Sviluppo in serie di potenze e sue applicazioni
4. Automorfismi del disco
Ci interessa studiare quelle funzioni olomorfe che mandano biunivocamente il disco unitario
D ={|z| < 1} in s´e. Queste funzioni si chiamano Automorfismi del disco. Vedremo subito che
l’inverso di un automorfismo `e una funzione olomorfa. Dunque gli automorfismi formano un gruppo. Sono relativamente pochi perch´e dipendono da soli tre parametri reali, e semplici nella forma. Il prossimo teorema li descrive completamente.
TEOREMA 4.1. (Automorfismi del disco). Gli automorfismi del disco sono le funzioni
w = f (z) del tipo
(106) w = c z− a
ESERCIZI 101 con inversa olomorfa
(107) z = c−1 w + ca
1 + ca w.
Dimostrazione. Osserviamo intanto che se|z| = 1, allora anche |w| = 1 perch´e si ha |w| = |w|/|¯z| = |c||z − a|/|¯z − a| = 1. Allora dal principio del massimo segue |z| < 1 ⇒ |w| < 1
(oppure usare l’esercizio3∗a pag 58).
Le funzioni definite da (106) sono certamente automorfismi del disco perch´e l’inversa l’abbiamo esplicitamente esibita (sostituire per credere). Essa `e olomorfa inD perch´e|caw| < 1.
Per provare che non ce ne sono altri occupiamoci dapprima di quelli che mandano lo zero nello zero. Sia w = f (z) uno di questi. Per il Lemma di Schwartz, pag. 100, applicato con R = M = 1 abbiamo|w| ≤ |z|. Ma z = f−1(w) manda anche lei lo zero nello zero e quindi |z| ≤ |w| e quindi |w| = |z|. Vediamo dunque che la (104) del Lemma di Schwartz `e verificata
con il segno ”=”. Dal lemma stesso segue allora f (z) = c z con|c| = 1.
Sia ora invecew = f (z) un automorfismo del tutto arbitrario, componiamolo con l’automorfismo w 7→ 1−f(0)ww−f(0) che manda f (0) in 0, ottenendo cos´ı l’automorfismo z 7→ 1−f(0)f(z)f (z)−f(0) che, per costruzione, lascia fisso lo zero. Da quanto si `e detto su questo tipo di automorfismi segue allora
f (z)− f(0)
1− f(0)f(z) = c z, |c| = 1
e dunque, poich´ec−1 = c, abbiamo
f (z) = c z + cf (0) 1 + cf (0)z,
che `e proprio del tipo (106): basta porre−cf(0) = a.
5. Esercizi
1 Siaf olomorfa nel disco|z| < R, non costante, sia Mr = sup|z|=r|f(z)|. Provare che M(r)
`e strettamente crescente in(0, R). (Usare il principio del massimo).
2 SianoP1,· · · , Pnpunti del piano e siaP vincolato a restare in una regione limitata A. Provare
che la funzionef (P ) =|P1P| · |P2P| · · · |PnP| ha massimi solo alla frontiera di A.
3 Siap un polinomio di grado≤ n e C > 0 una costante. Provare che l’insieme |p(z)| < C
ha al pi´u n componenti connesse. (Dimostrare per assurdo che ogni componente contiene
almeno una radice. Altrimenti in essa p avrebbe anche un principio del minimo, ma |p| `e
costante al bordo della componente e allora lo sarebbe anche dentro. Ma se|p| `e costante in un
aperto connesso allora, Esercizio 5 pag.80, essa `e ivi costante ma il principio del prolungamento analitico. . . )
102 ESERCIZI
4 Siaf olomorfa in D = {|z| < R} e sia |f(z)| ≤ M in D. Dimostrare che si ha |f(z) − f(0)| ≤ 2M
R |z|, ∀z ∈ D,
(usare Schwartz). Servirsi di questa diseguaglianza per dare un’altra dimostrazione del Teorema di Liouville.
5 Siaf olomorfa nel disco unitario D e soddisfi |f(z)| ≤ 1 in D. Dimostrare che per ogni a∈ D si hanno le disuguaglianze | f (z)− f(a) 1− f(a)f(z)| ≤ | z− a 1− az|, |f′(a)| 1− |f(a)|2 ≤ 1 1 − |a|2.
Che succede se in una di queste vale il segno ”=”? (Indicando con−Sala funzione (106) di pag 100, conc = 1, applicare Schwartz a g = S−f(a)◦ f ◦ Sae, osservando cheSa◦ Sa `e l’identit´a, dimostrare e poi usare la relazioneg◦ Sa= Sf (a)◦ f.
6 Dimostrare che per|z| < 1 si ha
z (1− z)2 = ∞ X n=1 nzn. 7 Supponiamo cheP∞ n=0anzn eP∞ n=0bnzn convergano in{|z| < R} a f e g rispettivamente.
Dimostrare che allora ancheP∞
n=0cnzn, concn =Pn
k=0akbn−k, converge in{|z| < R} e che
la somma `ef g.
8 Trovare la serie di potenze diezcos z. (Usare l’espressione esponenziale del coseno).
9 Trovare il raggio di convergenza dif (z) = P∞
n=0z2n e mostrare che f `e la sola soluzione
dell’equazionef (z) = (1 + z2) f (z2) con la condizione f (√1
2) = 2.
10 Trovare la pi´u generale serie di potenze, coinvolgente due costanti complesse arbitrarie, la cui sommaf soddisfa f′′+ f = 0. Calcolare il raggio di convergenza R.
11 Sappiamo chef `e olomorfa in un intorno di 0 e soddisfa l’equazione differenziale zf′′(z) + f′(z) + zf (z) = 0. Trovare la serie di potenze di f con centro 0, provare che f si estende
olomorfa a tutto C dove continua a soddisfare la stessa equazione. 12 Mostrare che seP∞
n=0anznha raggio di convergenza positivo, alloraP∞
n=0 an
n!znha raggio di convergenza infinito.
13 Dire per quali valori reali dia `e definita una funzione f , olomorfa in un intorno dell’origine
ESERCIZI 103 14 Siaf olomorfa in un aperto A ⊂ C limitato e connesso, continua in A. Provare che, se D `e un disco chiuso contenente f (A), allora f (A)∩ ∂D ⊂ f(∂A). (Applicare il principio del
massimo af (z)− w0, dovew0 `e il centro del disco).
15 Diseguaglianza di Lindel¨of (Caso particolare). Siaf olomorfa nel disco D = {|z| < 1}
dove `e|f| < 2. Sia |f| < 1 sull’asse reale. Dimostrare che si ha |f(a)| < √4
8 per|a| < 1 1+√
2. Consiglio Si provi dapprima che i puntia per i quali `e|a| < 1+1√
2 sono centro di un quadrato
Q ⊂ D con un lato sull’asse reale. Si applichi poi il principio del massimo alla funzione g(z) = f (z)· f[a + eiπ/2(z− a)] · f[a − (z − a)] · f[a + e−iπ/2(z − a)] in Q. Si noti che `e g(a) = f (a)4.
Invece del quadrato si pu´o usare un generico poligono regolare e procedere in modo analogo. Cos´ı si ha la disuguaglianza di Lindel¨of generale.
16 Una funzionef (x) si chiama analitica reale in x0se in un intorno dix0essa `e uguale a una serie di potenzeP∞
n=0an(x− x0)n. Questa `e necessariamente la serie di Taylor dif in x0. Le
an saranno reali o complesse a seconda chef sia reale o complessa. Si intenda l’asse x come
asse reale del piano complesso. Dimostrare i seguenti fatti:
a) f `e analitica reale in x0 se e solo se essa `e la traccia sui reali di una funzione olomorfa in un disco di centrox0. (usare Cauchy Hadamard).
b) f `e analitica reale in ogni punto dell’intervallo I se e solo se essa `e la traccia di una funzione
olomorfa in un intorno diI in C (Usare il Teorema del prolungamento analitico).
c) Se laf di sopra `e periodica di periodo 2π anche la sua estensione olomorfa `e periodica dello
stesso periodo.
d) Se f `e analitica reale in tutto R e 2π-periodica, allora la funzione F sul cerchio |z| = 1
definita daF (eit) = f (t) si estende olomorfa a una corona circolare del tipo 1/c < |z| < c con c > 1. (usare b) e c)). Viceversa, se F `e olomorfa in un intorno di|z| = 1, allora f(t) = F (eit)
definisce una funzione analitica reale2π-periodica in R.
e) Siaf lipscitziana e 2π-periodica su R cosicch´e la sua serie di Fourier f (t) = a0
2 +P∞
1 (ancos nt+ bnsin nt) converge uniformemente ad f . I coefficienti sono
an = 1 π Z 2π 0 f (t) cos nt dt, per n≥ 0, bn= 1 π Z 2π 0 f (t) sin nt dt, per n≥ 1.
Osservando che la serie si pu´o scrivere nella formaP∞
−∞Aneint conA0 = a0, An = an−ibn
2 e
A−n= an+ibn
2 ,n > 0, dimostrare che f (t) lipscitziana e 2π-periodica in R `e analitica reale se e
solo se i suoi coefficienti di Fourier soddisfano la diseguaglianza asintotica
|an| ≤ cn, |bn| ≤ cn, conc < 1.
f) f ∈ C∞(R) `e analitica reale in tutto R se e solo se, per ogni compatto K ⊂ R, c’`e una
costante C tale che sia supK|f(k)| ≤ Ckk! il che equivale a supK|f(k)| ≤ C(Ck)k (perch´e
104 ESERCIZI
g) Data una f ∈ C∞(R), il raggio di convergenza della sua serie di Taylor in x `e r(x) = (lim(f(k)(x)/k!)1/k)−1. Esso pu´o essere positivo senza che f sia analitica reale in x, fare
un esempio. Tuttavia se r(x) > c > 0 per x in un intervallo, allora f `e analitica reale in
quell’intervallo, dimostrare. Risposte 8:P∞ 0 2n/2 cosnπ4 . 10:P∞ 0 (−1)n(a0 2n! + a1 (2n+1)!) zn,R = ∞. 11: f(z) =P∞ 0 (−1)n 22n(n!)2z2n `e olomorfa in
C perch´e il raggio di convergenza `e ∞, infine zf′′
+ f′
+ zf `e≡ 0 in tutto C perch´e `e ivi olomorfa e nulla in
un intorno di0 (prolungamento analitico). 13: Solo se a =−m con m = 0, 1, 2, . . . e in tal caso f(z) = zm. Infatti sea > 0, f (1
n) = na
→ ∞ per n → ∞, quindi f `e discontinua in 0. Perci´o deve essere a ≤ 0. Allora z−af (z)− 1 `e nulla su {1/n} e quindi (prolungamento analitico) f(z) = zapurch´e questa sia olomorfa vicino0. zaha discontinuit`aea2πisu R−
, perci´o occorrea 2πi = k 2πi, k∈ Z, cio`e a ∈ Z. 14: Poniamo g(z) = f(z)−w0
e siaR il raggio di D. D⊃ f(A) significa |g| < R in A. w ∈ f(A) ∩ ∂D vuol dire w = f(a) = g(a) + w0con
CHAPTER 9