(θ)     (3.8)

3.2 Rappresentazioni di assetto

Analogamente, i tre angoli di Eulero della sequenza 321 possono essere ricavati dagli elementi della matrice di assetto utilizzando le seguenti formule:

           θ = −sin−1_(R1,3) ψ = tan−1(R1,2 R1,1 ) φ = tan−1(R2,3 R3,3 ) (3.9)

Si può così notare che l'angolo di pitch ha una duplice ambiguità, in quanto il coseno di tale angolo può essere sia positivo che negativo. Solitamente per risolvere tale ambiguità si sceglie di utilizzare il vincolo −90o _{≤ θ ≤ 90}o_.

In questo modo gli altri due angoli possono essere trovati di conseguenza. Occorre poi notare che esiste una singolarità, detta Gimble Lock, per i valori di pitch θ = π

2 + nπ, con n ∈ Z. Si può infatti calcolare che:

cos(θ) = 0 =⇒ R1,1 = R1,2= R2,3 = R3,3= 0 (3.10)

Pertanto le espressioni di φ e ψ in (3.9) risultano essere indenite. Questa singolarità quindi non rende possibile la conoscenza esatta degli altri due angoli, ma solamente la loro somma (se multiplo dispari) o la loro dieren- za (se multiplo pari). Questo è particolarmente visibile con una rotazione attorno a ˆc0

2 di −90o, in quanto la rotazione precedente e quella successiva

agiscono entrambe sullo stesso asse. Per questo motivo, solamente la somma dei due angoli sarà identicabile, essendo i singoli indistinguibili, come viene mostrato in gura 3.7.

In conclusione, gli angoli di Eulero, rispetto a metodologie più complesse come i quaternioni, permettono una implementazione più semplice e una in- tuitività nella rappresentazione di assetto che ne favorisce l'utilizzo. Proprio per questo, anche nei codici già presenti nella letteratura della determina- zione di assetto che sono stati valutati come riferimento, i quali sfruttano i quaternioni per la loro adabilità, risulta sempre necessario ricondursi agli angoli di Eulero per avere una parametrizzazione leggibile dall'utilizzatore. Tuttavia, tali parametri sorono di un fenomeno denominato Gimble Lock, il quale può lederne l'utilizzo. Questo inconveniente è insito nella metodologia

Figura 3.7: Rappresentazione graca del Gimble Lock [17]

stessa, in quanto qualunque siano i tre parametri usati per ricavare la matrice dei coseni direttori, è dimostrabile che ci saranno sempre delle orientazioni reciproche fra le due terne che non permettono la corrispondenza localmente biunivoca. Il valore di questa orientazione che genera singolarità dipende pe- rò dall'ordine delle rotazioni scelte per la denizione degli angoli di Eulero. Per questo, spesso si aronta tale problema andando a ridenire i parametri con l'avvicinamento all'orientamento che è fonte di errore. Un esempio può essere quello di passare da una sequenza 321 a una 313 (anch'essa molto usa- ta), che invece è caratterizzata da una insorgenza all'instabilità per θ = nπ, con n ∈ Z.