Mettiamo ora insieme tutto ci`o che abbiamo fatto nel capitolo 3:
Osservazione 4.3.0.1. Abbiamo gi`a introdotto nella sezione 3 del capito- lo 3 (osservazione 3.3.0.6 di pagina 68) il genere ed abbiamo mostrato che vale per una superficie S di genere g (ovvero appartenente alla classe di equivalenza delle superfici con genere g) che χ(S) = 2 − 2g allora possiamo provare in un modo alternativo il teorema di Poincar`e-Hopf mostrando che l’indice somma ovvero la somma degli indici negli zeri (o singolarit`a pen- sando il campo come insieme di vettori tangenti) di un qualsiasi campo sulla superficie (che `e anche il campo di elementi di linea sulla superfi- cie) con un numero finito di zeri (o singolarit`a) `e la caratteristica della superficie usando la sua definizione in funzione del genere. Chiameremo singolarit`a i punti in cui non `e definito il campo proprio per enfatizzarne la natura dinamica. Come nella prova gi`a vista del teorema di Poincar`e- Hopf del capitolo 3 cerchiamo di dare un idea, trattando casi specifici ma non troppo, di ci`o che succede:
genere 0, la sfera con i grandi cerchi per i due poli: ciascuno di essi `e una singolarit`a di indice +1 in particolare uno sar`a un massimo e l’altro un minimo a seconda dell’orientazione dei vettori ovvero che escano o entrino dal polo quindi la somma degli indici dei due zeri `e 2 e vale 2=P ι=2- 2g=2-0=2;
genere 0, la sfera con la proiezione stereografica dal piano alla sfera di un campo parallelo di elementi di linea sul piano: abbiamo il polo nord che `e un dipolo e quindi una singolarit`a di indice +2 infatti i vettori che at- traversano tutto il piano, esempio orizzontalmente lungo la direzione delle ascisse, andando da ascissa ”-∞” ad ascissa ”+∞”, proiettate sulla sfe- ra sono curve chiuse con estremo finale ed iniziale coincidenti con il polo nord che `e ”il” punto all’”infinito” ; quindi ancora l’indice somma `e la somma su una sola singolarit`a di indice +2 che `e uguale a 2-2g=2-0=2; genere 0 una superficie immersa in uno spazio euclideo e considero la coordi-
nata verticale ed il corrispondente insieme di livello: abbiamo due singo- larit`a come massimi, una come minimo di indice +1 ed un punto di sella con indice -1 allora l’indice somma `e la somma sulle quattro singolarit`a ed `e +2 che `e uguale a 2-2g=2-0=2;
genere 1, un toro: non ha singolari`a e quindi vale l’identit`a 0 =P ι = 2 − 2 · 1 = 0;
genere 1, un toro visto come insieme di livello delle ascisse: ha due singo- larit`a con indice +1 e due singolarit`a con indice -1 ovvero due punti di massimo o minimo a seconda del verso dei vettori e due punti di sella quindi vale ancora 0 = +1 + 1 − 1 − 1 =P ι = 2 − 2 · 1 = 0;
genere g, immergiamo la superficie in uno spazio euclideo di dimensione op- portuna: avendo g ”buchi” si hanno 2g punti di sella con indice -1 e 2 punti di massimo o minimo con indice +1 quindi vale proprio P ι = 2 − 2g e cos`ı si procede per induzione infatti aggiungendo un ”buco” ovvero aumen- tando di uno il genere si aggiungono due punti di sella che hanno indice -1 che corrispondno proprio nell’identit`a al decremento nel termine alla destra aggiungendo di uno il genere.
Figura 4.1: diversi esempi di validit`a della formula χ(g) = g −2 con il g a sinistra che indica la classe di superfici di genere g ed il g a destra che `e un intero ed indica il genere.
Osservazione 4.3.0.2 (quanto ci sarebbe ancora da dire....). Elenco qui alcuni argomenti che nel corso dello studio mi sono apparsi strettamente, inaspettata- mente e splendidamente intrecciati e che sarebbe stato bello indagare:
curvatura totale ed indice di campo Altri argomenti legati fra loro citati nel capitolo 3 sono la curvatura totale (una quantit`a in cui compare la curvatura) e l’indice nelle singolarit`a di un campo di elementi di linea su una superficie chiusa orientabile (lavorando in modo identico a quanto visto nelle osservazioni preliminari nella sezione 1 del capitolo 3 ovvero
nelle definizioni 22, 23 e nelle altre nozioni citate in nota). Questo `e un fatto notevole perch`e coinvolge anche la metrica infatti tale risultato porta a descrivere la metrica mediante la topologia e viceversa infatti per quanto citato sopra avendo un collegamento fra indice somma e metrica e per il teorema di Poincar`e-Hopf avendo un legame fra indice somma e caratteristica nel senso topologico si ha cos`ı un legame fra la topologia (il genere) e la metrica (la curvatura).
orientazioni, superfici e mappa gaussiana Un fatto interessante sarebbe sta- to indagare le applicazioni della la curvatura gaussiana in tutta la sua generalit`a: infatti avremmo potuto definire tale mappa nel contesto delle superfici chiuse astratte ovvero come mappa sferica e quindi vedere che il grado di tale mappa `e determinato dalla tipologia di ricoprimenti nei punti dell’immagine e anche dal genere della superficie che `e una proporzione di quanta superficie della sfera `e ricoperta come immagine della mappa sferica. La mappa di Gauss `e connessa anche ad un altro argomento af- frontato in un altro modo: l’orientazione; infatti se esiste una mappa di Gauss si pu`o orientare la superficie e la scelta della mappa `e equivalente alla scelta di una orientazione.
curvatura gaussiana e mappa gaussiana Infine a coronamento del tutto `e da notare che la curvatura gaussiana nasce come propriet`a descritta di- namicamente dalla mappa di Gauss nel caso bidimensionale e tridimen- sionale quindi anche la mappa gaussiana che `e legata alla curvatura sar`a legata, per il primo risultato citato, anche all’indice del campo. Esplicitia- mo un poco questo legame perch`e `e molto semplice ed intuitivo. Nel caso di curve piane regolari del tipo γ(t), di cui esiste sempre il vettore tangente, dopo aver definito in qualche modo una lunghezza L per le curve ed aver parametrizzato in lunghezza d’arco la curva stessa γ(s), in modo da avere una forma semplice per essa, si definisce la curvatura piana per una curva parametrizzata a velocit`a unitaria essere d2γ(s)/ds2= d(dγ(s)/ds)/ds la
variazione del vettore tangente di norma unitaria al variare della ascissa curvilinea (ovvero la coordinata ”intrinseca” sulla curva) ovvero il rappor- to fra la variazione angolare del vettore tangente (dτ ) lungo la curva rispet- to alla lunghezza di curva percorsa (ds) e definizione analoga si potrebbe dare per la normale che `e perpendicolare alla tangente ed ha variazione uguale ad essa essendo rigidamente solidale al sistema di riferimento che scivola lungo la curva, il vantaggio della normale `e che `e unica e quindi `e ben definita la variazione di essa come vettore nel piano e nello spazio. Possiamo allora definire un applicazione Γ che mappa la curva nella cir- conferenza S1 e che porta un punto della curva nel punto intersezione fra la circonferenza ed il punto finale del vettore normale al punto sulla curva applicato nell’origine di S1; vale che il rapporto fra le lunghezze lungo la circonferenza (LΓ(s0, s)) fra un punto fissato (Γ(s0)) ed un punto (Γ(s))
immagine di un punto variabile di coordinata (s) sulla curva e la lun- ghezza sulla curva (L(s0, s)) fra un punto fissato di coordinata (s0) ed un
(per s che va ad s0), la curvatura (k) locale nel punto fissato della curva
(k(s0) = lims→s0LΓ(s0, s)/L(s0, s)). Nel caso di una superficie abbiamo
un qualcosa di analogo mappando un punto della superficie ((x0, y0)) in
un punto sulla sfera S2 tale che quest’ultimo sia il punto finale del vettore
normale alla superficie nel punto considerato applicato nell’origine della sfera, questa si dir`a mappa sferica (Γ). Analogamente a quanto fatto sopra prendendo una piccola area (A) attorno al punto della superficie conside- rato ((x0, y0)) e l’area immagine attraverso la mappa sferica (Γ(A)) ovvero
una piccola area attorno al punto, immagine del punto della superficie, sul- la sfera (Γ(x0, y0)) si avr`a che la curvatura (K) della regione nell’intorno
del punto((x0, y0)), con la regione A che si rimpicciolisce attorno al punto
`
e K(x0, y0) = limA→0Γ(A)/A e la curvatura sar`a positiva o negativa a
seconda che Γ nell’intorno del punto conservi o inverta l’orientazione (il che `e anche visibile geometricamente in alcuni esempi citati nella sezione 1 del capitolo 3).
teorema di Gauss-Bonnet Certamente per arrivare a tale risultato, che lega la curvatura alla topologia, avremmo dovuto fare altre scelte in particolare si sarebbe dovuto definire la curvatura per curve e superfici almeno per enunciare il teorema, e poi avremmo dovuto introdurre le variet`a riemma- niane il che non sarebbe stato possibile n`e per lo spazio, n`e per la difficolt`a del problema. Notevole per`o rimane che anche questo `e un caso in cui l’approccio analitico (metrica, curvatura, derivate, mappe lisce) cattura un aspetto topologico (genere, caratteristica) e viceversa.