Assiomi di congruenza per gli angoli

In questa Sezione introduciamo la congruenza tra angoli. Tale rela-zione indenita (che possiamo dimostrare essere anch'essa una relarela-zione di equivalenza) è caratterizzata dai seguenti assiomi:

(C4) Dato un angolo ∠BAC e una semiretta ^−−→DF, esiste un'unica semi-retta ^−−→DE, giacente su uno dei due semipiani individuati dalla retta contenente D ed F , tale che ∠BAC ∼=∠EDF .

(C5) Siano α, β e γ tre angoli; se α ∼= β e α ∼= γ, allora β ∼= γ. Inoltre ogni angolo è congruente a se stesso.

(C6) Siano dati due triangoli ABC e DEF tali che AB ∼= DE, AC ∼= DF e ∠BAC ∼=∠EDF . Allora i due triangoli sono congruenti, in particolare BC ∼= EF, ∠ABC ∼=∠DEF e ∠ACB ∼=∠DF E.

Si osservino in particolare gli assiomi (C1) e (C4). A dierenza di Euclide, che parla di costruzione con riga e compasso di segmenti ed angoli congruenti a quelli dati su una semiretta assegnata, in questo caso, i due assiomi ci dico-no che: dato un segmento ( o un angolo) ne esiste un altro ad esso congruente su una semiretta data. Questi due assiomi ci danno quindi la possibilità di lavorare con due strumenti in grado rispettivamente di trasportare segmenti ed angoli.

Denizione 10. Sia ∠BAC un angolo e⁻AD^−→una semiretta interna all'angolo ∠BAC, allora diremo che l'angolo ∠BAC è la somma degli angoli ∠BAD e ∠DAC.

Osservazione 6. Dobbiamo fare attenzione a questa denizione, a tale pro-posito si osservino le due seguenti gure: nella prima la somma degli angoli ∠BAC e ∠CAD non è un angolo; nella seconda dati gli angoli ∠A⁰C⁰D⁰ e ∠D⁰C⁰B⁰ la semiretta C⁻⁻⁻⁰D^→0 non è interna all'angolo ∠A0C⁰B⁰.

Denizione 11. Sia ∠BAC un angolo e D un punto sulla retta AB dalla parte opposta di A rispetto a B, allora gli angoli ∠BAC e ∠CAD si dicono supplementari.

Proposizione 10. Siano:

- ∠BAC e ∠BAD angoli supplementari, - ∠B0A⁰C⁰ e ∠B0A⁰D⁰ angoli supplementari, - ∠BAC ∼=∠B⁰A⁰C⁰,

allora anche ∠BAD ∼=∠B⁰A⁰D⁰.

Dimostrazione. Possiamo assumere che i punti B0, C0 e D0 siano tali che AB ∼= A⁰B⁰, AC ∼= A⁰C⁰ e AD ∼= A⁰D⁰. Tracciati i segmenti BC, BD, B0C⁰ e B0D⁰ consideriamo i triangoli ABC e A0B⁰C⁰. Sappiamo che:

AB ∼= A⁰B⁰, AC ∼= A⁰C⁰ e ∠BAC ∼=∠B⁰A⁰C⁰,

allora per l'assioma (C6) possiamo concludere che i due triangoli sono con-gruenti, ed in particolare BC ∼= B⁰C⁰ e ∠BCA ∼=∠B⁰C⁰A⁰.

Poichè:

AC ∼= A⁰C⁰, AD ∼= A⁰D⁰, C ∗ A ∗ D e C0∗ A⁰∗ D⁰,

per l'assioma (C3) possiamo dire che CD ∼= C⁰D⁰. Ora, consideriamo i triangoli BCD e B0C⁰D⁰, avendo mostrato che ∠BCA ∼=∠B⁰C⁰A⁰ e sapendo che BC ∼= B⁰C⁰, ancora sfruttando l'assioma (C6) concludiamo che i due triangoli sono congruenti. Inne consideriamo i triangoli BDA e B0D⁰A⁰: per ipotesi DA ∼= D⁰A⁰ e dal passo precedente sappiamo che BD ∼= B⁰D⁰ e ∠BDA ∼=∠B⁰D⁰A⁰. Per un'ultima volta l'assioma (C6) ci garantisce che i due triangoli sono congruenti ed in particolare saranno congruenti gli angoli ∠BAD e ∠B⁰A⁰D⁰, come volevamo.

Denizione 12. Due angoli si dicono opposti al vertice se sono deniti da semirette opposte giacenti sulle stesse due rette.

Corollario 1. Angoli opposti al vertice sono congruenti.

Proposizione 11 (Somma di angoli). Sia dato un angolo ∠BAC e siano: - ⁻AD^−→ una semiretta interna all'angolo,

- ∠D0A⁰C⁰ e ∠DAC angoli congruenti, - ∠B0A⁰D⁰ e ∠BAD angoli congruenti,

- le semirette^−−→A⁰B⁰ e A^−−→0C⁰ su semipiani opposti rispetto alla retta A0D⁰. Allora le semirette ^−−→A⁰B⁰ e ^−−→A⁰C⁰ formano un angolo congruente all'angolo ∠BAC e la semiretta ⁻A⁻⁻⁰D^→0 è interna all'angolo ∠B0A⁰C⁰.

Dimostrazione. Essendo la semiretta⁻AD^−→interna all'angolo ∠BAC sappiamo che esiste il punto di intersezione di tale semiretta con BC (Proposizione 5). Possiamo sostituire il punto dato D con tale punto di intersezione, in modo da avere B ∗ D ∗ C. Possiamo inoltre sostituire B0, C0 e D0 con altri punti che giacciono sulle stesse semirette e tali che AB ∼= A⁰B⁰, AC ∼= A⁰C⁰ e AD ∼= A⁰D⁰.

Sapendo per ipotesi che ∠D0A⁰C^{0 ∼}= ∠DAC e ∠B⁰A⁰D^{0 ∼}= ∠BAD, grazie all'assioma (C6) possiamo concludere che il triangolo BAD è congruente a B⁰A⁰D⁰ e il triangolo DAC è congruente a D0A⁰C⁰. In particolare allora:

BD ∼= B⁰D⁰, DC ∼= D⁰C⁰, ∠BDA ∼=∠B⁰D⁰A⁰ e ∠ADC ∼=∠A⁰D⁰C⁰. Prendiamo ora un punto E0 sulla semiretta^−−−→B⁰D⁰ che verica B0∗D⁰∗E⁰. Per denizione ∠A0D⁰E⁰è un angolo supplementare a ∠A0D⁰B⁰, che abbiamo mo-strato essere congruente a ∠ADB. Allora sfruttando la transitività della con-gruenza tra angoli e la Proposizione 10 deduciamo che ∠A0D⁰E^{0 ∼}=∠A⁰D⁰C⁰. Osserviamo che per costruzione questi sono dalla stessa parte rispetto alla retta contenente A0e D0, allora per l'assioma (C4) coincideranno e possiamo concludere che ∠A0D⁰C⁰ e ∠A0D⁰B⁰ sono supplementari. Essendo quindi B0, D⁰ e C0 allineati e ∠D0A⁰C⁰ un angolo, allora A0, B0 e C0 non sono allineati e formano un angolo. Grazie all'ipotesi, all'assioma (C3) e alla congruen-za dei triangoli BAD e B0A⁰D⁰ abbiamo rispettivamente che: AB ∼= A⁰B⁰, BC ∼= B⁰C⁰ e ∠ABD ∼= ∠A⁰B⁰D⁰. L'assioma (C6) ci dice che i triangoli

ABC e A0B⁰C⁰ sono congruenti ed in particolare ∠BAC ∼=∠B⁰A⁰C⁰, come richiesto.

Inne, essendo B0 e C0 da parti opposte rispetto alla retta A0D⁰ risulta B⁰∗ D0∗ C0 e quindi la semirettaA⁻⁻⁻⁰D^→0 è interna all'angolo ∠B0A⁰C⁰. Denizione 13. Supponiamo di avere due angoli ∠BAC e ∠EDF . Diremo che ∠BAC è minore (<) di ∠EDF , se esiste una semiretta ^−−→DG interna all'angolo ∠EDF tale che ∠BAC ∼=∠GDF . In questo caso possiamo anche dire che ∠EDF è maggiore (>) di ∠BAC.

Proposizione 12. Valgono i seguenti risultati: - se α ∼= α⁰ e β ∼= β⁰ allora α < β ⇔ α0< β⁰, - se α < β e β < γ allora α < γ,

- data una qualsiasi coppia di angoli α e β vale una ed una sola delle seguenti relazioni: α < β, α > β o α ∼= β.

Denizione 14. Un angolo si dice retto se è congruente al suo supplemen-tare.

Denizione 15. Due rette si dicono ortogonali se sono incidenti in un punto e formano due angoli retti adiacenti.

Proposizione 13. Due qualsiasi angoli retti sono congruenti tra loro. Dimostrazione. Siano α = ∠CAB e α0 = ∠C⁰A⁰B⁰angoli retti. Per denizio-ne sono entrambi congruenti ai rispettivi supplementari ∠CAD e ∠C0A⁰D⁰, che chiameremo β e β0.

Supponiamo che α non sia congruente ad α0, allora α < α0 o α > α0. As-sumiamo α < α0. Per denizione esisterà una semiretta ^−−→A⁰E⁰ all'interno dell'angolo α0 tale che α ∼= ∠E⁰A⁰B⁰. Allora possiamo dimostrare che la

semiretta ^−−→A⁰C⁰ è interna all'angolo ∠E0A⁰D⁰. Infatti, per costruzione E0 e B⁰ sono dalla stessa parte rispetto alla retta, che chiameremo t, contenente i punti A0 e C0; essendo poi A0 collocato tra B0 e D0 quest'ultimi saranno da parti opposte rispetto a tale retta. Possiamo quindi concludere che D0 ed E0

il segmento D0E⁰ e la retta t. Possiamo chiamare C0 proprio tale punto ed osservare che vale D0∗ C⁰∗ E⁰. Da questo deduciamo che: C0ed E0sono dalla stessa parte rispetto alla retta contenente i punti A0 e D0, mentre i punti C0

e D0 sono dalla stessa parte rispetto alla retta contenente A0 e E0. Questo ci dice che^−−→A⁰C⁰ è interna all'angolo ∠E0A⁰D⁰ e dunque β0

< ∠E⁰A⁰D⁰. D'altra parte ∠E0A⁰D⁰ è supplementare di ∠E0A⁰B⁰, che è congruente ad α, quindi ∠E⁰A⁰D^{0 ∼}= β. Risulta allora: β0 < β. Inne, essendo per denizione α ∼= β e α0 ∼_{= β}0 possiamo concludere che α0 < α, in contraddizione con quanto supposto.

Osservazione 7. Euclide aveva assunto come postulato che gli angoli retti fossero tutti congruenti tra loro.

Osservazione 8. Due angoli retti con una semiretta in comune coincidono o sono supplementari. Infatti: siano ∠BAC e ∠B0AC i due angoli retti. Se B e B0 sono dalla stessa parte rispetto alla retta AC, per l'assioma (C4), i due angoli coincidono; d'altra parte se B e B0 sono da parti opposte rispetto alla retta AC, per la Proposizione 13 sappiamo che sono congruenti tra loro, e ∠BAC sarà congruente, per denizione, al suo supplementare β. Allo-ra, per transitività, ∠B0AC ∼= β e ancora per l'assioma (C4) i due angoli coincideranno. L'angolo ∠B0AC risulta quindi supplementare di ∠BAC.

1.4.1 Esercizi

Esercizio 18 (Esercizio 9.1). ? Siano dati gli angoli congruenti ∠BAC ∼= ∠B⁰A⁰C⁰ e la semiretta ⁻AD^−→ interna a ∠BAC. Mostrare che esiste una se-miretta ⁻A⁻⁻⁰D^→0 interna a ∠B0A⁰C⁰ tale che ∠DAC ∼= ∠D⁰A⁰C⁰ e ∠BAD ∼= ∠B⁰A⁰D⁰. ?

Senza perdere di generalità possiamo assumere che B0 sia il punto sulla semiretta ^−−→A⁰B⁰ che verica AB ∼= A⁰B⁰, analogamente AC ∼= A⁰C⁰ e che D sia il punto, che sappiamo esistere, in cui la semiretta⁻AD^−→ interseca BC ( si noti che questo ci dice anche che vale B ∗ D ∗ C).

Per l'assioma (C4) si consideri la semiretta ⁻A⁻⁻⁰D^→0 con origine in A0 e D0

dalla stessa parte di B0 rispetto ad A0C⁰, tale che ∠CAD ∼=∠C⁰A⁰D⁰. An-che in questo caso possiamo chiamare D0 il punto della semiretta che ve-rica AD ∼= A⁰D⁰. Per costruzione la semiretta ⁻A⁻⁻⁰D^→0 è interna all'angolo ∠B⁰A⁰C⁰, infatti abbiamo dimostrato ( Proposizione 12), che dati:

∠BAC ∼=∠B⁰A⁰C⁰ e ∠DAC ∼=∠D⁰A⁰C⁰, allora

∠DAC < ∠BAC ⇐⇒ ∠D⁰A⁰C⁰ < ∠B⁰A⁰C⁰.

Resta da dimostrare che anche ∠BAD ∼=∠B⁰A⁰D⁰. Consideriamo i triangoli ABC e A0B⁰C⁰, abbiamo:

∠BAC ∼=∠B⁰A⁰C⁰, AB ∼= A⁰B⁰, AC ∼= A⁰C⁰,

allora per l'assioma (C6) possiamo concludere che il triangolo ABC è con-gruente al triangolo A0B⁰C⁰, ed in particolare:

∠BCA ∼=∠B⁰C⁰A⁰ e BC ∼= B⁰C⁰. Analogamente considerando i triangoli ADC e A0D⁰C⁰, da:

∠DAC ∼=∠D⁰A⁰C⁰, AD ∼= A⁰D⁰, AC ∼= A⁰C⁰, possiamo dedurre che:

Osserviamo ora che i punti B0, D0 e C0 sono allineati. Essendo B, D e C allineati, gli angoli ∠BCA e ∠DCA coincidono, allora:

∠B⁰C⁰A^0∼=∠BCA = ∠DCA ∼=∠D⁰C⁰A⁰.

Per l'assioma (C4) essendo B0e D0dalla stessa parte rispetto ad A0C⁰ possia-mo concludere che la semiretta^−−→C⁰B⁰ coincide con la semiretta ⁻C⁻⁻⁰D^→0, quindi si ha C0∗ D⁰∗ B⁰.

Possiamo quindi aermare che ∠BDA ∼= ∠B⁰D⁰A⁰, essendo angoli supple-mentari di angoli congruenti e BD ∼= B⁰D⁰, essendo dierenza di segmenti congruenti. Allora sfruttando l'assioma (C6), i triangoli BDA e B0D⁰A⁰ risultano congruenti, ed in particolare gli angoli ∠BAD e ∠B0A⁰D⁰, come volevamo.

Esercizio 19 (Esercizio 9.2). ? Supponiamo che la semiretta⁻AD^−→sia inter-na all'angolo ∠BAC, e che la semiretta ^−→AE sia interna all'angolo ∠DAC. Mostrare che la semiretta^−→AE è interna anche all'angolo ∠BAC. ?

Essendo ⁻AD^−→ interna all'angolo ∠BAC possiamo dire che esiste un punto

D⁰ = ⁻AD ∩ BC^−→ e risulta B ∗ D0 ∗ C ( Proposizione 5). Analogamente es-sendo la semiretta ^−→AE interna all'angolo ∠DAC, che coincide con ∠D0AC, esisterà un punto E0 su ^−→AE tale che D0∗ E0∗ C. Per l'Esercizio 5 sappiamo che:

B ∗ D⁰∗ C e D⁰∗ E⁰∗ C implicano B ∗ E0∗ C. Allora risultano:

B e E0 dalla stessa parte rispetto alla semiretta ^−→AC, C e E0 dalla stessa parte rispetto alla semiretta ⁻AB^−→,

e quindi per denizione la semiretta^−→AE, che coincide con la semiretta^−−→AE⁰, è interna all'angolo ∠BAC.