8 Applicazioni lineari e simmetriche

(8.1) Teorema Siano X uno spazio unitario su R di dimensione finita con X = {0}

e L : X→ X un’applicazione lineare e simmetrica.

Allora l’insieme degli autovalori di L `e non vuoto, ammette minimo uguale a

min{(Lx) · x : x ∈ X, x = 1} e massimo uguale a

max{(Lx) · x : x ∈ X, x = 1} . Dimostrazione. La funzione Q : X → R definita da

Q(x) = (Lx)· x

`

e differenziabile e

dQ(x)y = (Lx)· y + (Ly) · x = (Lx) · y + y · (Lx) = (2Lx) · y ,

per cui Q `e di classe C1 _e ∇Q(x) = 2Lx.

Essendo l’applicazione identica lineare e simmetrica, anche la funzione g : X → R

definita da g(x) =x2− 1 `e di classe C1 _e ∇g(x) = 2x. Inoltre l’applicazione lineare dg(x) : X → R

non `e identicamente nulla, quindi suriettiva per ogni x∈ X \ {0}. Allora S ={x ∈ X : x = 1} = {x ∈ X : g(x) = 0}

`

e una sottovariet`a in X di classe C1<sub>. Inoltre S `e compatta, perch´e chiusa e limitata in</sub>

X, che ha dimensione finita.

Per il Teorema di Weierstrass, Q|S ^{ammette minimo. Sia x}1∈ S un punto di minimo

(assoluto) per Q|S^{. Per il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange esiste λ}1 ∈ R tale che

2Lx1^{= 2λ}1^x1^, ossia Lx1= λ1x1. Inoltre Q(x1^{) = (Lx}1⁾· x₁ = (λ1^x1⁾· x₁ = λ1x₁2 _{= λ} 1^.

Pertanto

min{(Lx) · x : x ∈ X, x = 1} = λ₁

`

e un autovalore di L.

D’altronde, se λ `e un autovalore di L e x = 0 `e un autovettore di L relativo a λ, si

ha L  x x  = λ ^x x^, λ1 ≤ Q  x x  =  L  x x  ·_x^x =  λ ^x x  ·_x^x = λ , per cui λ1 `e il pi`u piccolo autovalore di L.

Il ragionamento per il massimo `e simile.

(8.2) Corollario Siano X uno spazio unitario suR di dimensione finita e L : X → X

un’applicazione lineare e simmetrica. Definiamo una forma quadratica Q su X, ponendo Q(x) = (Lx)· x.

Valgono allora i seguenti fatti:

(a) Q `e definita positiva se e solo se tutti gli autovalori di L sono strettamente positivi;

(b) Q `e semidefinita positiva se e solo se tutti gli autovalori di L sono maggiori o eguali a zero;

(c) Q `e definita negativa se e solo se tutti gli autovalori di L sono strettamente negativi;

(d) Q `e semidefinita negativa se e solo se tutti gli autovalori di L sono minori o eguali a zero;

(e) Q `e indefinita se e solo se L ammette un autovalore strettamente negativo ed un autovalore strettamente positivo.

Dimostrazione. Sia S come nella dimostrazione del teorema precedente.

Se Q `e definita positiva, `e ovvio che il minimo λ1 ^{di Q}|S ^{`e strettamente positivo.}

Per il teorema precedente tutti gli autovalori di L sono strettamente positivi.

Viceversa, se tutti gli autovalori di L sono strettamente positivi, si deduce dal teorema precedente che il minimo λ1 di Q|S ^{`e strettamente positivo. Allora per ogni}

x∈ X \ {0} si ha Q  x x  ≥ λ₁,

ossia

Q(x)≥ λ₁x².

Poich´e tale disuguaglianza `e vera anche per x = 0, la forma quadratica Q `e definita positiva.

Le caratterizzazioni (b), (c) e (d) si possono dimostrare in maniera analoga.

D’altronde Q `e indefinita se e solo se Q non `e n´e semidefinita positiva n´e semidefi-nita negativa. Per le propriet`a (b) e (d), questo equivale all’esistenza di un autovalore strettamente negativo ed uno strettamente positivo per L.

(8.3) Corollario Siano X uno spazio unitario suR di dimensione finita, A un aperto

in X, f : A→ R una funzione di classe C2 _{e x}∈ A. Consideriamo la forma quadratica Q definita ponendo Q(y) = f_(x)(y)2_.

Valgono allora i seguenti fatti:

(a) Q `e definita positiva se e solo se tutti gli autovalori dell’hessiano ∇2_{f (x) sono}

strettamente positivi;

(b) Q `e semidefinita positiva se e solo se tutti gli autovalori dell’hessiano ∇2_{f (x) sono}

maggiori o eguali a zero;

(c) Q `e definita negativa se e solo se tutti gli autovalori dell’hessiano ∇2_{f (x) sono}

strettamente negativi;

(d) Q `e semidefinita negativa se e solo se tutti gli autovalori dell’hessiano ∇2_{f (x) sono}

minori o eguali a zero;

(e) Q `e indefinita se e solo se l’hessiano ∇2_{f (x) ammette un autovalore strettamente}

negativo ed un autovalore strettamente positivo.

Dimostrazione. Si tratta di un caso particolare del corollario precedente.

(8.4) Teorema Siano X uno spazio unitario suR di dimensione finita e L : X → X

un’applicazione lineare e simmetrica.

Dimostrazione. Ragioniamo per induzione sulla dimensione di X. Se dim X = 1, il

risultato `e ovvio. Consideriamo ora X con dim X = n≥ 2 e supponiamo che la tesi sia

vera per gli spazi di dimensione n− 1.

Siano Q e S come nella dimostrazione del Teorema (8.1). Sia e1un punto di minimo di Q|S ^{e sia λ}1 ∈ R tale che Le₁ = λ1^e1^{. Evidentemente e}1 ^{`e un autovettore di L ed}

e₁ = 1.

Sia X1 ⁼{te₁: t∈ R}. Se poniamo X₂ ={x ∈ X : x · e₁= 0}, risulta che X = X1⊕ X₂,

per cui X2 ha dimensione n− 1. Inoltre per ogni x ∈ X2 si ha (Lx)· e1 = x· (Le1) = x· (λ1e1) = λ1(x· e1) = 0 , per cui L(X2)⊆ X₂. Per l’ipotesi induttiva applicata a

L|X2 ^{: X}2 −→ X₂,

esiste una base ortonormale{e₂, . . . , e_n} in X₂ costituita da autovettori di L. Allora {e₁, . . . , e_n} `e una base ortonormale in X costituita da autovettori di L.

(8.5) Corollario Sia A una matrice n× n simmetrica a coefficienti reali. Allora esiste una matrice U n× n ortogonale tale che la matrice

U^tAU

sia diagonale.

Dimostrazione. La matrice A induce un’applicazione lineare e simmetrica daRna valori inRn, seRn`e munito del prodotto scalare canonico.

Per il teorema precedente esiste una base ortonormale{a1, . . . , a_n} in Rncostituita da autovettori di A. Sia U la matrice ortogonale avente per colonne i vettori a1^{, . . . , a}n. Siano λ1^{, . . . , λ}n gli autovalori di A corrispondenti ad a1^{, . . . , a}n e sia {e₁, . . . , e_n}

la base canonica inRn. Allora si ha

U^tAU e_j = U^tAa_j = U^t(λ_ja_j) = λ_jU−1_a

j = λ_je_j

(8.6) Corollario Sia A una matrice m× n a coefficienti reali con m ≥ n.

Allora esistono una matrice U1 ⁿ× n ortogonale, una matrice D n × n diagonale con autovalori positivi ed una matrice U2 m× n con Ut

2^U2 = Id tali che

A = U2DU1.

Dimostrazione. La matrice n×n AtA `e evidentemente simmetrica. Per il Teorema (8.4) esiste una base ortonormale{a₁, . . . , a_n} in Rn costituita da autovettori di A^tA. Siano λ1, . . . , λ_n gli autovalori corrispondenti.

A meno di riordinare gli indici, si pu`o supporre che esista h≥ 0 tale che Aaj = 0

per 1≤ j ≤ h ed Aaj = 0 per h + 1≤ j ≤ n. Osserviamo che per i = j si ha

(Aa_i)· (Aaj) = a_i·A^tAa_j = a_i· (λja_j) = λ_j(a_i· aj) = 0 , per cui $ Aa1 |Aa1|^{, . . . ,} Aa_h |Aah| % `

e un sistema ortonormale in Rm. Esso pu`o essere completato in modo da ottenere una base ortonormale $ Aa1 |Aa₁|^{, . . . ,} Aa_h |Aah|^{, α}h+1, . . . , α_m % inRm.

Sia U1 ^{la matrice n}× n ortogonale che ha per righe i vettori a₁, . . . , a_n, ossia tale che

U1a_j = e_j 1≤ j ≤ n ,

sia D la matrice n× n diagonale tale che

De_j =|Aaj|ej 1≤ j ≤ n

e sia U2 ^{la matrice m}× n che ha per colonne i vettori Aa1

|Aa₁|^{, . . . ,} Aa_h

|Aah|^{, α}h+1, . . . , α_n,

ossia tale che ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ U2e_j = ^Aaj |Aaj| ^{1≤ j ≤ h ,} U2^ej = α_j h + 1≤ j ≤ n .

Allora si verifica facilmente che Ut

2^U2 ^{= Id e che}

da cui la tesi.

(8.7) Corollario Sia A una matrice m× n a coefficienti reali con m ≥ n. Allora l’applicazione lineare corrispondente Rn→ Rm `e iniettiva se e solo se det(A^tA) = 0. Dimostrazione. Sia A = U2^DU1^{con U}1^{, D ed U}2^{come nel corollario precedente. Essendo}

ortogonale, U1 induce un’applicazione biiettiva. Poich´e per ogni x∈ Rn si ha

|U₂x|2 _{= x}tU2^tU2^{x = xtx =}|x|2_,

U2 ^{induce un’applicazione iniettiva. Pertanto A induce un’applicazione iniettiva se e}

solo se det D = 0. Risulta det(A^tA) = det U1^tDU2^tU2^DU1 = det U1^tDDU1 = (det D)2 _, da cui la tesi. Esercizi

1. Siano X uno spazio unitario di dimensione finita e L : X → X un’applicazione

lineare e simmetrica. Si dimostri che

L = max {|λ| : λ `e un autovalore di L} .

2. Sia A una matrice m× n a coefficienti reali con m ≤ n. Si dimostri che esistono

una matrice U1 m× n con U₁U1^{t = Id, una matrice D m}× m diagonale con autovalori

positivi ed una matrice U2 m× m ortogonale tali che A = U2^DU1^.

3. Sia A una matrice m× n a coefficienti reali con m ≤ n. Si dimostri che

l’ap-plicazione lineare corrispondente Rn → Rm `e suriettiva se e solo se det(AA^t) = 0.

4. Sia A una matrice n× n a coefficienti reali. Si dimostri che esistono una matrice n× n ortogonale U e due matrici n × n simmetriche e semidefinite positive S₁ e S2 ^tali

che

A = S1^{U = U S}2^.

5. Siano X uno spazio unitario di dimensione finita e L : X → X un’applicazione

li-neare e simmetrica. Sia{e₁, . . . , e_n} una base ortonormale in X costituita da autovettori

di L e siano λ1^{, . . . , λ}n gli autovalori corrispondenti.

Per ogni funzione f : {λ1, . . . , λ_n} → R sia f(L) : X → X l’applicazione lineare e

simmetrica tale che

∀j = 1, . . . n : (f(L))ej = f (λ_j)e_j.

Si dimostri che

(a) la definizione di f (L) non dipende dalla scelta della base{e₁, . . . , e_n};

(b) se f, g :{λ₁, . . . , λ_n} → R sono due funzioni, si ha

(f + g)(L) = f (L) + g(L) , (f g)(L) = f (L)◦ g(L) ; (c) se f (x) = 0 e g(x) = 1 per ogni x∈ {λ₁, . . . , λ_n}, si ha f (L) = 0 , f (L) = Id ; (d) se f (x) = x per ogni x∈ {λ₁, . . . , λ_n}, si ha f (L) = L .

Equazioni differenziali ordinarie