3 Charge-pump di Dickson: analisi in regime dinamico
3.2 Carica immagazzinata a regime
L'introduzione una procedura per valutare la carica immagazzinata Figura 3.1 Segnali di clock e nuova
notazione
3.2 Carica immagazzinata a regime e carica scambiata
a regime dai condensatori consentirà di ricavare in seguito una stima efficace della carica trasferita ad ogni ciclo di clock in ogni condensatore, compreso quello in uscita COUT. Per questo motivo per i
procedimenti successivi si considererà il convertitore nello stato di regime, quindi con tensione in uscita costante.
Si consideri qOUT come la carica trasferita da un condensatore al
successivo in un ciclo di clock che, come già detto in precedenza, eguaglia la carica fornita a COUT; Q(i) (con 1≤ i ≤ N) sia la carica
immagazzinata in C(i) all'inizio del j-esimo periodo di clock .
Osservando l'andamento dei segnali di clock mostrati in figura 3.1 e la configurazione di riferimento in figura 3.2, si può notare che al tempo j (poiché CLK1=0V) il diodo D(1) è acceso, per cui vale:
Q(1)=C (VDD−Vt)=CVg (3.1)
dove Vg indica il massimo guadagno di tensione per un singolo stadio.
Immediatamente dopo l'istante j i clock commutano e D(1) si spegne, così che al tempo j+1/2 D(1) è spento mentre D(2) è acceso: poichè la commutazione all'istante j ha prodotto un transitorio esponenziale (per ipotesi esaurito molto prima di j+1/2) il cui salto equivale a VL, a
questo corrisponde uno scambio di carica: dunque si ritrova che D(2) ha iniettato su C(2) una carica qOUT prelevandola da C(1) e, quindi, la
carica su C(1) e C(2) vale rispettivamente Q(1)-qOUT e Q(2)+qOUT.
Sapendo che il nodo 1 ha subito un salto di tensione di VDD dovuto
all'accoppiamento capacitivo tra C(1) e CLK11, la maglia formatasi
vede il condensatore C(1) collegato al clock CLK1 e al nodo 1, il diodo D(2) tra i nodi 1 e 2 e C(2) tra il nodo 2 e CLK2=0V. La
1 In un condensatore il campo elettrico tra le due armature resta invariato; per questo motivo se viene applicata una tensione ad una delle due, l'altra registrerà istantaneamente un incremento di potenziale della stessa entità.
situazione è mostrata in figura 3.3.
VDD+Q (1)−qOUT
C −Vt−
Q(2)+qOUT
C =0 (3.2)
Percorrendo la maglia in senso orario, nella (3.2) si trova che
VDD+Q (1)−qOUT
C è la tensione al nodo 1, dove si notano i
contributi di VDD, dovuto all'accoppiamento con CLK1, e della carica
rimasta dopo il pompaggio su C(1); Vt è la soglia del diodo diretta dal
nodo 2 al nodo 1 mentre Q(2)+qOUT
C è la tensione su C(2) dopo il
pompaggio. Usando la (3.1) per Q(1) nella (3.2) all'istante j+1/2 si ottiene infine il valore per la carica al nodo 2 al tempo j:
Q(2)=2CVg−2qOUT (3.3) Figura 3.3 Maglia formata durante il semi-periodo
3.2 Carica immagazzinata a regime e carica scambiata
Allo stesso modo, sempre al tempo j, prima dello scambio di cariche, essendo acceso D(3) (all'istante successivo si spegnerà) e spento D(2) si forma una maglia come quella di figura 3.4:
VDD+Q (2)
C −Vt− Q(3)
C =0 (3.4)
Con VDD+Q (2)
C è espresso il potenziale al nodo 2 e
Q(3) C
indica la tensione ai capi di C(3), analogamente a quanto visto prima. Quindi con l'uso della (3.3) nella (3.4) si ricava il valore della carica al nodo 3 al tempo j:
Q(3)=3CVg−2qOUT (3.5)
Procedendo al nodo successivo e analizzando lo stato delle cariche Figura 3.4 Maglia formata quando CLK1=0V e
al tempo j+1/2 dopo il pompaggio, quando il diodo D(3) è spento e D(4) acceso, si forma una maglia che interessa C(3), C(4), D(4) e i segnali di clock, come in figura 3.5:
Percorrendola in senso orario si ricava l'equazione:
VDD+Q (3)−qOUT
C −Vt−
Q(4)+qOUT
C =0 (3.6)
Dove VDD+Q (3)−qOUT
C è il potenziale al nodo 3 (sempre
incrementato del salto VDD dovuto alla salita di CLK1) e
Q(4)+qOUT
C quello al nodo 4. Attraverso la (3.5) si ottiene dalla
(3.6):
Q(4)=4CVg−4qOUT (3.7) Figura 3.5 Maglia al tempo j+1/2
3.2 Carica immagazzinata a regime e carica scambiata
Ugualmente per quanto fatto finora si può valutare la situazione al tempo j, prima dello scambio di cariche, tra il nodo 4 e il nodo 5. Osservando che CLK1=0V e CLK2=VDD il diodo D(4) è spento
mentre D(5) è acceso, come si vede nella figura 3.6:
L'equazione della maglia risulta:
VDD+Q (4)
C −Vt− Q (5)
C =0 (3.8)
da cui con la (3.7) si ha:
Q(5)=5CVg−4qOUT (3.9)
Dall'esame delle espressioni ricavate finora si possono dedurre due formule ricorrenti per valutare la carica immagazzinata nello stato di regime nei condensatori nel medesimo istante j, rispettivamente per i nodi in posizione dispari e pari (con 1 ≤ K≤ N/2 si riesce ad indicare
l'ordine del condensatore interessato):
Q(2K−1)=(2K−1)CVg−2( K−1)qOUT (3.10)
Q(2K)=2KCVg−2KqOUT (3.11)
Quando al tempo j si trova acceso D(N+1) si osserva:
VDD−Vt+Q (N )
C −VOUT=0 (3.12a)
Tale risultato è valido solo nel caso di N pari. Nel caso N dispari , invece, il diodo N+1 è acceso al tempo j+1/2 dunque l'equazione della maglia risulta:
3.2 Carica immagazzinata a regime e carica scambiata
VDD−Vt+Q( N )−qOUT
C −VOUT=0 (3.12b)
La tensione VOUT a regime viene considerata costante se si sceglie
un condensatore di filtro sufficientemente elevato rispetto a quelli di pompaggio, quindi:
Q(N)=C(VOUT – Vg) per N pari (3.13a)
Q(N)=C(VOUT – Vg)+qOUT per N dispari (3.13b)
combinando la (3.13a)(per N pari) o la (3.13b)(per N dispari) con la (3.11) e la (3.10) si ottiene infine un'espressione (valida a regime) che riesce a legare il quantitativo di carica scambiata qOUT alla tensione di
uscita:
C (VOUT−Vg)=NCVg−NqOUT (3.14)
qOUT=C
N [(N +1)Vg−VOUT] (3.15a)
Il risultato derivato nella (3.15a) è un punto focale dell'analisi del Dickson charge-pump: per lo stato di regime offre un modo per scrivere le (3.16) e (3.17) in funzione della tensione VOUT a regime:
Q(2K−1)=2(K −1)
N (VOUT−Vg)C+CVg (3.16)
Q(2K)= 2K
Per lo studio del circuito in transitorio si può ipotizzare che le equazioni (3.16) e (3.17) possano essere ancora approssimativamente valide e ci consentirebbero di conoscere la carica che viene trasferita tra due condensatori di stadi adiacenti in un periodo di clock.
Si può notare che a regime e nel caso a vuoto, la (3.15a), in base alla (1.4), vale 0: infatti quando le tensioni sui nodi hanno un valore medio costante, i condensatori non si scambiano più carica e in particolare non ne viene fornita più in uscita a COUT. La (3.15a)
assume significato importante quando la VOUT non ha ancora
raggiunto il valore massimo: mostra come ad ogni periodo di clock la carica scambiata qOUT diminuisca rispetto al periodo precedente
perché VOUT aumenta per effetto della carica ricevuta da COUT. In
pratica COUT riceve in un periodo di clock una certa qOUT e quindi la
VOUT cresce (proprio di COUT* qOUT), mentre nel periodo successivo la
qOUT, data dalla (3.15a), risulta minore rispetto al tempo precedente. Il
meccanismo si ripete fin quando VOUT raggiunge il valore medio di
regime e qOUT vale esattamente la quantità che serve per sostenere il
carico.
Nel particolare la qOUT è legata all'equazione (2.2) potendo scrivere:
qOUT=IOUT
fck =CVL (3.15b)
In definitiva qOUT è la carica trasferita nell'esponenziale generato
dalla scarica o dalla carica di un condensatore in un periodo di clock e che risulta terminato dopo una variazione di tensione pari a VL.