A2+ B2 R√ R2+ B2)] (2.11) dove R =r+d(1+cos(φ)) 2 sin(φ) , A = R + (G + d)n cos(φ) e B = G+d 2π , con n pari al numero di spire. Per la parte superiore il calcolo è più semplice e si riduce a:
Ats∼= 2πdnrR2+ ( p 2π)
2 (2.12)
dove p è il passo tra le spire. Sommando i due contributi così ottenuti, ricaviamo un valore della superficie di scambio pari a 17,16 m2, che conferma il valore indicato da progetto.
Noto il calore medio ceduto dal vapore al fluido, ricavato dalla portata media di distillato, calcolati area di scambio e differenza media logaritmica di temperatura, ricaviamo un valore del coefficiente di scambio pari a U = 1102 W/m2◦C.
2.3.1 Calcolo del valore teorico del coefficiente di
scam-bio termico
Per il calcolo del coefficiente di scambio termico globale si utilizzano due gruppi adimensionali, il numero di Nusselt ed il numero di Prandtl (Perry (1999) [23]). Il numero di Nusselt esprime il rapporto tra il flusso di calore scambiato per convezione ed il flusso di calore scambiato per conduzione:
N u = hD
k (2.13)
dove h rappresenta il coefficiente di scambio termico convettivo, D la lun-ghezza caratteristica e k la conducibilità termica del fluido. Il numero di Prandtl esprime invece il rapporto tra la diffusività cinematica e la diffusività termica di un fluido viscoso:
P r =Cpµ
2.3. Valutazione del coefficiente di scambio termico 45
Dato che il vapore cede calore al reattore e si raffredda all’interno della serpentina, per il calcolo delle proprietà del fluido faremo riferimento ad una temperatura media del fluido termovettore (vapore in ingresso e condense in uscita):
Tbulk=Ts+ Tc
2 (2.15)
Condensazione
Quando il vapore viene a contatto con le pareti della serpentina che co-stituisce la camicia del reattore, condensa cedendo il proprio contenuto termico. In film liquido ritorna a parete genera una prima resistenza alla trasmissione del calore. Questa resistenza viene indicata con 1/hc, dove hc è il coefficiente di scambio termico dovuto al film liquido prodotto dalla condensazione del vapore. Numerose relazioni empiriche sono state proposte per il calcolo del coefficiente hc. Per flussi turbolenti con Re >10000 e 0,7<Pr<170 Boelter et al.[26] hanno proposto la seguente espressione per il calcolo del numero di Nusselt, nota come equazione di Dittus-Boelter:
N u = 0, 023Re0,8P rn (2.16)
dove n=0,3 se il fluido viene riscaldato, ovvero se la parete è più calda del flusso in ingresso ed n=0,4 nel caso opposto. In presenza di cambio di fase dovuta alla condensazione del vapore, utilizziamo la correlazione proposta da Boyko-Kruzhilin [23] che fornisce una stima del coefficiente medio tra il vapore in ingresso, con titolo pari a Xi e quello in uscita, con titolo Xo:
N u = hcdi
k = 0, 024Re
0,8P r0,43p(ρ/ρm)i+p(ρ/ρm)o
2 (2.17)
dove k rappresenta la capacità termica della condensa, anche in questo caso valutata alla temperatura Tbulk e di il diametro interno della serpentina, calcolato come diametro equivalente, data la sezione semicircolare dei tubi del vapore:
di= 4A/b (2.18)
I termini (ρ/ρm)ie (ρ/ρm)osono definiti, in funzione della densità del vapore ρv e della condensa ρc, come:
ρ ρm i = 1 + ρl− ρv ρv Xi (2.19) ρ ρm o = 1 + ρl− ρv ρv Xo (2.20)
Nell’equazione 2.18, A indica la sezione del tubo del vapore e b il perimetro bagnato. Come si può vedere, il coefficiente di scambio dipende anche
dal numero di Reynolds, calcolato come Reynolds equivalente 2.22, con riferimento ad una portata massica data da:
˙
me= ˙m[(1 − X) + X(ρρc s
)0,5] (2.21)
La portata così calcolata tiene conto infatti del titolo X del vapore in ingresso, nel nostro caso ipotizzato pari ad uno, e del rapporto tra la densità della condensa e quella del vapore stesso. Fatte queste considerazioni calcoliamo il numero di Reynolds equivalente come:
Ree= 4 ˙me πdiµc
(2.22) con µc viscosità dinamica della condensa. Il valore ottenuto è di hc=1621 W/m2◦C, dato in linea con i valori trovati in letteratura per questo fenomeno (Coulson & Richardson (1999)[25]).
Conduzione
Per la trasmissione del calore attraverso le pareti del reattore, l’equazione di riferimento per il calcolo del coefficiente di scambio è la seguente:
hw= kw
s (2.23)
dove kwindica la conducibilità termica specifica del materiale mentre s è lo spessore del reattore. Dato che lo spessore varia tra il fondo e la superficie laterale, s è stato calcolato come media pesata tra i due diversi spessori. Il peso è dato dalla percentuale di superficie di scambio di riferimento, così come calcolata al paragrafo precedente.
s = st%At+ sb%Ab
100 [m] (2.24)
Otteniamo in questo caso un valore del coefficiente di scambio pari a hw=2871 W/m2 ◦C, anche questo in linea con i valori di letteratura.
Convezione parete interna reattore agitato
Più complicato è il calcolo del coefficiente di scambio per convezione al-l’interno del reattore hl. L’equazione di riferimento è anche in questo caso funzione del numero di Reynolds, del numero di Prandtl e della geometria del reattore, oltre che delle caratteristiche geometriche del sistema. Chilton et al.[27], conducendo vari esperimenti su un reattore cilindrico di diametro
pari a dv=0,3 m hanno proposto la seguente relazione empirica: hldv
k ( µs
µ)
2.3. Valutazione del coefficiente di scambio termico 47
Il termine (µs
µ)0,14 tiene conto della differente viscosità del liquido tra le zone vicine alle pareti ed il centro del reattore. La capacità termica del liquido presente nel reattore (k) non è nota e per ipotesi è stata assimilata a quella dell’acqua, così come la viscosità dinamica (considerata omogenea) ed il calore specifico. Per quanto riguarda il numero di Reynolds, dato il diametro dv del reattore, il numero di giri al minuto dell’agitatore N e le caratteristiche del liquido all’interno (densità ρle viscosità µl), abbiamo:
Rel= N D 2ρl
µl (2.26)
dove D è il diametro dell’impeller. Allo stesso modo calcoliamo il numero di Prandtl:
P rl=Cp,lµl kl
(2.27) Dal calcolo del coefficiente di scambio termico convettivo otteniamo un valore di hl pari a 1967 [W/m2◦C], anche questo il linea con i valori di letteratura. Come possiamo notare, il coefficiente di scambio termico convettivo all’inter-no del reattore è il miall’inter-nore dei tre e determina quindi la resistenza controllante nel passaggio di calore tra il vapore e il liquido nel reattore. Combinando in serie le tre resistenze otteniamo il coefficiente di scambio termico globale il cui valore è pari a 1091 [W/m2◦C]. Questo valore corrisponde con uno scarto di circa l’1% al valore misurato empiricamente a partire dal dato di calore scambiato e verrà pertanto assunto come riferimento nel seguito della trattazione.