In questo capitolo dimostriamo la formula di Itˆo, il cuore del calcolo stocastico, e ne discutiamo alcune applicazioni. Per tutto il capitolo, supporremo di avere fissato uno spazio filtrato standard (Ω, F , {Ft}t≥0, P), su cui `e definito un {Ft}t≥0-moto browniano reale (o vettoriale, quando specificato).
1. Formula di Itˆo per il moto browniano
Sia s 7→ bs una funzione reale definita su [0, t] di classe C1, cio`e che ammette derivata prima b0 continua. In particolare, b ha variazione finita e la corrispondente misura `e dbs= b0sds, cio`e per ogni ϕ : [0, t] → R misurabile e limitata si ha
Z t 0 ϕ(s) dbs = Z t 0 ϕ(s) b0sds .
Un caso particolare in cui questo integrale si calcola esplicitamente si ha quando l’integrando `e della forma ϕ(s) = Φ0(bs), con Φ : R → R funzione di classe C1. Infatti, grazie alla formula di derivazione delle funzioni composte (nota come chain rule nella letteratura anglofona) si ha Φ0(bs) b0s = dsdΦ(bs) e applicando il teorema fondamentale del calcolo si ottiene
Z t
0
Φ0(bs) dbs = Φ(bt) − Φ(b0) . In particolare, scegliendo Φ(x) = x2 si ottiene 2R0tbsdbs = b2
t.
Ci si pu`o chiedere se valga un’analoga formula per l’integrale stocastico. Con-sideriamo il caso semplice dell’integrale 2Rt
0 BsdBs. Secondo le regole dell’integrale ordinario dovrebbe dare B2
t, ma questo non `e possibile: infatti sappiamo che il pro-cesso {R0tBsdBs}t≥0 `e una martingala (nulla al tempo zero), poich´e B ∈ M2, quindi si deve avere E(2R0tBsdBs) = 0, mentre invece E(B2
t) = t. Per calcolare l’integra-le, sia π = {0 = t0 < t1 < . . . < tk = t} una partizione di [0, t]. Osservando che x2− y2 = 2y(x − y) + (x − y)2, scriviamo Bt2 = k−1 X i=0 Bt2 i+1− B2 ti = 2 k−1 X i=0 Bti(Bti+1− Bti) + k−1 X i=0 (Bti+1− Bti)2.
Se ora prendiamo una successione di partizioni π(n) di passo tendente a zero, il secondo termine converge in L2(quindi in probabilit`a) verso t mentre il primo termine
converge in probabilit`a verso l’integrale stocastico 2R0tBsdBs, perch´e B ha traiettorie continue. Otteniamo dunque la formula
2 Z t
0
BsdBs = Bt2 − t ,
che contiene un termine extra rispetto all’integrale ordinario. Si noti che il valore atteso del membro destro di questa relazione `e correttamente nullo.
Il caso di un integraleR0tΦ0(Bs) dBsgenerale, per Φ di classe C2(cio`e che ammette derivate prima e seconda continue), porta alla celebre formula di Itˆo.
Teorema 6.1 (Formula di Itˆo). Se Φ : R → R `e di classe C2, si ha q.c. Φ(Bt) − Φ(B0) = Z t 0 Φ0(Bs) dBs + 1 2 Z t 0 Φ00(Bs) ds , ∀t ≥ 0 . (6.1) Prima di procedere alla dimostrazione, si noti che l’integrale stocastico in (6.1) `e ben posto, perch´e il processo {Φ0(Bs)}s≥0 `e in M2
loc. Sia infatti t ≥ 0: per q.o. ω ∈ Ω la funzione [0, t] 3 s 7→ Φ0(Bs(ω)) `e continua (in quanto composizione di funzioni continue), dunque limitata, e di conseguenza R0tΦ0(Bs(ω))2ds < ∞.
Dimostrazione del Teorema 6.1. Cominciamo a considerare il caso in cui Φ00 `e limitata: C := supx∈R|Φ00(x)| < ∞. Sia π = {0 = t0 < t1 < . . . < tk = t} una partizione di [0, t]. Lo sviluppo di Taylor al secondo ordine con resto di Lagrange d`a Φ(y) − Φ(x) = Φ0(x)(y − x) +12Φ00(z)(y − x)2, per un opportuno z ∈ [x, y] (se x ≤ y, altrimenti x ∈ [y, x]), per cui possiamo scrivere
Φ(Bt) − Φ(B0) = k−1 X i=0 (Φ(Bti+1) − Φ(Bti)) = k−1 X i=0 Φ0(Bti)(Bti+1 − Bti) + 1 2 k−1 X i=0 Φ00(Bsi)(Bti+1− Bti)2, (6.2) dove si ∈ [ti, ti+1] (`e stata usata la continuit`a delle traiettorie del moto browniano). Sia ora π = π(n) = {0 = t(n)0 < t(n)1 < . . . < t(n)k
n = t} una successione di partizioni con passo tendente a zero. Dato che il processo {Φ0(Bs)}s≥0 `e q.c. continuo, il pri-mo termine in (6.2) converge in probabilit`a† per n → ∞ verso R0tΦ0(Bs) dBs, grazie all’approssimazione di Riemann dell’integrale stocastico in M2loc. Esiste quindi una sottosuccessione di partizioni lungo cui la convergenza `e q.c., e supporremo per sem-plicit`a di notazione che {π(n)}n∈N stessa sia una tale sottosuccessione. Mostreremo ora che per il secondo termine Xn := Pkn−1
i=0 Φ00(Bsi)(Bti+1 − Bti)2 si pu`o trovare una sottosuccessione lungo cui si ha convergenza q.c. verso R0tΦ00(s) ds. Prendendo il limite n → ∞ in (6.2) lungo questa sottosuccessione, segue dunque che, per ogni t > 0 fissato, la formula (6.1) vale q.c..
†Si pu`o mostrare che la convergenza ha luogo anche in L2, per l’isometria dell’integrale stocastico in M2[0, t] (si usa il fatto che Φ00`e limitata, da cui segue che |Φ0(x)| ≤ a + b|x|, con a, b ∈ (0, ∞)).
Concentriamoci quindi su Xn := Pkn−1
i=0 Φ00(Bsi)(Bti+1 − Bti)2 (si noti che la dipendenza da n `e anche nei punti ti = t(n)i e si = s(n)i ). Introducendo il primo approssimante Yn:=Pkn−1
i=0 Φ00(Bti)(Bti+1 − Bti)2, possiamo scrivere |Xn− Yn| ≤ kn−1 X i=0 |Φ00(Bti) − Φ00(Bsi)| (Bti+1− Bti)2 ≤ sup r,s∈[0,t], |r−s|≤|π(n)| |Φ00(Br) − Φ00(Bs)| kn−1 X i=0 (Bti+1 − Bti)2. (6.3) Dato che q.c. la funzione s 7→ Φ00(Bs) `e continua, essa `e uniformemente continua su [0, t], dunque il sup in (6.3) tende a zero q.c. per n → ∞. Per quanto riguarda la somma, sappiamo che essa converge in L2 verso t, quindi esiste una sottosuccessione tale che la convergenza `e q.c.. In definitiva, abbiamo mostrato che esiste una sotto-successione di partizioni lungo cui |Xn− Yn| → 0 q.c., e supporremo per semplicit`a di notazione che {π(n)}n∈N stessa sia una tale sottosuccessione.
Introduciamo quindi il secondo approssimante Zn := Pkn−1
i=0 Φ00(Bti)(ti+1 − ti). Definendo ∆i := (Bti+1− Bti)2− (ti+1− ti) possiamo scrivere
(Yn− Zn)2 = kn−1 X i=0 Φ00(Bti) ∆i !2 = kn−1 X i=0 kn−1 X j=0 Φ00(Bti) Φ00(Btj) ∆i∆j. Per i < j si ha E(Φ00(Bti) Φ00(Btj) ∆i∆j) = E(Φ00(Bti) Φ00(Btj) ∆iE(∆j|Ftj)) = 0, perch´e (Φ00(Bti) Φ00(Btj) ∆i) `e Ftj-misurabile, mentre ∆j `e indipendente da Ftj e ha media nulla. Un analogo discorso vale per i > j. Dato che |Φ00(x)| ≤ C < ∞, si ha dunque E[(Yn− Zn)2] = kn−1 X i=0 Φ00(Bti)2E(∆2i) ≤ C2 kn−1 X i=0 E(∆2i) .
Per l’invarianza di scala E[((Bt− Bs)2− (t − s))2] = c (t − s)2, dove abbiamo posto c := E[(Z2− 1)2] ∈ (0, ∞) con Z ∼ N (0, 1), per cui
E[(Yn− Zn)2] ≤ C2c kn−1 X i=0 (ti+1− ti)2 ≤ C2c |π(n)| kn−1 X i=0 (ti+1− ti) = C2c t |π(n)| . Questo mostra che |Yn− Zn| → 0 in L2, quindi esiste dunque una sottosuccessione di partizioni lungo cui |Yn− Zn| → 0 q.c. per n → ∞ e supporremo per semplicit`a di notazione che la stessa {π(n)}n∈N sia una tale sottosuccessione.
Infine, ponendo A := R0tΦ00(Bs) ds, `e chiaro che |Zn− A| → 0 q.c. per n → ∞. Infatti q.c. la funzione s 7→ Φ00(Bs) `e continua su [0, t] e di conseguenza le somme di Riemann convergono verso il corrispondente integrale. In definitiva, abbiamo di-mostrato che esiste una sottosuccessione di partizioni lungo cui Xn → A q.c.: infatti per la disuguaglianza triangolare
|Xn− A| ≤ |Xn− Yn| + |Yn− Zn| + |Zn− A| −→ 0 q.c. per n → ∞ , che `e quanto avevamo affermato.
Abbiamo quindi dimostrato che, quando Φ00`e limitata, per ogni t ≥ 0 fissato la relazione (6.1) vale q.c.. Il caso in cui Φ00 non `e limitata si ottiene per approssimazione. Sia infatti {Φn}n∈N una successione di funzioni di classe C2, con Φ00
n limitata, tali che per n → ∞ si abbia la convergenza di Φn, Φ0
n e Φ00
n verso rispettivamente Φ, Φ0, Φ00, uniformemente su ogni compatto†: per ogni L > 0 e ε > 0 esiste dunque n0= n0(ε, L) < ∞ tale che per ogni n ≥ n0 e x ∈ [−L, L]
|Φn(x) − Φ(x)| ≤ ε , |Φ0
n(x) − Φ0(x)| ≤ ε , |Φ00
n(x) − Φ00(x)| ≤ ε . (6.4) Per ogni t ≥ 0 fissato, la relazione (6.1) con Φ sostituito da Φn vale q.c., per ogni n ∈ N. Ora mostriamo che esiste una sottosuccessione lungo cui ciascun termine in (6.1) contenente Φnconverge q.c. verso lo stesso termine contenente Φ: da ci`o segue che per ogni t ≥ 0 fissato la relazione (6.1) vale q.c., senza vincoli su Φ00.
Per il membro di sinistra non ci sono problemi: sappiamo che Φn(x) → Φ(x) per ogni x ∈ R e ponendo x = Bt(ω) si ha la convergenza q.c.. Anche il secondo termine nel membro destra di (6.1) `e facile: per q.o. ω ∈ Ω la funzione s 7→ Bs(ω) `e continua, quindi limitata su [0, t]. Esiste dunque L = L(ω) tale che Bs(ω) ∈ [−L, L] per ogni s ∈ [0, t], quindi grazie a (6.4) per n ≥ n0
si ha Rt 0|Φ00
n(Bs(ω)) − Φ00(Bs(ω))| ds ≤ ε t. Questo mostra che Rt 0|Φ00
n(Bs(ω)) − Φ00(Bs(ω))| ds → 0 per n → ∞. Resta infine il primo termine nel membro destra di (6.1): con analoghi argomenti, `e immediato vedere che per q.o. ω ∈ Ω si ha Rt
0|Φ0
n(Bs(ω)) − Φ0(Bs(ω))|2ds → 0 per n → ∞, quindi Rt
0Φ0
n(Bs) dBsconverge verso Rt
0Φ0(Bs) dBsin probabilit`a, per le propriet`a dell’integrale stocastico in M2
loc, e dunque si ha la convergenza q.c. per una sottosuccessione.
Abbiamo dunque mostrato che, per ogni t ≥ 0 fissato, la relazione (6.1) vale q.c.. Di conseguenza, q.c. la relazione vale per ogni t ∈ Q∩[0, ∞), e usando la continui`a in t di entrambi i membri di (6.1) segue che q.c. la relazione vale per ogni t ∈ [0, ∞). La formula di Itˆo costituisce la versione stocastica del teorema fondamentale del calcolo (e anche della chain rule, si veda l’Osservazione 6.2). In effetti, essa permette di “calcolare” (o meglio di esprimere in forma pi`u semplice) una classe particolare di integrali stocastici: dato che B0 = 0, possiamo infatti riscrivere (6.1) come
Z t 0 Φ0(Bs) dBs = Φ(Bt) − Φ(0) − 1 2 Z t 0 Φ00(Bs) ds , (6.5) e si noti che il secondo termine nel membro di destra `e un integrale ordinario‡, rispetto alla misura di Lebesgue.
†`E facile costruire una tale successione, “tagliando” i valori di Φ00(x) pi`u grandi di n o pi`u piccoli di −n. Pi`u precisamente, poniamo gn(x) := (Φ00(x) ∧ n) ∨ (−n) e definiamo
Φ00 n(x) := gn(x) , Φ0 n(x) := Φ0(0) +Z x 0 Φ00 n(y) dy , Φn(x) := Φ(0) +Z x 0 Φ0 n(y) dy , dove Rx 0 . . . := −R0
x. . . per x < 0. Queste definizioni sono consistenti, cio`e Φ0 n e Φ00
n sono effetti-vamente le derivate prima e seconda di Φn. Dato che Φ00 `e una funzione continua, `e limitata su ogni compatto: per ogni L > 0 esiste n0 tale che maxx∈[−L,L]|Φ00(x)| ≤ n0, da cui segue che per ogni n ≥ n0 si ha gn(x) ≡ Φ00(x) per ogni x ∈ [−L, L], per definizione di gn. Di conseguenza anche Φn(x) ≡ Φ(x) per ogni x ∈ [−L, L]: quindi su ogni compatto non solo Φn converge uniformemente a Φ, ma addirittura coincide con Φ per n grande (e analogamente per Φ0
n e Φ00 n).
‡Si noti che il membro destro in (6.5) `e ben definito (e continuo in t) come integrale ordinario, per ogni ω ∈ Ω per cui la funzione s 7→ Bs(ω) `e continua (o anche solo misurabile). Abbiamo dunque un insieme di ω “universale” su cui sono definiti canonicamente gli integrali stocastici della forma Rt
0f (Bs) dBs, per ogni funzione f di classe C1 e per ogni t ≥ 0 (basta porre Φ(x) := Rx
Osservazione 6.2. La formula di Itˆo (6.1) si scrive spesso in forma differenziale: dΦ(Bt) = Φ0(Bt) dBt + 1
2Φ
00
(Bt) dt . (6.6)
Sottolineiamo che si tratta solo di una notazione compatta, il cui significato `e preci-samente la formula di Itˆo (6.1). Questa relazione pu`o essere vista come la chain rule (regola di derivazione di funzioni composte) per l’integrale stocastico.
2. Processi di Itˆo e applicazioni 2.1. Processi di Itˆo. Cominciamo con una definizione.
Definizione 6.3. Un processo reale X = {Xt}t≥0 `e detto a variazione finita se per q.o. ω ∈ Ω la funzione t 7→ Xt(ω) `e a variazione finita su [0, T ], per ogni T ≥ 0. Ricordiamo che se g : [0, ∞) → R in L1loc, cio`e `e tale che R0T |g(s)| ds < ∞ per ogni T ≥ 0, la funzione f (t) := R0tg(s) ds `e a variazione finita su ogni intervallo [0, T ]. Introduciamo lo spazio M1
loc dei processi reali Z = {Zs}s≥0 progressivamente misurabili tali che per ogni T ≥ 0 si abbia R0T |Zs(ω)| ds < ∞, per q.o. ω ∈ Ω. Allora `
e immediato verificare che, per ogni Z ∈ M1
loc, il processo X = {Xt}t≥0 definito da Xt:=R0tZsds `e a variazione finita.
Ricordiamo che l’integrale stocastico It=Rt
0XsdBs `e una martingala locale, per ogni X ∈ M2
loc(`e una vera martingala di quadrato integrabile se X ∈ M2). Abbiamo osservato (senza dimostrarlo) che una martingala ha le traiettorie q.c. di variazione infinita, e lo stesso vale per le martingale locali. Quindi il processo I = {It}t≥0 non `
e mai un processo a variazione finita.
Alla luce di queste osservazioni, possiamo notare una conseguenza importante del-la formudel-la di Itˆo: per ogni Φ : R → R di classe C2, il processo {Φ(Bt)}t≥0`e la somma di una martingala locale e di un processo a variazione finita, dati rispettivamente da {Rt
0 Φ0(Bs) dBs}t≥0 e {R0tΦ00(Bs) ds}t≥0. Questo motiva la prossima definizione. Definizione 6.4. Un processo stocastico reale continuo X = {Xt}t≥0 `e detto processo di Itˆo se esistono ϕ = {ϕt}t≥0∈ M2
loc e ψ = {ψt}t≥0 ∈ M1
loc tali che Xt − X0 = Z t 0 ϕsdBs + Z t 0 ψsds . (6.7)
Indicheremo questo fatto con la notazione differenziale dXt= ϕtdBt+ ψtdt.
La relazione (6.7), o equivalentemente la notazione differenziale dXt = ϕtdBt+ ψtdt, sar`a talvolta detta decomposizione di Itˆo. Sottolineiamo che la scrittura di un processo di Itˆo nella forma (6.7) `e unica, cio`e i processi ϕ e ψ (o meglio le loro classi di equivalenza in M2
loc e M1
loc) sono univocamente determinati da X. Sebbene non dimostreremo questo fatto, la ragione `e che il primo termine nel membro destro di (6.7) `e una martingala locale, mentre il secondo termine `e un processo a variazione finita, per cui le rispettive traiettorie hanno propriet`a radicalmente differenti.
Si noti che nella Definizione 6.4 richiediamo che X sia un processo continuo. Questa non `e una restrizione: infatti se X deve soddisfare la relazione (6.7), esso ammette una versione continua, per le propriet`a viste dell’integrale stocastico.
Nel caso in cui ψ ≡ 0, si ha dXt = ϕtdBt, e dunque X `e una martingala locale: questa osservazione sar`a molto utile nel seguito†.
Come abbiamo gi`a osservato, un esempio importante di processo di Itˆo `e dato da {Φ(Bt)}t≥0, qualunque sia Φ : R → R di classe C2.
2.2. Formula di Itˆo generale. Se X `e un processo di Itˆo, dXs = ϕsdBs + ψsds, possiamo definire l’integrale stocastico rispetto a X ponendo
Z t 0 YsdXs := Z t 0 YsϕsdBs + Z t 0 Ysψsds , (6.8) per ogni processo Y = {Ys}s≥0per cui ci`o abbia senso, cio`e tale che {Ysϕs}s≥0 ∈ M2
loc
e {Ysψs}s≥0 ∈ M1
loc (per esempio, non ci sono problemi se Y `e progressivamente misurabile e limitato).
Definiamo inoltre il processo crescente associato a X ponendo hXit :=Rt 0ϕ2
sds, cio`e prendiamo il processo crescente associato alla martingala locale che compare nella sua decomposizione di Itˆo. Il processo hXit `e anche detto variazione quadra-tica di X: si pu`o infatti dimostrare che hXit `e il limite in probabilit`a della somma Pk−1
i=0(Xti+1 − Xti)2 lungo una partizione π = {0 = t0 < t1 < . . . < tk = t} di [0, t], quando il passo della partizione tende verso zero. Essendo crescente, hXit `e a variazione finita e la misura di Steltjes associata `e dhXit= ϕ2
tdt. Definiamo quindi Z t 0 YsdhXis := Z t 0 Ysϕ2sds ,
per ogni processo Y per cui ci`o abbia senso, cio`e tale che {Ysϕ2
s}s≥0 ∈ M1 loc (per esempio, per Y progressivamente misurabile e limitato). Si noti che se X `e il moto browniano, si ha dhXit= dt.
Vale la seguente generalizzazione della formula di Itˆo (che non dimostriamo). Teorema 6.5 (Formula di Itˆo generalizzata). Se X = {Xt}t≥0 `e un processo di Itˆo, con dXt= ϕtdBt+ ψtdt, e Φ : R → R `e di classe C2, si ha q.c. per ogni t ≥ 0
Φ(Xt) − Φ(X0) = Z t 0 Φ0(Xs) dXs + 1 2 Z t 0 Φ00(Xs) dhXis = Z t 0 Φ0(Xs) ϕsdBs+ Z t 0 Φ0(Xs) ψs + 1 2Φ 00 (Xs) ϕ2s ds . (6.9)
†Vale anche il viceversa: un processo di Itˆo X con dXt= ϕtdBt+ ψtdt `e una martingala locale rispetto alla filtrazione {Ft}t≥0fissata sullo spazio soltanto se ψt≡0. L’enfasi sulla filtrazione `e di fondamentale importanza! Si pu`o infatti verificare facilmente che il processo Yt := Bt−Rt
0 Bs
s ds, che ha differenziale stocastico dYt= dBt−Bt
t dt e dunque ψt6≡0, `e un moto browniano, quindi una martingala rispetto alla filtrazione {Gt= σ({Ys}s≤t)}t≥0 generata dal processoY stesso. Il punto `e che il moto browniano originale B non `e un {Gt}t≥0-moto browniano.
In notazione differenziale: dΦ(Xt) = Φ0(Xt) dXt + 1 2Φ 00 (Xt) dhXit = Φ0(Xt) ϕtdBt + Φ0(Xt) ψt + 1 2Φ 00 (Xt) ϕ2t dt . (6.10)
Una conseguenza interessante di questa formula di Itˆo generalizzata `e che se X = {Xt}t≥0 `e un processo di Itˆo, anche Φ(X) := {Φ(Xt)}t≥0 lo `e, come mostra chiaramente la seconda linea in (6.9) (o in (6.10)).
Esempio 6.6 (Moto browniano geometrico). Determiniamo il processo di Itˆo X = {Xt}t≥0 che risolve la seguente equazione differenziale stocastica:
(
dXt = b Xtdt + σ XtdBt
X0 = x , (6.11)
dove b ∈ R, σ > 0 e x > 0. Procediamo euristicamente per “indovinare” la soluzione: se assumiamo che Xt6= 0 per ogni t, possiamo dividere per Xt, ottenendo
dXt
Xt = b dt + σ dBt. (6.12)
Il membro di sinistra fa pensare al differenziale di log Xt. In effetti, se assumiamo che Xt > 0 per ogni t, dalla formula di Itˆo si ha† d(log Xt) = 1
Xt dXt − 1 2 1 X2 t dhXit. Dall’equazione (6.11) `e chiaro che dhXit = σ2X2
t dt, per cui da (6.12) si ottiene d(log Xt) = b − 1 2σ 2 dt + σ dBt,
e integrando da 0 a t si ha log Xt− log X0 = (b −12σ2) t + σ Bt, ovvero Xt = x exp b − 1 2σ 2 t + σBt . (6.13)
Questo processo `e noto come moto browniano geometrico.
Questa derivazione mostra che, se esiste un processo positivo soluzione dell’equa-zione (6.11), esso necessariamente un moto browniano geometrico. Mostriamo ora che effettivamente il processo X definito da (6.13) risolve l’equazione (6.11). Chia-ramente X0 = x, inoltre scrivendo Xt = x eYt, dove dYt = (b − 12σ2) dt + 12σ dBt, possiamo applicare la formula di Itˆo (6.10), ottenendo
dXt = d(x eYt) = x eYtdYt + 1 2x e YtdhY it = Xt b − 1 2σ 2 dt + 1 2σ dBt + 1 2Xtσ 2dt = b Xtdt + σ XtdBt,
†A priori l’applicazione della formula di Itˆo non `e giustificata, perch´e il logaritmo non `e definito su tutto R. Tuttavia, se Xt> 0 per ogni t, `e possibile mostrare che la formula di Itˆo `e effettivamente valida, usando opportuni tempi d’arresto (nello spirito della dimostrazione del Lemma 6.10). In ogni caso, questa derivazione serve soltanto a “indovinare” la soluzione (6.13) dell’equazione differenziale stocastica (6.11), che verifichiamo poi essere effettivamente soluzione.
cio`e l’equazione (6.11) `e verificata. Mostreremo nel prossimo capitolo che non esistono altre soluzioni dell’equazione (6.11).
Esempio 6.7 (Supermartingala esponenziale). Sia ϕ = {ϕt}t∈[0,T ] ∈ M2
loc[0, T ] e poniamo Zt := exp Z t 0 ϕsdBs − 1 2 Z t 0 ϕ2sds . (6.14)
Allora Z = {Zt}t∈[0,T ] `e una martingala locale. Infatti possiamo scrivere Zt = exp(Xt) , dove dXt := ϕtdBt − 1
2ϕ
2 tdt , e applicando la formula di Itˆo (6.10) si ricava
dZt = eXtdXt + 1 2e XtdhXit = eXt ϕtdBt − 1 2ϕ 2 tdt + 1 2e Xtϕ2tdt , quindi i termini a variazione finita si cancellano e si ottiene
dZt = ZtϕtdBt. (6.15)
Questa `e l’equazione differenziale stocastica soddisfatta da Z, che risulta dunque una martingala locale. Dato che Zt > 0, segue che Z `e una supermartingala, detta supermartingala esponenziale. In particolare E(Zt) ≤ E(Z0) = 1, per ogni t ≥ 0.
`
E di fondamentale importanza dare condizioni che garantiscano che la supermar-tingala esponenziale Z = {Zt}t∈[0,T ] dell’Esempio 6.7 sia una vera martingala, come vedremo a proposito del Teorema di Girsanov.
Una condizione necessaria e sufficiente, bench´e implicita, `e che E(ZT) = 1 (che implica E(Zt) = 1 per ogni t ∈ [0, T ]: infatti 1 = E(Z0) ≥ E(Zt) ≥ E(ZT) per la pro-priet`a di supermartingala). Questo segue dal fatto generale che una supermartingala costante in media `e una martingala. Infatti per la propriet`a di supermartingala vale che Zs− E(Zt|Fs) ≥ 0 e se Z `e costante in media si ha E[Zs− E(Zt|Fs)] = E(Zs) − E(Zt) = 0, per cui la variabile Zs− E(Zt|Fs) deve essere q.c. nulla: Zs = E(Zt|Fs) q.c. e dunque Z `e una martingala. Due condizioni pi`u concrete sono descritte nella seguente proposizione, che non dimostreremo.
Proposizione 6.8. Sia Z la supermartingala esponenziale definita in (6.14). • Se E[exp(1
2
RT 0 ϕ2
sds)] < ∞, allora E(ZT) = 1 ( criterio di Novikov). • Se esiste a > 0 tale che E[exp(aϕ2
s)] < ∞, ∀s ∈ [0, T ], allora E(ZT) = 1.
3. Integrale e formula di Itˆo in Rd
Per quanto non ci siano novit`a sostanziali, `e molto importante per le applicazioni estendere la teoria dell’integrazione stocastica al caso di processi vettoriali. Suppor-remo dunque in questa sezione che (Ω, F , {Ft}t≥0, P) sia uno spazio filtrato standard, su cui `e definito un {Ft}t≥0-moto browniano B = {Bt = (B(1)t , . . . , Bt(d))}t≥0 a valori in Rd.
Definiamo M2loc(n × d) come lo spazio dei processi ϕs = {(ϕs)ij}1≤i≤n, 1≤j≤d a valori nelle matrici n × d, tali che {(ϕs)ij}s≥0 sia in M2loc per ogni 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ d. In modo analogo si definisce lo spazio M2(n × d). Se ϕ ∈ M2loc(n × d), `e possibile definire l’integrale stocastico It = R0tϕsdBs come processo a valori in Rn, nel modo seguente: It= (It(1), . . . , It(n)) dove
It(i) := Z t 0 d X j=1 (ϕs)ijdB(j)s .
In altre parole, il termine ϕsdBs va interpretato come la matrice n × d-dimensionale ϕs applicata al vettore d-dimensionale dBs. In analogia col caso unidimensionale, se ϕ ∈ M2(n × d) il processo {It}t≥0 `e una martingala continua (a valori in Rn) di quadrato integrabile, mentre se ϕ ∈ M2
loc(n × d) `e solo una martingala locale continua.
Un processo n-dimensionale X = {Xt}t≥0 `e detto processo di Itˆo se esistono ϕ ∈ M2
loc(n × d) e ψ ∈ M1
loc(n × 1) tali che Xt − X0 = Z t 0 ϕsdBs + Z t 0 ψtds , cio`e dXt = ϕtdBt + ψtdt , in perfetta analogia col caso unidimensionale. In particolare, definiamo l’integrale rispetto a X: se Y `e un processo a valori nelle matrici m × n tale che
{Ysϕs}s≥0 ∈ M2
loc(m × d) , {Ysψs}s≥0 ∈ M1
loc(m × 1) ,
(per esempio se ogni componente di Y `e un processo progressivamente misurabile e limitato), definiamo It = Z t 0 YsdXs := Z t 0 YsϕsdBs + Z t 0 Ysψsds . (6.16) Abbiamo quindi la versione multidimensionale della formula di Itˆo, in cui permet-tiamo anche una dipendenza dal tempo. Una funzione Φ : R+× Rn → R `e detta di classe C1,2 se esistono continue le derivate parziali ∂Φ∂t e ∂x∂2Φ
i∂xj, per ogni 1 ≤ i, j ≤ n. Teorema 6.9 (Formula di Itˆo multidimensionale). Sia X = {Xt}t≥0 un processo di Itˆo n-dimensionale: dXt = ϕtdBt+ ψtdt, con ϕ ∈ M2
loc(n × d) e ψ ∈ M1
loc(n × 1). Se Φ = Φ(t, x) : R+× Rn → R `e una funzione di classe C1,2, si ha q.c. per ogni t ≥ 0
Φ(t, Xt) − Φ(0, X0) = Z t 0 ˙ Φ(s, Xs) ds + Z t 0 Φ0(s, Xs) dXs + 1 2 Z t 0 Tr(Φ00(s, Xs) ϕ ϕ∗) ds , (6.17)
dove abbiamo posto ˙Φ(t, x) := ∂Φ∂t(t, x) e Φ0(t, x) := ∂Φ ∂xi(t, x) 1≤i≤n , Φ00(t, x) := ∂2Φ ∂xi∂xj(t, x) 1≤i,j≤n .
In notazione differenziale:
dΦ(t, Xt) = ˙Φ(t, Xt) dt + Φ0(t, Xt) dXt + 1 2Tr(Φ
00
(t, Xt) ϕ ϕ∗) dt . (6.18) Scriviamo per chiarezza lo sviluppo dell’equazione (6.17):
Φ(t, Xt) − Φ(0, X0) = Z t 0 ∂Φ ∂t(s, Xs) ds + Z t 0 n X i=1 ∂Φ ∂xi(s, Xs) dX (i) s + 1 2 Z t 0 X 1≤i,j≤n ∂2Φ ∂xi∂xj(s, Xs) d X k=1 (ϕs)ik(ϕs)kjds .
La formula di Itˆo multidimensionale (6.17) `e un po’ involuta, ma si semplifica se il processo X `e il moto browniano: infatti in questo caso (ϕt)ij = δij `e la matrice identica e ψs ≡ 0, per cui si ottiene
Φ(t, Bt) − Φ(0, B0) = Z t 0 ∇Φ(s, Bs) dBs + Z t 0 ˙ Φ(s, Bs) + 1 2∆Φ(s, Bs) ds , (6.19) dove abbiamo indicato con ∇Φ := Φ0 = (∂x∂Φ
i)1≤i≤n il gradiente di Φ rispetto a x, mentre ∆Φ := Tr(Φ00) =Pn
i=1 ∂2Φ
∂x2 i
ne indica il laplaciano. In notazione differenziale: dΦ(t, Bt) = ∇Φ(t, Bt) dBt + ˙ Φ(t, Bt) + 1 2∆Φ(t, Bt) dt . (6.20) Queste formule sono alla base di alcune fondamentali applicazioni del moto browniano alle funzioni armoniche e al problema di Dirichlet, che discutiamo nella prossima sezione.
Supponiamo ora che B = {Bt}t≥0sia un moto browniano reale e che X = {Xt}t≥0, Y = {Yt}t≥0 siano due processi di Itˆo reali, con differenziali stocastici
dXt = ϕXt dBt + ψtXdt , dYt = ϕYt dBt + ψYt dt .
Una semplice applicazione della formula di Itˆo (6.18) al processo bidimensiona-le (Xt, Yt) con la funzione Φ(x, y) := xy mostra che vale la seguente formula di integrazione per parti stocastica:
d(XtYt) = XtdYt + YtdXt + ϕXt ϕYt dt . (6.21) In particolare, il processo {XtYt}t≥0`e un processo di Itˆo.
Dato un processo di Itˆo X in Rn, cio`e dXt= ϕtdBt+ ψtdt con ϕ ∈ M2
loc(n×d), ψ ∈ M1 loc(n×1) e B moto browniano d-dimensionale, introduciamo il processo a variazione finita, a valori nelle matrici n × n, definito da hX, Xi := {(hX, Xit)ij := hX(i), X(j)it:= Rt
0(ϕtϕ∗
t)ij}1≤i,j≤n, t≥0, il cui differenziale `e dunque dato da
dhX(i), X(j)it = (ϕtϕ∗t)ijdt =
n
X
k=1
Si noti che se X `e un processo unidimensionale si ha hX, Xit= hXitcome definito in precedenza. Con queste notazioni, possiamo riscrivere la formula di Itˆo (6.18) come
dΦ(t, Xt) = ˙Φ(t, Xt) dt + Φ0(t, Xt) dXt + 1 2Tr(Φ00(t, Xt) dhX, Xit) = ∂Φ ∂t(t, Xt) dt + n X i=1 ∂Φ ∂xi (t, Xt) dX(i) t + 1 2 n X i,j=1 ∂2Φ ∂xi∂xj (t, Xt) dhX(i), X(j)it, in analogia col caso unidimensionale. Si noti che anche che la formula di integrazione per parti (6.21) si riscrive come
d(XtYt) = XtdYt + YtdXt + dhX, Y it. (6.22) Una regola pratica molto utile per calcolare dhX(i), X(j)it`e la seguente: si scrive dhX(i), X(j)it= hdX(i)
t , dXt(j)isi sviluppa per bilinearit`a e si semplifica l’espressione risultante usando le regole hdB(i)
t , dBt(j)i = δijdt , hdB(i)
t , dti = 0 , hdt, dti = 0 . Infatti dall’espressione dXt= ϕtdBt + ψtdt si ricava
hdX(i) t , dXt(j)i = * d X k=1 (ϕt)ikdB(k) t + (ψt)idt , d X l=1 (ϕt)jldB(l) t + (ψt)jdt + = d X k,l=1 (ϕt)ik(ϕt)jlhdB(k) t , dB(l)t i = d X k,l=1 (ϕt)ik(ϕt)jlδkldt = (ϕtϕ∗t)ijdt , in accordo con la definizione data sopra.
4. Moto browniano e laplaciano
Fissiamo x ∈ Rde indichiamo con B = {Bt}t≥0un moto browniano d-dimensionale che parte da x. Questo significa semplicemente che Bt = x + βt, dove β = {βt}t≥0 `e un moto browniano d-dimensionale standard. Per essere chiari, indicheremo con Px e Ex la probabilit`a e il valore atteso.
Riscriviamo per semplicit`a la formula di Itˆo per B e per funzioni Φ(t, x) = Φ(x) non dipendenti dal tempo: dalle relazioni (6.19) e (6.20), per ogni funzione Φ : Rd→ R di classe C2 si ha che (ricordando che B0 = x)
Φ(Bt) − Φ(x) = Z t 0 ∇Φ(Bs) dBs + 1 2 Z t 0 ∆Φ(Bs) ds , ossia in notazione differenziale
dΦ(Bt) = ∇Φ(Bt) dBt + 1
2∆Φ(Bt) dt .
Una conseguenza fondamentale di queste formule `e che se Φ `e un funzione armonica, cio`e se ∆Φ = 0, allora il processo {Φ(Bt)}t≥0 `e una martingala locale.
Nel caso in cui Φ non sia definita su tutto Rd, occorre essere pi`u precisi. Sup-poniamo che D ⊆ Rd sia un insieme aperto e connesso e che Φ : D → R sia una funzione armonica, cio`e di classe C2 e tale che ∆Φ(x) = 0 per ogni x ∈ D.
Lemma 6.10. Se G `e un aperto limitato tale che G ⊆ D, allora per ogni x ∈ G si ha Px(τG < ∞) = 1 e inoltre
dove τG := inf{t ≥ 0 : Bt6∈ G} `e il tempo di uscita del moto browniano da G. Dimostrazione. Cominciamo a mostrare che Px(τG < ∞) = 1. Per ipotesi G `e limitato, dunque G ⊆ [−L, L]d per qualche L > 0. Dato che {Bt(1) − x1}t≥0 `e un moto browniano reale standard, segue che Px-q.c. lim supt→∞Bt(1) = +∞ e di conseguenza per Px-q.o. ω ∈ Ω esiste t0 = t0(ω) < ∞ tale che Bt(1)
0(ω)(ω) > L. Quindi Bt0(ω)(ω) 6∈ G, ovvero τG(ω) ≤ t0(ω) < ∞.
Mostriamo ora che il processo M = {Mt}t≥0 definito da Mt := Φ(Bt∧τG)
`
e una martingala. Dato che G `e chiuso e limitato, la funzione Φ `e limitata su G. Sia Ψ : Rd → R una funzione di classe C2
su tutto Rd che coincida† con Φ su G. Applicando la formula di Itˆo, ricordando che B0 = x, si ha
Ψ(Bt) − Ψ(x) = Z t 0 ∇Ψ(Bs) dBs + 1 2 Z t 0 ∆Ψ(Bs) ds .
Sostituendo t con t∧τG, per le propriet`a dell’integrale stocastico (e di quello ordinario) possiamo scrivere Ψ(Bt∧τG) − Ψ(x) = Z t 0 ∇Ψ(Bs) 1[0,τG)(s) dBs + 1 2 Z t 0 ∆Ψ(Bs) 1[0,τG)(s) ds . Dato che Ψ coincide con Φ su G e dato che Bt∧τG ∈ G, si ha Ψ(Bt∧τG) = Φ(Bt∧τG). Analogamente, per s ≤ τG si ha Bs ∈ G e quindi ∇Ψ(Bs) = ∇Φ(Bs), mentre ∆Ψ(Bs) = ∆Φ(Bs) = 0 perch´e per ipotesi Φ `e armonica su D ⊇ G. Possiamo dunque scrivere
Mt := Φ(Bt∧τG) = Φ(x) + Z t
0
∇Φ(Bs) 1[0,τG)(s) dBs,
per cui M `e una martingala locale. La funzione x 7→ ∇Φ(x) `e continua su G e dunque limitata, per cui l’integrando ∇Φ(Bs) 1[0,τG)(s) `e in M2(1 × d). Quindi M `e una vera martingala di quadrato integrabile.
Dato che una martingala `e costante in media, si ha Ex(Mt) = Ex(M0) = Φ(x), per ogni t ≥ 0. Per t → ∞ si ha t ∧ τG → τG q.c., perch´e Px(τG < ∞) = 1, quindi anche Mt → Φ(BτG) q.c. per la continui`a di Φ. Dato che |Mt| ≤ supx∈G|Φ(x)| < ∞, per convergenza dominata si ottiene Ex(Φ(BτG)) = Φ(x), cio`e la relazione (6.23).
†Per esempio basta definire Ψ(x) := Φ(x) I(x), dove I : Rd →[0, 1] `e una funzione di classe C∞
tale che I(x) = 1 per ogni x ∈ G e I(x) = 0 per x 6∈ D. Una tale I si ottiene per esempio ponendo I(x) := 1Gε ∗ ρ, dove ∗ indica la convoluzione, Gε := {x ∈ Rd : dist(x, G) < ε}, ρ `e una funzione C∞e di integrale uno con supporto in {x ∈ Rd: |x| < ε} e 0 < ε < dist(G, Dc).
4.1. Transienza/ricorrenza del moto browniano. Introduciamo la funzione Φ : Rn\ {0} → R definita da Φ(z) := 1 |z|d−2 se d ≥ 3 log |z| se d = 2 |z| se d = 1 . `
E un fatto noto (e facilmente dimostrabile) che Φ `e una funzione armonica sul dominio D := Rd\ {0}. Consideriamo la corona sferica
G := {z ∈ Rd: r < |z| < R} , dove 0 < r < R < ∞ ,
che soddisfa le ipotesi del Lemma 6.10. Quindi, per ogni x ∈ G, il tempo di uscita τG dall’insieme G del moto browniano che parte in x `e q.c. finito, e si ha
Φ(x) = Ex(Φ(BτG)) .
Per continuit`a delle traiettorie, BτG ∈ ∂G = {z ∈ Rd : |z| = r o |z| = R}, e dato che Φ(z) = Φ(|z|) si ottiene
Φ(x) = Φ(r) Px(|BτG| = r) + Φ(R) Px(|BτG| = R) . Visto che Px(|BτG| = r) + Px(|BτG| = R) = 1, si ricava facilmente che
Px(|BτG| = r) = Φ(|x|) − Φ(R) Φ(r) − Φ(R) = 1 |x|d−2 − 1 Rd−2 1 rd−2 − 1 Rd−2 se d ≥ 3 log R − log |x| log R − log r se d = 2 R − |x| R − r se d = 1 . (6.24)
Notiamo ora che, per r fissato, l’evento {|BτG| = r} si pu`o descrivere come “il moto browniano che parte da x ∈ G raggiunge la sfera interna {|z| = r} prima di quella esterna {|z| = R}”, da cui si evince che tale evento `e crescente in R. Si noti che l’evento limite limR→∞{|BτG| = r} = S
R∈N{|BτG| = r} si pu`o descrivere come “il moto browniano che parte da x raggiunge la sfera {|z| = r} prima della sfera {|z| = R}, per qualche R > 0”; dato che le traiettorie di B sono limitate (perch´e continue) su ogni intervallo di tempo limitato, tale evento non `e altro che “il moto