come nella figura, con ad esempio una carica positiva sulla superficie esterna come mostrato nella figura a fianco. Tale carica si dispone sulla superficie esterna addensandosi maggiormente nelle zone con minore raggio di curvatura. Preoccupiamoci della superficie interna. Vogliamo mostrare che, se la cavità è vuota (non vi sono cariche), sulla superficie interna non vi possono essere cariche.
Si dimostra con un ragionamento per assurdo. Immaginiamo che una zona carica (A) ed una zona carica (B) (con carica eguale ed opposta) siano su due
posizioni della superficie interna. Il fatto che debbano necessariamente essere eguali ed opposte, deriva dalla conservazione della carica. Il teorema di Gauss applicato ad una superficie interna al conduttore che comprenda la cavità non esclude tale eventualità, infatti il flusso del campo elettrico sarebbe nullo se esistessero due zone cariche. Ma consideriamo l'integrale di linea lungo la linea indicata in figura:
Tale linea è in buona parte all'interno del conduttore dove l'integrale è identicamente nullo, mentre se eseguiamo il calcolo di tale integrale nella cavità, dal punto A al punto B, dove sono presenti cariche eguali ed opposte, necessariamente tale integrale sarebbe non nullo. Infatti stiamo muovendoci da una zona con una carica A ad una zona B carica di segno opposto (sappiamo che le linee del campo partono dalle cariche positive e vanno a finire su quelle negative). Si avrebbe quindi la contraddizione che l'integrale attraverso una linea chiusa del campo elettrostatico sarebbe diverso da zero. Ma questo contrasta con la conservatività del campo elettrostatico. Quindi l'ipotesi che si possano generare cariche eguali e di segno opposto sulla superficie interna porta ad una conseguenza assurda che si può escludere.
Bisogna puntualizzare che l'ipotesi iniziale è che la cavità sia vuota, cioè priva di qualsiasi carica libera. La cosa cambia se delle cariche sono piazzate in qualche posizione fissa all'interno della cavità, o sopra un isolante o un conduttore isolato dal conduttore principale, in tal caso ci può essere un campo elettrico all'interno della cavità. Notiamo che in questo caso sulla superficie interna del conduttore si accumulerà una carica eguale a quella all'interno della cavità. Ed una carica eguale a quella all'interno della cavità apparirà sulla superficie esterna. Ma anche in questo caso le cariche esterne o i campi esterni non riescono in nessuna maniera ad influenzare le cariche all'interno della cavità.
Notiamo che ben prima di dimostrare la cosa con un ragionamento logico, M. Faraday aveva condotto degli esperimenti su conduttori cavi e tuttora delle camere chiuse metalliche che sono degli ottimi schermi non solo per campi elettrostatici, ma anche radiazione elettromagmetica, vengono chiamate gabbie di Faraday.
Condensatori
La figura mostra un condensatore, cioè un oggetto formato da due conduttori isolati e di forma arbitraria (dette armature del condensatore). Supponiamo che sulle due armature vengano disposte cariche eguali ed
opposte e . Nel caso più
semplice i conduttori sono immersi nel vuoto.
Chiamiamo la d.d.p. tra i due conduttori. A causa del principio di sovrapposizione degli effetti, se moltiplichiamo per la carica di ciascuno dei conduttori, anche la d.d.p. aumenterà della stessa quantità. Questo vuol dire che una volta fissate le condizioni geometriche del sistema, la d.d.p. è direttamente proporzionale alla carica (in valore assoluto) sulle due armature. Quindi possiamo definire la costante di
proporzionalità tra carica e d.d.p. come che è detta capacità del condensatore:
La capacità di un condensatore dipende dalla forma e dalla posizione relativa dei conduttori e non dal materiale di cui sono costituiti i conduttori stessi.
Nel sistema SI le dimensioni fisiche della capacità sono e quindi l'unità di misura della capacità elettrica è il che viene chiamato (simbolo F). Una capacità di un è di difficile realizzazione pratica, per cui in pratica si usano spesso i sottomultipli di tale quantità elementare: , , e . I condensatori rappresentano un elemento circuitale fondamentale per immagazzinare cariche elettriche e sono presenti in un numero enorme di applicazioni pratiche.
I condensatori usati nella pratica presentano il fenomeno dell'induzione completa tra le armature, presupporremo sempre nel seguito che tale condizione sia verificata. Cioè le due armature sono tali che l'unico campo elettrico, generato nel porre la carica positiva su una armatura e la negativa sull'altra, è compreso solo nello spazio tra le due armature. Tale condizione si verifica quando le due armature sono, o molto vicine, o sono un conduttore cavo chiuso con all'interno un alto conduttore o un conduttore isolato con l'altra armatura all'infinito. Per quanto riguarda quest'ultimo caso il concetto di capacità si può estendere ad un conduttore isolato, che venga caricato con una carica
e il potenziale che assume sia calcolato rispetto all'infinito.
Ad esempio se si pone una carica su una sfera conduttrice di raggio nel vuoto, il campo elettrico generato nello spazio è radiale
e vale (all'esterno della sfera, il cui centro si è assunto come origine delle coordinate): mentre all'interno è nullo.
Di conseguenza la d.d.p. tra e vale: quindi:
Un conduttore isolato ha una capacità elettrica estremamente piccola, come si evince dalla formula precedente. Se ad esempio è il raggio della Terra,
, risulta di appena .
La figura a fianco mostra il più elementare dei condensatori(anche il più usato), il condensatore piano. In questo caso le armature sono due superfici piane parallele di area separate da una distanza (piccola rispetto alle dimensioni laterali delle armature).
Se poniamo una carica sull'armatura superiore e su quella inferiore, a causa dell'induzione elettrostatica completa (in quanto è piccola), le cariche si disporranno con buona approssimazione uniformemente sulla sola parte interna delle armature. Per cui il campo esterno è praticamente nullo, mentre quello interno è uniforme e diretto come indicato in figura, esso vale in modulo:
Quindi la d.d.p. tra le armature vale semplicemente (considerando un cammino che vada da una armatura all'altra):
Quindi dalla definizione di capacità, un condensatore a facce piane e parallele ha una capacità di:
Alcuni esempi chiariscono quanto detto Esempio A, Esempio B.
Condensatori in parallelo
La figura seguente mostra condensatori in parallelo. Calcoliamo la capacità
equivalente.
Equivalente significa che possiamo a tutti gli effetti sostituire agli condensatori un condensatore indistinguibile ai fini delle proprietà elettriche degli condensatori. La differenza di potenziale ai capi di ciascun condensatore sarà la stessa (in quanto le
varie armature costituiscono un unico conduttore semplicemente connesso), come mostrato in figura, mentre le cariche sulle armature dei singoli condensatori saranno dipendenti dalla capacità del condensatore stesso:
La carica totale del sistema vale: quindi, per condensatori in parallelo: