Il caso più semplice: un input e un output

Come già accennato, la formula (3.1) descrive un caso molto semplice di un fenomeno produttivo andando a considerare un solo input e un solo output.

Si potrebbe rappresentare questa situazione con il seguente esempio: si supponga di disporre dei dati di vendita (in migliaia di euro) e del numero di commessi di 8 negozi, come riportato in tabella 3.1:

TABELLA 3.1 CASO UN INPUT E UN OUTPUT

Negozio A B C D E F G H

Commessi 2 3 3 4 5 5 6 8

Vendite 1 3 2 3 4 2 3 5

Vendite/commesso 0,5 1 0,667 0,75 0,8 0,4 0,5 0,625

L’ultima riga della tabella mostra le vendite per commesso, una misura della produttività spesso adottata nelle analisi aziendali. Come ribadito nel paragrafo precedente, essa può essere inquadrata nel contesto più generale delle misure dell’efficienza. È immediato

23 _{La programmazione matematica è una branca della matematica applicata, in particolare dell'analisi}

numerica, che studia teoria e metodi per la ricerca dei punti di massimo e minimo di una funzione matematica; si ottiene così un modello quantitativo che traduce in termini matematici un dato problema (non occupandosi quindi direttamente di come tale modello sia stato costruito). L'ambito di ricerca privilegiato dell'ottimizzazione sono i modelli esprimibili in termini di funzioni di più variabili, nei quali i punti di ottimo vengono ricercati ponendo anche vincoli espressi secondo equazioni o disequazioni o anche in termini di derivate successive.

56

verificare come il negozio B sia il più efficiente, mentre F occupa l’ultimo posto della classifica.

Possiamo rappresentare questi dati mediante un grafico cartesiano, ponendo il numero di impiegati in ascissa e le relative vendite in ordinata; il risultato è rappresentato in figura 3.1. L’inclinazione delle linee che connettono l’origine a ciascun punto rappresenta le vendite per commesso: la linea con l’inclinazione maggiore coincide proprio con il punto B, il punto di maggiore efficienza. Definiremo perciò tale linea come Frontiera Efficiente. Questa ha una particolare proprietà, ovvero avviluppa (envelop in inglese) tutti gli altri punti: da qui il nome di DEA, Data Envelopment Analysis.

FIGURA 3.1 COMPARAZIONE TRA I NEGOZI

Con un insieme di dati come quelli dell’esempio si potrebbe sviluppare una regressione lineare e confrontare i risultati ottenuti con quelli derivanti dalla DEA. La linea puntinata della figura 3.2 mostra la regressione lineare ottenuta con il metodo dei minimi quadrati: essa ha un’equazione pari a y = 0.622 x. Questa linea, normalmente studiata in statistica, si posiziona in un tratto che è “medio” rispetto a tutti i punti: quelli che stanno al di sopra della retta di regressione sono usualmente definiti eccellenti, quelli che stanno al di sotto scadenti o insoddisfacenti. Come quantificare il grado di eccellenza di un punto allora? È sufficiente calcolare la sua deviazione standard, intesa come distanza, tra il punto e la linea di regressione: tanto la distanza è maggiore, tanto il più il punto sarà eccellente se situato sopra la linea o scadente se situato sotto. Il metodo DEA, invece, definisce attraverso la frontiera efficiente la performance del miglior negozio e su questa base vengono valutati i negozi rimanenti. A B C D E F G H 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 Ven d ite Commessi Frontiera Efficiente

57

Esistono quindi fondamentali differenze circa la metodologia dei due approcci: la regressione lineare riflette una media o una tendenza delle osservazioni mentre la DEA si focalizza sulla performance migliore e valuta tutte le altre mediante le deviazioni dalla frontiera efficiente. Un’altra importante diversità risiede nel metodo utilizzato per suggerire le politiche di miglioramento. La DEA sceglie un punto come B per tutti i futuri confronti, elevandolo ad una sorta di benchmark e di obiettivo ottimo da raggiungere; diversamente l’approccio della regressione incorpora anch’esso gli ottimi risultati di B, ma mediandoli con quelli di F attenua di molto gli obiettivi di miglioramento.

FIGURA 3.2 CONFRONTO TRA REGRESSIONE LINEARE E FRONTIERA EFFICIENTE

Quindi tutti i negozi, se comparati con B, risultano inefficienti. È possibile misurare l’efficienza di B rispetto agli altri con questo semplice calcolo:

(3.2) Si noti come il rapporto permetta di ottenere sempre e comunque valori compresi tra 0 e 1, effettuando così una sorta di normalizzazione dei risultati, come è possibile constatare dalla tabella 3.2.

In linea di principio è irragionevole pensare che l’inclinazione della retta, e quindi l’efficienza di B, rimanga costante all’infinito per qualsiasi dimensione di scala. Tuttavia, ai fini della nostra ricerca, possiamo assumere questa ipotesi come reale e chiameremo tale proprietà costanza dei rendimenti.

A B C D E F G H 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 Ven d ite Commessi Frontiera Efficiente Regressione Lineare

58

TABELLA 3.2 EFFICIENZA DEI NEGOZI

Negozio A B C D E F G H

Efficienza 0,5 1 0,667 0,75 0,8 0,4 0,5 0,625

A questo punto ci si potrebbe chiedere come rendere efficiente un negozio inefficiente, andando ad incrementare le sue performance affinché ricadano sulla frontiera efficiente. Questo processo è possibile e svelerà un’altra importante proprietà del metodo DEA.

Prendendo ad esempio il punto A nella figura 3.3, esso può essere migliorato attraverso due differenti vie. La prima è ottenuta riducendo l’input (numeri di commessi) al punto A1 con

coordinate (1.1), la seconda aumentando l’output ad A2 (2,2). In generale ciascun punto del

segmento ̅̅̅̅̅̅̅ è ottimo per A e quindi in grado di aumentare la sua efficienza.

FIGURA 3.3 MIGLIORAMENTO DELL’EFFICIENZA DEL NEGOZIO A

Questo semplice caso porta in evidenza un risultato molto importate: il “rapporto di rapporti” determinato dalla (3.2), a differenza del più comune rapporto esaminato nella (3.1), elimina qualsiasi problema di unità di misura per gli input e output considerati. Per esempio, se le vendite fossero state misurate in unità di 100 euro, il rapporto di F sarebbe cambiato da 0,4 a 4 mentre il valore della (3.2) non sarebbe variato, rimanendo costante a 0,4. Questa caratteristica viene comunemente definita “proprietà di invarianza dall’unità” e rappresenta una sorta di efficienza relativa dell’entità valutata – nel caso specifico F – rispetto alla migliore del campione.

A B A₁ A₂ 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0 1 2 3 4 Ven d ite Commessi

59