Assiomi di incidenza

Gli assiomi di incidenza - detti anche assiomi di collegamento - hanno lo scopo di regolare e ordinare i concetti di “punti appartenenti a rette” e di “rette incidenti”.

Gli assiomi sono i seguenti:

(I 1) Per due punti A, B, passa una ed un’unica retta r.

(I 2) Ogni retta contiene almeno due punti.

(I 3) Esistono almeno tre punti che non giacciono tutti sulla stessa retta.

Osservazione 7. Osserviamo come l’assioma (I 1) coincida in sostanza con il I postulato di Euclide.

Notazione: D’ora in avanti indicheremo con AB l’unica retta passante per i due punti distinti A e B. Essa sarà anche detta retta congiungente A e B.

Definizione 2.4. Dati n punti A1,...,An sono detti allineati se esiste una retta

che li contiene tutti.

Definizione 2.5. Una geometria piana che soddisfa gli assiomi (I 1-3) è detta geometria di incidenza.

Una geometria di incidenza è di fatto la più semplice geometria con cui si possa lavorare. In essa si trova quel corpo di assiomi appena sufficiente per poter operare con costruzioni d’intersezione. Da questo primo gruppo di assiomi sono comunque ricavabili alcuni primi e semplici risultati. In particolare Hilbert ennuncia la seguente:

Proposizione 2.1. Due rette distinte del piano hanno al più un punto in comune.

Dimostrazione. Siano r ed l due rette distinte.

Supponiamo per assurdo esistano due punti A e B, con A_{6= B, per i quali} passino ambe le rette. L’assioma (I 1) garantisce l’unicità della retta passante per una coppia di punti distinti, da cui la necessità che r = l.

Questa proposizione contiene un risultato più interessante di quanto la sua semplicità non possa far credere. Abbiamo già detto che Euclide, nel suo I postulato, ammette l’esistenza - ma non l’unicità - di una retta passante per una data coppia di punti. Abbiamo anche visto che nella Proposizione (I.4) questo portava ad una dimostrazione scorretta, perché implicitamente si ammetteva non potessero esistere due rette per due punti B e C. La riscrittura degli assiomi da parte di Hilbert, con l’esplicita richiesta dell’unicità della retta, porta come primissima conseguenza (deducibile all’interno della sola geometria di incidenza) la correzione dell’imprecisione compiuta da Euclide.

In realtà si vedrà nella Sezione 2.2.4 come la Proposizione (I.4) venga inglo- bata in maniera del tutto originale all’interno dell’assiomatica dei Fondamenti rispetto a quella degli Elementi.

Modelli

Crucciamoci ora di trovare un modello alla geometria di incidenza.

Un modello di una certa geometria altro non è che una interpretazione de- gli enti sussistenti nella teoria, e delle relazioni tra essi, ma in un un diverso contesto, in modo però tale che gli assiomi abbiano validità. Si tratta quindi di assegnare un significato alle nozioni indefinite di punto e retta e verificare che gli assiomi continuino a valere.

Non è difficile credere che la scelta di modelli sia infinitamente ampia e di esempi se ne possono fornire a piacimento. Alcuni dei più significativi, ed al contempo più semplici, sono quelli che seguono:

Esempio 2.1 (Piano cartesiano). Consideriamo il piano cartesiano sopra l’insieme dei razionali Q.

In questo modello l’insieme dei punti coincide con Q2; mentre una retta è data da: n (x, y)_{∈ Q}2 ux + vy + w = 0 o , con u, v, w_{∈ Q, (u, v) 6= (0, 0).}

Osserviamo come vengano rispettati i tre assiomi.

(I 1): siano A = (a1, a2), B = (b1, b2) ∈ Q2 distinti. Chiamaremo ascisse le

componenti a1 e b1, mentre ordinate a2e b2.

Se a1= b1, consideriamo la retta x_{− a}1= 0. Se a16= b1, consideriamo la retta y +b2− a2 b1− a1 x + a1 b2− a2 b1− a1 − a 2= 0.

In entrambi i casi le rette soddisfano la richiesta di passare per A e B. Attraverso un semplice sistema lineare si può dimostrare che non esistono altre rette, all’infuori di queste, che passano per i due punti.

(I 2): consideriamo la retta ux + vy + w = 0.

Se v = 0 allora (₋w_u, 0) e (₋w_u, 1) giacciono sulla retta. Se v_{6= 0 allora (0, −}w_v) e (1,₋u+w_v ) appartengono alla retta.

(I 3): prendiamo i punti (0, 0), (1, 0) e (0, 1). Data una retta ux + vy + w = 0 e imponendo il passaggio per tutti e tre i punti, otteniamo u = v = w = 0. Assurdo.

Esempio 2.2. In questo esempio vedre- mo un caso dove il piano presenta un numero finito di punti.

Sia dunque _{P = {A, B, C} un insieme} di tre elementi; consideriamo come ret- te _{R ={A, B}, {A, C}, {B, C} . Pos-} siamo darne una rappresentazione dove le rette sono visualizzate come gli usua- li segmenti con estremi i due punti della retta; cionondimeno non si debba cre- dere le rette contengano punti interme- di tra i suoi estremi, quella scelta è solo una rappresentazione di comodo. Verificare che vengano soddisfatti i tre assiomi d’incidenza è banale.

Accenno all’indipendenza

Arrivati a questo primo risultato, può essere interessante interrogarsi sull’in- dipendenza degli assiomi appena proposti. In questo modo possiamo dimostrare che non esistono assiomi superflui, e abbiamo già detto come questa fosse una delle condizioni che Hilbert richiedeva al proprio sistema.

Ricordiamo che un sistema di assiomi A1,A2,...,An è costituito da assiomi

indipendenti se per nessun i_{∈ {1, ..., n} A}i può essere dimostrato a partire da

A1,...,Ai−1,Ai+1,...,An. Procedere in questo modo può però risultare difficoltoso,

se non inutile; può essere più conveniente agire invece così: selezionato Ai,

costruire un modello nel quale valgano gli assiomi A1,...,Ai−1,Ai+1,...,An ma

non Ai; in tal modo è dimostrata l’indipendenza di Ai dai restanti assiomi.

Bisogna poi procedere per ogni singolo assioma del sistema.

Avendo ora per le mani un sistema costituito da soli tre assiomi, questo pro- cedimento non risulterà troppo lungo:

Esempio 2.3.

• (I 1), (I 2), 

 (I 3):

Consideriamo il piano costituito da P = {A, B} e R ={A, B} .

È evidente la validità dei primi due as- siomi; tuttavia non esistono tre punti non allineati.

• (I 1),_(I 2), (I 3): Siano_{P = {A, B, C} e}

R ={A}, {A, B}, {A, C}, {B, C} . (I 1) è ovviamente valido. I tre punti A, B e C non giacciono su una stessa retta. Ma {A} contiene solo un punto.

• 



(I 1), (I 2), (I 3):

Siano_{P = {A, B, C} e R = ∅.}

(I 1) è ovviamente non valido. I tre pun- ti A, B e C non giacciono su una stes- sa retta. (I 2) è verificato trattandosi di un’affermazione sul vuoto.

Da queste costruzioni risulta dimostrata la seguente:

Proposizione 2.2. Gli assiomi di incidenza sono indipendenti.