Automorsmi ed elementi immaginari

In questo paragrafo iniziamo lo studio degli insiemi denibili nel modello saturo ¯M della teoria completa T . Deniamo inoltre l'espansione ¯Meq degli

immaginari di ¯M. Passare a questa estensione permette di studiare la denibilità e la quasi-denibilità in termini di chiusura denibile e algebrica in ¯Meq. Mostriamo che se un gruppo G è interpretabile in una struttura M

allora G è isomorfo ad un gruppo denibile nell'espansione Meq_{. In seguito}

deniamo i tipi forti di una teoria e li identichiamo con determinati tipi immaginari. Questi tipi sono molto importanti nel prosieguo della teoria, in quanto sono i prototipi dei cosiddetti tipi stazionari che studieremo a fondo nei capitoli 3 e 4.

Sia M una L-struttura. Denotiamo con ¯x = (x1, . . . , xn) una n-upla di

variabili. Sia A ⊆ M. Un sottoinsieme B ⊆ Mn_{si dice A-denibile se esiste}

una formula φ(¯x) con parametri in A tale che B = {¯b ∈ Mn _{: M |= φ(¯b)}.}

Indicheremo con φ(Mn), o φ(M) se non ci sono ambiguità, il sottoinsieme di

Mndenito da φ. Spesso diremo che un insieme è denibile se non intendiamo specicare l'insieme dei parametri sul quale è denibile.

2.2. AUTOMORFISMI ED ELEMENTI IMMAGINARI 27 Osservazione 2.2.1. Spesso è utile riferirsi direttamente ad insiemi denibili più che alle formule che li deniscono. Ad esempio, ssata una L-struttura M, un tipo di T h(M) può essere visto in due modi equivalenti: come insieme di L- formule coerenti oppure come un ltro del POSET dei sottoinsiemi ∅-denibili di M (ordinato con l'inclusione). Così, un tipo completo p ∈ S(A, M) è un ultraltro del POSET dei sottoinsiemi A-denibili di M.

Sia T una teoria completa. Fissiamo un modello ¯M di T , k-saturo e fortemente k-omogeneo per un cardinale grande k (Osservazione 2.1.14). Ricordiamo dal paragrafo precedente che tali assunzioni ci assicurano che:

1. ogni tipo su sottoinsiemi di cardinalità minore di k è realizzato in ¯M ; 2. due β-uple di elementi di ¯M, con β < k, hanno lo stesso tipo in ¯M se

e solo se sono coniugati sotto l'azione di Aut( ¯M).

Alla luce di questi fatti, quando diremo che un modello o un sottoinsieme è piccolo intenderemo dire che ha cardinalità minore di k. Indichiamo con le lettere A, B, . . . e M, N, . . . rispettivamente insiemi e modelli piccoli. Tali modelli verranno identicati come sottostrutture elementari del modello saturo ¯M.

Restringiamo il nostro interesse allo studio di questi modelli e, più in generale, agli insiemi denibili nel modello saturo ¯M. Mostriamo come sia possibile analizzare la denibilità in ¯M studiando particolari sottogruppi di automorsmi di ¯M. Ricordiamo che con AutA( ¯M)denotiamo il sottogruppo

degli automorsmi di ¯M che ssano A puntualmente.

Per semplicità indichiamo con x sia una singola variabile sia una β-upla di variabili (se ciò non crea confusione). Adotteremo la stessa convenzione per β-uple di elementi a in ¯M. Scriveremo alle volte |= φ per qualche formula φ, sottointendendo ¯M |= φ.

Lemma 2.2.2. Sia X ⊆ ¯Mm un insieme denibile e sia A ⊆ ¯M. Allora X è A-denibile se e solo se per ogni f ∈ AutA( ¯M), f(X) = X (come insieme).

Dimostrazione. Per l'implicazione da sinistra a destra è suciente osservare che se φ(x, a) denisce X e a è in A, allora f(X) è l'insieme denito da φ(x, f (a)).

Viceversa, sia φ(x, b) una formula che denisce X e consideriamo p(y) = tp(b/A). Allora:

p(y) |= ∀x(φ(x, y) ↔ φ(x, b)) . (2.2)

Infatti, se b0 _{realizza p, per l'omogeneità di ¯M esiste un automorsmo f che}

28 CAPITOLO 2. TEORIE WEAKLY NORMAL f(X)è l'insieme denito da φ(x, f(b)) = φ(x, b0_{). Le nostre ipotesi implicano}

che f(X) = X. Quindi φ(x, b) e φ(x, b0_{)deniscono entrambi X e l'equazione}

2.2 è vericata.

Per compattezza, esiste una LA-formula ψ(y) ∈ p tale che

|= ∀y(ψ(y) → ∀x(φ(x, y) ↔ φ(x, b))) .

Allora la formula σ(x) = ∃y(ψ(y) ∧ φ(x, y)) è su A e denisce X.

Diciamo che una relazione di equivalenza su qualche insieme è nita se suddivide l'insieme in un numero nito di classi di equivalenza.

Denizione 2.2.3. Sia X ⊆ ¯Mm _{un insieme denibile. Si dice che X è}

quasi-denibile su A se esiste una relazione di equivalenza nita E su ¯Mn

tale che E è A-denibile e X è unione di E-classi.

Quindi, se X è un insieme denito da una qualche formula φ(x), si dice che X è quasi-denibile su A se esiste una formula ψ(x, y) ∈ LA tale che ψ

denisce una relazione di equivalenza nita su ¯Mn ed esistono b

1, . . . , bk in

¯

Mn tali che risulti:

|= ∀x(φ(x) ↔ ψ(x, b1) ∨ · · · ∨ ψ(x, bk))

e in particolare possiamo scegliere i bi in X.

Lemma 2.2.4. Sia X ⊆ ¯Mm un insieme denibile e sia A ⊆ ¯M. Allora X è quasi-denibile su A se e solo se X ha un numero nito di immagini sotto l'azione di AutA( ¯M).

Dimostrazione. Assumiamo che X sia quasi-denibile su A. Allora X è unio- ne nita di E-classi dove E è una relazione di equivalenza A-denibile nita. Allora, ogni A-automorsmo di ¯M agisce sulle E-classi e quindi, dato che queste sono in numero nito, l'orbita di X sotto l'azione di AutA( ¯M)è nita.

Viceversa, sia X denito da φ(x, b). Dato che X ha un numero nito di immagini sotto gli A-automorsmi di ¯M, esistono b1, . . . , bn tali che per ogni

f ∈ AutA( ¯M), f(X) è denito da φ(x, bi) per qualche i ≤ n. Deniamo la

relazione di equivalenza nita: E(x, y) ≡ ^

i≤n

φ(x, bi) ↔ φ(y, bi) .

Allora E(x, y) è denibile e A-invariante (ogni A-automorsmo ssa ogni E-classe come insieme). Quindi E(x, y) è A-denibile e X è unione di E- classi.

2.2. AUTOMORFISMI ED ELEMENTI IMMAGINARI 29 Denizione 2.2.5. Sia A ⊆ ¯M. Deniamo la chiusura denibile e algebrica di A in ¯M come segue:

• dcl(A) è l'insieme dei b ∈ ¯M tali che esiste una LA-formula φ(x) che

verica |= φ(b) e |= ∃=1xφ(x)(cioè, φ ha un'unica soluzione in ¯M) ;

• acl(A) è l'insieme dei b ∈ ¯M tali che esiste una LA-formula φ(x) ed

esiste n ∈ N che vericano |= φ(b) e |= ∃≤nxφ(x)(cioè, φ ha un numero

nito di soluzioni in ¯M).

Osservazione 2.2.6. I Lemmi 2.2.2 e 2.2.4 applicati a singoletti forniscono una caratterizzazione in termini di automorsmi della chiusura denibile e algebrica di un insieme. Sia A ⊆ ¯M e a ∈ ¯M, allora:

• a ∈ dcl(A) ⇔ a è ssato da ogni A-automorsmo di ¯M ;

• a ∈ acl(A) ⇔ a ha un numero nito di immagini sotto l'azione degli A-automorsmi di ¯M.

Sviluppiamo ora brevemente la teoria degli immaginari e deniamo la teoria Teq_{nella quale essi hanno una naturale collocazione. Questi strumenti}

ci permetteranno di fornire una caratterizzazione in termini di automor- smi per la denibilità e la quasi-denibilità in ¯M. Per una trattazione più dettagliata si può guardare il capitolo 4 in [2] oppure il paragrafo 1 in [13].

Un linguaggio a più sorti del primo ordine è costituito da: • un insieme di simboli di sorte Si ;

• un insieme di simboli di funzione f e di relazione R nei quali viene specicato per ogni variabile di input la corrispondente sorte in cui essa varia.

Così, una L-struttura a più sorti M è costituita da una collezione di insiemi Si(M ), detti sorti di M, nei quali vengono interpretati correttamente i

simboli di funzione e relazione in L. Per esempio, se R(x1, . . . , xn) ∈ L è un

simbolo di relazione dove le variabili xi sono di sorte Si, allora RM sarà un

sottoinsieme del prodotto cartesiano S1(M ) × · · · × Sn(M ). Le L-formule si

costruiscono nel modo usuale avendo però l'accortezza di specicare per ogni variabile la sorte in cui essa varia.

Data una L-teoria completa T e il suo modello saturo ¯M, deniamo la Leq_{-struttura ¯M}eq _{e la relativa teoria T}eq_{. Il linguaggio L}eq _{è costituito da:}

30 CAPITOLO 2. TEORIE WEAKLY NORMAL • un simbolo di sorte Sφ per ogni L-formula φ(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) che

denisce una relazione di equivalenza E in ¯M ;

• un simbolo di funzione fφ, per ogni L-formula φ come sopra, tale che,

se scriviamo con S= la sorte per la relazione di uguaglianza (che iden-

tichiamo con ¯M), fφ ha variabili di input di sorte S= e variabili di

output di sorte Sφ.

Deniamo Teq _{come la L}eq _{teoria assiomatizzata da:}

• T ;

• per ogni relazione di equivalenza ∅-denibile φ l'assioma: ∀x1, . . . , xn, y1, . . . , yn∈ S=

φ(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) ↔ fφ(x1, . . . , xn) = fφ(y1, . . . , yn) .

• per ogni relazione di equivalenza ∅-denibile φ l'assioma che esprime il fatto che fφ è una funzione surgettiva.

A questo punto possiamo denire ¯Meq _{interpretando i simboli nel modo}

seguente:

• S=( ¯Meq) = ¯M ;

• per ogni formula φ che denisce una relazione di equivalenza E, Sφ( ¯Meq) =

¯

Mn_/Ee per ogni (a

1, . . . , an) ∈ ¯Mn, fφ( ¯Meq)(a1, . . . , an) = (a1, . . . , an)/E.

Gli elementi della forma b/E si chiamano immaginari. Elenchiamo i fat- ti principali riguardanti la teoria Teq, rimandando ai già citati autori per

ulteriori chiarimenti.

Lemma 2.2.7. Con le notazioni di sopra,

1. i modelli di Teq _{sono esattamente le strutture M}eq _{al variare di M tra}

i modelli di T ;

2. ogni isomorsmo tra due modelli M, N di T si estende ad un unico isomorsmo tra i modelli Meq_{, N}eq _;

3. Teq _{è completa ;}

4. se a, b sono β-uple di elementi in due modelli M, N di T , tali che tpM(a) = tpN(b), allora tpMeq(a) = tp_Neq(b) ;

2.2. AUTOMORFISMI ED ELEMENTI IMMAGINARI 31 5. per ogni Leq_{-formula ψ(x}

1, . . . , xn), dove xi ∈ SEi, esiste una L-formula φ(¯y1, . . . ,y¯n) tale che:

Teq |= ∀¯y1, . . . ,y¯n(φ(¯y1, . . . ,y¯n) ↔ ψ(fE1(¯y1), . . . , fEn(¯yn))) ; 6. se M, N sono modelli di T tali che M ≺ N, allora Meq _{≺ N}eq _;

7. ¯Meq è k-saturo e fortemente k-omogeneo.

Possiamo pensare informalmente ad ¯Meq _{come ad un modo per aggiun-}

gere ad ¯M dei codici per i suoi sottoinsiemi denibili. Infatti, ogni insieme denibile X ⊆ ¯Mn corrisponde ad un elemento di ¯Meq.

Supponiamo che X sia denito da una formula φ(x, b). Consideriamo la relazione di equivalenza E(y1, y2) ≡ ∀x(φ(x, y1) ↔ φ(x, y2)). Allora X è

denito in ¯Meq _{dalla formula ∃y(f}

E(y) = b/E ∧ φ(x, y)). In quest'ottica, b

può essere visto come un rappresentante per la classe di equivalenza degli elementi che deniscono X tramite φ. L'elemento immaginario b/E è detto codice per X. In generale, un codice per X non è unico e dipende dalla particolare formula scelta per denire X. Osserviamo che, considerando la parte (2) del Lemma 2.2.7, per ogni automorsmo α di ¯M, α(X) = X come insieme se e solo se α(b/E) = b/E.

Denizione 2.2.8. (i) Sia M una L-struttura e sia X ⊆ Mn _{un insieme}

denibile. Diciamo che una n-upla c in M codica X (oppure c è un codice per X) se per ogni automorsmo α di M, α(X) = X come insieme se e solo se α(c) = c.

(ii) Diciamo che la teoria T elimina gli immaginari se ogni insieme denibile X in ¯M ha un codice in ¯M.

Lemma 2.2.9. Teq _{elimina gli immaginari.}

Dimostrazione. Sia E0 _{una relazione di equivalenza ∅-denibile nella sorte}

SE di ¯Meq. Allora, in base al punto (5) del Lemma 2.2.7, esiste una for-

mula φ(y1, y2), con le variabili della lunghezza appropriata, tale che Meq |=

∀y1, y2(φ(y1, y2) ↔ E0(fE(y1), fE(y2))). Quindi la formula φ denisce una

relazione di equivalenza in ¯M che permette, associando ogni (c/E)/E0 a c/φ, di identicare la sorte SE/E0 di ( ¯Meq)eq con la sorte Sφ di ¯Meq.

Ora, ogni insieme denibile X in ¯Meq ha un codice c in ( ¯Meq)eq _{e, per il}

ragionamento precedente, c può essere preso in Meq_.

Possiamo riassumere questi risultati dicendo che ogni struttura ha un'e- spansione denibile che elimina gli immaginari. Inoltre, come già osservato in

32 CAPITOLO 2. TEORIE WEAKLY NORMAL precedenza, tale espansione conserva molte proprietà, riassunte nel Lemma 2.2.7.

Vediamo ora come, passare all'espansione Meq_{di una struttura M fornisce}

un naturale luogo dove guardare le interpretazioni in M. In particolare, mostriamo che se un gruppo G è interpretabile in M allora G è isomorfo a un gruppo denibile in Meq_{. Per una trattazione più ampia delle relazioni}

che intercorrono tra le interpretazioni e la denibilità in Meq _{si può guardare}

il capitolo 5 in [2].

Denizione 2.2.10. Siano G un gruppo ed M una L-struttura. Diciamo che G è un gruppo denibile in M se esiste un intero n > 0 ed esistono L- formule, possibilmente con parametri in M, φ=(¯x) e φp(¯x,y,¯ z)¯ (¯x, ¯y, ¯z sono

tre n-uple di variabili) tali che

G= { ¯m ∈ Mn: M |= φ=( ¯m)}

e il graco dell'operazione di gruppo su G coincide con l'insieme PG= {( ¯m1,m¯2,m¯3) ∈ G3 : M |= φp( ¯m1,m¯2,m¯3)}.

Teorema 2.2.11. Sia G un gruppo interpretabile in una struttura M. Allora esiste un gruppo ¯G denibile in Meq ed esiste un isomorsmo di gruppi α :

¯ G → G.

Dimostrazione. Sia Γ un'interpretazione n-dimensionale di G in M (Esempio 1.2.4). Allora esiste un sottoinsieme denibile ˜G ⊆ Mn_{, esistono L}

M-formule

φ=(¯x,y), φ¯ 1(¯x), φmolt(¯x, ¯y,z)¯ ed esiste una funzione surgettiva f : ˜G → Gtale

che ∀¯x, ¯y, ¯z ∈ ˜G risulta:

• M |= φ=(¯x,y) ⇔ f (¯¯ x) = f (¯y);

• M |= φ1(¯x) ⇔ f (¯y) = 1;

• M |= φmolt(¯x,y,¯ z) ⇔ f (¯¯ x) · f (¯y) = f (¯z).

Eventualmente aggiungendo un numero nito di costanti nel linguaggio di M, possiamo supporre che ogni formula che occorre nella formazione dell'in- terpretazione per G in M sia sul ∅. Allora la formula φ=(¯x,y)¯ è una relazione

di equivalenza E, ∅-denibile su Mn_{. Sia S}

E la relativa sorte di Meq. De-

niamo ¯G in Meq come l'insieme degli immaginari [¯x] in S

E che hanno un

rappresentante ¯x in ˜G. Allora possiamo denire un'operazione di gruppo ∗ su ¯G nel seguente modo: per ogni [¯x], [¯y], [¯z] in ¯G, risulta [¯x] ∗ [¯y] = [¯z] se e solo se M |= φmolt(¯x,y,¯ z). Se per ogni [¯x] in ¯¯ G poniamo α([¯x]) = f(¯x),

cioè deniamo α tramite un rappresentante, si verica facilmente che α è un isomorsmo tra i gruppi ( ¯G, ∗)e G.

2.2. AUTOMORFISMI ED ELEMENTI IMMAGINARI 33 Vediamo ora come passare da T a Teq_{, e quindi sostanzialmente da ¯M a}

¯

Meq_{, fornisce un modo per studiare gli insiemi denibili tramite appropriati}

gruppi di automorsmi. Ricordiamo che ogni automorsmo di ¯M si estende ad un unico automorsmo di ¯Meq _{(Lemma 2.2.7). Nel seguito, i due gruppi}

di automorsmi, saranno spesso confusi (o se si vuole, identicati). In accordo con la Denizione 2.2.5, se A ⊆ ¯Mn _{indichiamo con:}

• dcleq_{(A) la chiusura denibile di A in ¯M}eq _;

• acleq_{(A) la chiusura algebrica di A in ¯M}eq_.

Il seguente lemma è da leggere in riferimento ai Lemmi 2.2.2 e 2.2.4

Lemma 2.2.12. Sia X ⊆ ¯Mn _{un insieme denibile e sia c un codice per X}

in ¯Meq (osserviamo che X è denibile su c). Allora:

1. X è denibile su A se e solo se c ∈ dcleq_(A).

2. X è quasi-denibile su A se e solo se X è acleq_{(A)-denibile in ¯M}eq_.

Dimostrazione. (1) X è denibile su A sse ogni A-automorsmo ssa X come insieme sse ogni A-automorsmo ssa c sse c ∈ dcleq_(A).

(2) Se X è quasi-denibile su A, allora X ha un numero nito di immagini sotto gli A-automorsmi. Quindi c ha un numero nito di immagini sotto gli A-automorsmi, cioè c ∈ acleq_{(A) e X è acl}eq_{(A)-denibile in ¯M}eq_.

Viceversa, se X è acleq_{(A)-denibile, allora ogni acl}eq_{(A)-automorsmo}

ssa X come insieme e quindi ssa c. Cioè, c ∈ dcleq_(acleq_{(A)) = acl}eq(A).

Allora c ha un numero nito di immagini sotto gli A-automorsmi e quindi anche X. Cioè, X è quasi-denibile su A.

Osservazione 2.2.13. Se X è un insieme denibile e se c è un codice per X, dalla dimostrazione del punto (2) nel Lemma 2.2.12 si ottiene:

X è quasi-denibile su A se e solo se c ∈ acleq(A)

Osservazione 2.2.14. In generale un codice per un insieme denibile X non è unico in quanto dipende dalla particolare formula considerata per denire X. Tuttavia, in base al Lemma 2.2.12, se c, d sono due codici per X, allora ogni automorsmo ssa c sse ssa X come insieme sse ssa d. Quindi risulta c ∈ dcleq(d) e d ∈ dcleq_{(c), cioè un codice è unico a meno di interdenibilità.}

In particolare esiste un unico insieme denibilmente chiuso C in ¯Meq _{tale che}

ogni automorsmo ssa X come insieme sse ssa C puntualmente. Un tale insieme si dice una base per l'insieme denibile X.

34 CAPITOLO 2. TEORIE WEAKLY NORMAL

Nel documento GRUPPI INTERPRETABILI IN (Z,+) (pagine 40-48)