Per a convincersi fino in fondo delle dinamiche mostrate, si studino con Spice per i due seguenti casi:
v0 = 10, R1 = R2 = 1, C = 4 mF, α = 0.5 ; v0 = 10, R1 = R2 = 1, C = 4 mF, α = 1.5 .
Nel primo caso, si troverà una costante di tempo positiva e pari a τ = 1 ms; nel secondo, la costante di tempo è negativa e vale τ = - 1 ms.
In definitiva, le dinamiche che si instaurano in un circuito in cui siano presenti generatori controllati possono essere non convergenti col passare del tempo.
t = 0
R L
1
0 j(t)
iR(t)
iL(t) T
Figura 7.27: transitorio con forzamento sinusoidale.
La rete è a riposo prima che l’interruttore commuti e, pertanto, la corrente nell’induttore, che è l’unica variabile di stato presente nella rete, essendo nulla per t < 0, si mantiene continua anche nell’istante di commutazione. Ciò comporta che, in t = 0, si può assumere
iL(0) = 0 ,
che costituirà la condizione iniziale per la soluzione del transitorio.
Applicando le leggi di Kirchhoff alla rete una volta che il generatore di corrente sia stato collegato alla rete, si può scrivere il seguente sistema costituito dalle due seguenti equazioni:
iR + iL = j prima legge al nodo 1 , R iR = L diL
dt seconda legge alla maglia R - L .
Questo sistema, eliminando la corrente iR(t) dalla seconda equazione, può essere ridotto all’unica equazione differenziale
L R diL
dt + iL = j .
Riassumendo, la corrente che circola nell’induttore dopo la commutazione dell’interruttore si può descrive per mezzo del sistema, equazione differenziale e condizione iniziale,
diL
dt + iτL = Iτ sen(ωt) , per t > 0 , iL(0) = 0 ,
in cui si è introdotto, come d’abitudine, la costante di tempo del circuito τ = L
R = 1 2π ms .
La soluzione dell’equazione omogenea vale iL0(t) = K e-t/τ ,
mentre la ricerca di un integrale particolare può essere fatta osservando il termine noto dell’equazione differenziale, il cosiddetto forzamento: dato si tratta di una funzione trigonometrica, possiamo cercare un integrale particolare nella classe delle funzioni trigonometriche della stessa pulsazione
iLp(t) = K1 cos(ωt) + K2 sen(ωt) ,
dove K1 e K2 sono due costanti da determinare. Imponendo che l’integrale particolare sia una soluzione della nostra equazione differenziale, risulta
K1
τ + ω K2 = 0 , K2
τ - ω K1 = Iτ .
Il precedente sistema di equazioni, che governa il valore delle due costanti indeterminate, è stato ottenuto imponendo che la forma funzionale scelta per l’integrale particolare sia soluzione del nostro problema e raccogliendo i termini in coseno e poi quelli in seno ad ambo i membri dell’equazione così ottenuta. Esso viene poi facilmente esplicitato, ottenendo
K1 = - I ωτ
1 + (ωτ)2 , K2 = I 1 1 + (ωτ)2 .
Tornando all’integrale particolare, esso deve assumere la forma iLp(t) = I
1 + (ωτ)2 - ωτ
1 + (ωτ)2 cos(ωt) + 1
1 + (ωτ)2 sen(ωt) ,
che può essere semplificata ponendo sen ϕ = ωτ
1 + (ωτ)2 , cos ϕ = 1
1 + (ωτ)2 ,
relazioni che si spiegano facilmente osservando il triangolo di Figura 7.28.
ωτ 1 + (ωτ)2
1 ϕ
Figura 7. 28: definizione dell’angolo di fase ϕ.
Sostituendo, si può scrivere l’integrale particolare iLp(t) = I
1 + (ωτ)2 - sen ϕ cos(ωt) + cos ϕ sen(ωt) = I sen(ωt - ϕ) 1 + (ωτ)2 . Pertanto, l’integrale generale della nostra equazione differenziale è pari a
iL(t) = I sen(ωt - ϕ)
1 + (ωτ)2 + K e-t/τ .
Imponendo, infine, la condizione iniziale, è possibile facilmente determinare la costante di integrazione K, vale a dire che
iL(t) = I
1 + (ωτ)2 sen(ωt - ϕ) + e-t/τ sen ϕ .
Sostituendo i valori numerici, si verifica agevolmente che l’angolo ϕ vale ϕ = arctan(ωτ) = arctan(1) = π
4 .
La Figura 7.29 riporta sia la soluzione completa, a tratto pieno, sia il solo integrale particolare, tratteggiato, cioè la corrente che circola nel circuito a transitorio
terminato. Come è evidente, dopo un intervallo abbastanza breve, i due andamenti risultano indistinguibili. Deve, infatti, essere
iL(t) ≅ I sen(ωt - ϕ)
1 + (ωτ)2 , per t » τ ,
e questa corrente è proprio quella che, nel prossimo capitolo, si imparerà a determinare rapidamente con il metodo dei fasori. Si tratta, in altri termini, della soluzione asintotica.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
t (ms) iL(t)
iLp(t)
Figura 7.29: andamenti della corrente del generatore e dell’induttore.
Proprio in questa uguaglianza sta tutta la forza del metodo simbolico: esso ci consente di ottenere le soluzioni di regime quando il circuito è forzato da soli generatori sinusoidali, aventi tutti la stessa pulsazione, senza ricorrere al complicato apparato di equazioni differenziali. Esso, in altri termini, è un metodo che consente di operare con le reti in regime sinusoidale per trovare la soluzione per mezzo di tecniche algebriche nel campo complesso.
Non resta che fornire il listato Spice per simulare la rete e controllare i risultati trovati; la nuova istruzione
IJ 0 1 sin(0 2 1k 0 0) ,
consente di simulare un generatore sinusoidale di ampiezza 2 ampere e frequenza pari a 1 kHz.
Esempio 8
*Transitorio con forzamento sinusoidale IJ 0 1 sin(0 2 1k 0 0)
R0 1 0 1
L0 1 0 159.155u IC=0
.TRAN 1u 3m UIC
.PROBE .END
Nel caso generale, questa istruzione introduce un generatore di corrente, ma potrebbe essere usata con altrettanto successo per un generatore di tensione, dipendente dal tempo secondo la relazione:
iG(t) = I0 , per 0 ≤ t ≤ TD ;
I0 + IA e- δ (t - TD) sen 2πf (t - TD) , per TD ≤ t ≤ TSTOP . La sintassi per un tal generatore connesso tra i nodi 1 e 0 è
IG 0 1 sin(I0 IA f TD δ) , dove i diversi parametri rappresentano
I0 il valore iniziale,
IA il valore massimo della sinusoide, f la frequenza,
TD il tempo di ritardo, δ il fattore di attenuazione.
La corrente I0 è un valore costante di corrente che, nel caso in esame, è stata considerata nulla; IA è, invece, il valore massimo della sinusoide, pari a 2 volt nel caso in esame. Il tempo ‘TD’ rappresenta un certo ritardo, assente nell’esempio, e che consente di non far partire la sinusoide dall’istante t = 0, ma dall’istante TD. La frequenza della funzione sinusoidale è f ed, infine, la quantità δ, misurata in s-1, rappresenta un’eventuale attenuazione che è possibile aggiungere alla sinusoide:
anch’essa è stata assunta nulla.
TD TSTOP iG(t)
I0
Figura 7.30: funzione sinusoidale smorzata.
Per non lasciare troppo nel vago le definizioni riportate, la Figura 7.30 li riassume tutti ed aiuta a ricordarli. Se non altrimenti specificato, l’attenuazione δ ed il tempo di ritardo TD vengono assunti pari a zero, mentre, se non venisse indicata esplicitamente, la frequenza sarebbe assunta pari a 1/TSTOP: è abitudine diffusa dire che questi sono i valori assunti per ‘default’ dal compilatore. Per evitare qualunque confusione, comunque, si è preferito riportarli tutti.