x y
O 1
1 A
A1
B
B1
y = 2x + 2
La retta passante per A1 e B1ha equazione y − yA1
yB1− yA1
= x − xA1
xB1− xA1
ovvero y − 1
−1 − 1 = x − 2 1 − 2 quindi l’equazione richiesta `e y = 2x − 3.
Osservazione. Dall’esempio proposto deduciamo che sarebbe bastato sostituire x con x − 2 e y con y + 1 nell’equazione della retta r per ottenere l’equazione della retta cercata. Infatti dall’equazione y = 2x+2, sostituendo x con x−2 e y con y+1, si ottiene y+1 = 2(x−2)+2, da cui y = 2x−4+2−1 ed infine y = 2x − 3.
Osservazione. In generale vale la seguente regola pratica:
dati i numeri reali a e b,
1. per ottenere una traslazione orizzontale di a basta sostituire x con x − a nell’equazione della curva data (se a > 0 allora la traslazione `e verso destra, se a < 0 allora la traslazione `e verso sinistra);
2. per ottenere una traslazione verticale di b basta sostituire y con y − b nell’equazione della curva data (se b > 0 allora la traslazione `e verso l’alto, se b < 0 allora la traslazione `e verso il basso).
Evidentemente i casi a = 0 e b = 0 corrispondono alle traslazioni nulle.
7.3 Cambio di scala
Sia P (x, y) un generico punto del piano; se operiamo un cambio di scala rispetto alle ascisse otteniamo P1(hx, y); se operiamo un cambio di scala rispetto alle ordinate otteniamo P2(x, ky); se operiamo un cambio di scala sia rispetto alle ascisse che rispetto alle ordinate otteniamo P3(hx, ky). Supponiamo h, k ∈ R∗.
7.3 Cambio di scala 133
x y
O
P P1
P2
P3
x hx y
ky
Osserviamo che se h > 0 il trasformato P1 appartiene allo stesso quadrante; se h < 0 il trasformato del punto P appartiene al quadrante simmetrico rispetto all’asse delle y; in particolare, se h = 1 il punto P non varia, se h = −1 il punto P viene trasformato nel suo simmetrico rispetto all’asse delle y; se
|h| < 1 la distanza dall’origine del trasformato `e minore della distanza dall’origine di P (parleremo di contrazione); se |h| > 1 la distanza dall’origine del trasformato `e maggiore della distanza dall’origine di P (parleremo di dilatazione).
Osserviamo che se k > 0 il trasformato P2 appartiene allo stesso quadrante; se k < 0 il trasformato del punto P appartiene al quadrante simmetrico rispetto all’asse delle x; in particolare, se k = 1 il punto P non varia, se k = −1 il punto P viene trasformato nel suo simmetrico rispetto all’asse delle x; se
|k| < 1 la distanza dall’origine del trasformato `e minore della distanza dall’origine di P (parleremo di contrazione); se |k| > 1 la distanza dall’origine del trasformato `e maggiore della distanza dall’origine di P (parleremo di dilatazione).
Rappresentiamo in figura i trasformati di P rispetto alle ascisse con diversi valori di h.
x y
O
P1 P P2
P3 P4
P5
h = 1 h =1
2 h = 2
h = −1 h = −1 h = −2 2
2
1 4
−2 −1
−4
Osservazione. Se h = k il cambio di scala rispetto ai due assi utilizza la stessa costante di proporzionalit`a e quindi O, P e il trasformato di P sono allineati. In tal caso parleremo di omotetia di rapporto h.
7.3 Cambio di scala 134
x y
O
P P1
P2
P3
P4
P5
2
1 4
−2 −1
−4
1
1 2
2
−1
−12
−2
Esempio 7.3.1. Data la retta r di equazione y = 2x + 2 scrivere le equazioni della retta trasformata mediante dilatazione di rapporto 2 rispetto alle ascisse, di quella trasformata mediante contrazione di rapporto 1
2 rispetto alle ordinate, di quella trasformata contemporaneamente mediante dilatazione di 2 rispetto alle ascisse e contrazione di 1
2 rispetto alle ordinate e di quella trasformata mediante omotetia di rapporto −2.
1. Dapprima rappresentiamo graficamente la retta data e quella trasformata mediante dilatazione di rapporto 2 rispetto alle ascisse.
Determiniamo due punti di r, sostituendo alla variabile indipendente x due valori qualunque e ricavando i corrispondenti valori della variabile dipendente y:
x y
0 2
−1 0
Detti, rispettivamente, A e B tali punti di r, determiniamo i punti trasformati:
x y
0 2
−2 0
Chiamiamo B1 il trasformato di B e osserviamo che il trasformato di A `e A stesso.
7.3 Cambio di scala 135
x y
O 1
1 A
B1 B
y = 2x + 2
La retta passante per A e B1 ha equazione y − yA
yB1− yA
= x − xA
xB1− xA
ovvero y − 2
0 − 2 = x − 0
−2 − 0 quindi l’equazione richiesta `e y = x + 2.
Osservazione. Dall’esempio proposto deduciamo che sarebbe bastato sostituire x con x
2 nell’equa-zione della retta r per ottenere l’equanell’equa-zione della retta cercata. Infatti dall’equanell’equa-zione y = 2x + 2, sostituendo x con x
2, si ottiene y = 2x 2
+ 2 ed infine y = x + 2.
Osservazione. Dall’esempio proposto deduciamo che il segmento AB viene trasformato nel segmento AB1 che risulta chiaramente dilatato rispetto al precedente.
2. Dapprima rappresentiamo graficamente la retta data e quella trasformata mediante contrazione di rapporto 1
2 rispetto alle ordinate.
Determiniamo due punti di r, sostituendo alla variabile indipendente x due valori qualunque e ricavando i corrispondenti valori della variabile dipendente y:
x y
0 2
−1 0
Detti, rispettivamente, A e B tali punti di r, determiniamo i punti trasformati:
x y
0 1
−1 0
Chiamiamo A1 il trasformato di A e osserviamo che il trasformato di B `e B stesso.
x y
O 1
1 A
A1
B
y = 2x + 2
7.3 Cambio di scala 136
Osservazione. Dall’esempio proposto deduciamo che sarebbe bastato sostituire y con 2y nell’equa-zione della retta r per ottenere l’equanell’equa-zione della retta cercata. Infatti dall’equanell’equa-zione y = 2x + 2, sostituendo y con 2y, si ottiene 2y = 2x + 2 ed infine y = x + 1.
Osservazione. Dall’esempio proposto deduciamo che il segmento AB viene trasformato nel segmento A1B che risulta chiaramente contratto rispetto al precedente.
3. Dapprima rappresentiamo graficamente la retta data e quella trasformata contemporaneamente mediante dilatazione di 2 rispetto alle ascisse e contrazione di 1
2 rispetto alle ordinate.
Determiniamo due punti di r, sostituendo alla variabile indipendente x due valori qualunque e ricavando i corrispondenti valori della variabile dipendente y:
x y
0 2
−1 0
Detti, rispettivamente, A e B tali punti di r, determiniamo i punti trasformati:
x y quindi l’equazione richiesta `e y = x
2 + 1.
Osservazione. Dall’esempio proposto deduciamo che sarebbe bastato sostituire x con x
2 e y con 2y nell’equazione della retta r per ottenere l’equazione della retta cercata. Infatti dall’equazione y = 2x + 2, sostituendo x con x
Osservazione. Dall’esempio proposto deduciamo che il segmento AB viene trasformato nel seg-mento A1B1 che risulta contemporaneamente dilatato di 2 e contratto di 1
2 quindi congruente al precedente.
7.3 Cambio di scala 137
4. Dapprima rappresentiamo graficamente la retta data e quella trasformata mediante omotetia di rapporto −2.
Determiniamo due punti di r, sostituendo alla variabile indipendente x due valori qualunque e ricavando i corrispondenti valori della variabile dipendente y:
x y
0 2
−1 0
Detti, rispettivamente, A e B tali punti di r, determiniamo i punti trasformati:
x y
0 −4
2 0
Chiamiamo A1 e B1 tali punti.
x y
O 1
1 A
A1
B B1
y = 2x + 2
La retta passante per A1 e B1ha equazione y − yA1
yB1− yA1 = x − xA1
xB1− xA1 ovvero y − (−4)
0 − (−4) = x − 0 2 − 0 quindi l’equazione richiesta `e y = 2x − 4.
Osservazione. Dall’esempio proposto deduciamo che sarebbe bastato sostituire x con −x
2 e y con
−y
2 nell’equazione della retta r per ottenere l’equazione della retta cercata. Infatti dall’equazione y = 2x + 2, sostituendo x con −x
2 e y con −y
2, si ottiene −y 2 = 2
−x 2
+ 2, da cui −y = −2x + 4 ed infine y = 2x − 4.
Osservazione. Dall’esempio proposto deduciamo che il segmento AB viene trasformato nel segmento A1B1che risulta chiaramente dilatato rispetto al precedente. Inoltre la retta r e la sua trasformata sono parallele e, come gi`a noto dallo studio della geometria, i triangoli OAB e OA1B1sono simili.
Osservazione. In generale vale la seguente regola pratica:
dati i numeri reali non nulli h e k,
7.3 Cambio di scala 138
1. per ottenere un cambio di scala rispetto alle x di rapporto h basta sostituire x con x
h nell’equazione della curva data (se |h| > 1 allora si ha una dilatazione, se |h| < 1 si ha una contrazione);
2. per ottenere un cambio di scala rispetto alle y di rapporto k basta sostituire y con y
k nell’equazione della curva data (se |k| > 1 allora si ha una dilatazione, se |k| < 1 si ha una contrazione).
Evidentemente i casi h = 1 e k = 1 si riducono alle identit`a;
i casi h = −1 e k = −1, come precedentemente analizzato, si riducono alle simmetrie rispetto all’asse y e rispetto all’asse x.
Esercizio 7.3.1. Rappresentare graficamente la curva di equazione y =
La curva richiesta si ottiene con l’applicazione successiva delle seguenti trasformazioni alla retta di equazione y = x:
1. una dilatazione di rapporto 2 rispetto alle ascisse (oppure, indifferentemente, una contrazione di rapporto 1
2 rispetto alle ordinate);
2. una traslazione verso destra di 2;
3. una simmetria della parte di grafico con ordinata negativa rispetto all’asse delle x lasciando invariata la rimanente;
4. una traslazione verso il basso di 1;
5. una simmetria della parte di grafico con ordinata negativa rispetto all’asse delle x lasciando invariata la rimanente.
Infatti, si ha che:
1. per operare la dilatazione richiesta `e sufficiente sostituire x con x
2 nell’equazione y = x, ottenendo y = x
2. per operare la traslazione richiesta `e sufficiente sostituire x con x−2 nell’equazione y = x
2, ottenendo y = x − 2
2 ;
7.3 Cambio di scala 139
3. per operare la simmetria richiesta `e sufficiente applicare il valore assoluto al secondo membro dell’equazione y =x − 2
4. per operare la traslazione richiesta `e sufficiente sostituire y con y + 1 nell’equazione y =