Coefficiente di assorbimento nel DKP

Applichiamo la trattazione del DKP in un sistema di taglia finita al calcolo del coefficiente di assorbimento ottico con la teoria appena descritta. In questo ca- so conviene esplicitare la dipendenza dell’autovalore κ dagli autovalori m e λ (Sec.2.2.1), scriveremo perci`o, a costo di appesantire un po’ la notazione, κλ,m. Applicando la (3.23), a temperatura zero ed energia di Fermi nulla, si ha

P = g πR2 X m0 X κ−1,m0 X m X κ1,m 2π ~ |hψ−1,m0_,κ −1,m0| ˆHint|ψ1,m,κ1,mi| 2_× δ(~vF(κ1,m+ κ−1,m0) − ~ω) . (3.31)

Per quanto riguarda gli elementi di matrice dell’Hamiltoniana di interazione, la simmetria cilindrica ci permette di ottenere una regola di selezione per la quale gli spinori con autovalore m si accoppiano solo con gli spinori di autovalore m ± 1

(Fig.3.12). Si ha quindi hψ−1,m0_,κ −1,m0| ˆHint|ψ1,m,κ1,mi = δm0_,m+1ievFπ ω (Ex− iEy) R Z r0 ψ_−1,m+1,κ(1)∗ _−1,m+1ψ(2)_1,m,κ 1,m(r)rdr+ δm0_,m−1ievFπ ω (Ex+ iEy) R Z r0 ψ_{−1,m−1,κ}(2)∗ _−1,m−1ψ_1,m,κ(1) 1,m(r)rdr . (3.32)

Mettendo insieme i vari contributi, contraendo la somma su m0 e definendo l’energia del fotone εph= ~ω si ottiene

η(εph) = α8π 3_g~v F Rεph X m X κ1,m  X κ−1,m+1     R Z r0 ψ_−1,m+1,κ(1)∗ _−1,m+1ψ(2)_1,m,κ 1,m(r)rdr     2 × δ  Rκ1,m+ Rκ−1,m+1− Rεph ~vF  + X κ−1,m−1     R Z r0 ψ(2)∗−1,m−1,κ−1,m−1ψ (1) 1,m,κ1,m(r)rdr     2 × δ  Rκ1,m+ Rκ−1,m−1− Rεph ~vF  . (3.33)

Gli integrali in (3.33) non sono calcolabili analiticamente. Procediamo quindi in maniera numerica. `E necessario, anche in questo caso, trattare le funzioni Delta per poter implementare il calcolo numerico. Procediamo “allargando” queste funzioni sostituendole con delle Lorentziane opportunamente normalizzate [44]:

δ(x) → 1 π

µ

x2_{+ µ}2 . (3.34)

Il parametro µ controlla questo allargamento ed andr`a scelto di un valore tale da essere compatibile con la spaziatura dei livelli.

Visto che stiamo lavorando su campioni di taglia finita il coefficiente di as- sorbimento dipender`a intrinsecamente dalla dimensione R del sistema. Ha senso quindi studiare la differenza fra il coefficiente di assorbimento con e senza impu- rezza in un sistema a dimensione fissata. Denoteremo il coefficiente di assorbi- mento del sistema a dimensione finita senza impurezza come η_free(ε_ph). Il valore

Figura 3.12: Rappresentazione schematica di una transizione ottica nel problema DKP

in un campione di taglia finita. Lo stato finale pu`o avere momento angolare m0 = m ± 1. Le linee tratteggiate segnano lo zero dell’energia ed i cut-off inferiore e superiore.

massimo di εph che prenderemo in esame `e legato al cut-off sull’energia degli stati

εmax dalla conservazione dell’energia per la transizione (Fig. 3.12)

εph. 2εmax . (3.35)

Prendiamo εmax ≈ 0.5 eV, quindi un energia del fotone non oltre lo spettro

infrarosso, per rimanere ampiamente entro il regime di validit`a del modello dei fermioni di Dirac senza massa.

Definiti poi ¯η e ¯ηfree i coefficienti di assorbimento mediati sull’intero spettro

energetico nel caso con impurezza e nel caso libero rispettivamente, studieremo la loro differenza relativa.

Le figure3.13e3.14riassumono i risultati numerici principali di questo lavoro di Tesi. Dalla Fig.3.13(a) si nota subito che la differenza relativa fra i coefficienti di assorbimento libero ed in presenza di impurezza `e dell’ordine di 10−2 per valori di carica fino a Z ≈ 3 e raggio del sistema R = 50 nm. Gli effetti ai bordi del- l’intervallo di energia del fotone sono piuttosto pronunciati e derivano da cause differenti. Al bordo inferiore (fotone di bassa energia) le transizioni avvengono fra stati aventi piccole energie ed il loro numero `e basso. Al bordo superiore (fotone di alta energia) le transizioni avvengono fra stati con energia vicina a quella di cut-off ed il contributo degli stati oltre il cut-off, pesati con le code delle Lorentziane, `e assente. Non si notano particolari energie di risonanza. Il coefficiente di assorbimento relativo, mediato sull’energia, rimane circa costante al variare della carica dell’impurezza nel regime subcritico per poi diminuire sen-

(a)

(b)

Figura 3.13: (a) Differenza relativa fra il coefficiente di assorbimento di un campione di

grafene di taglia finita con e senza impurezza di Coulomb al variare di β < 0, in funzione di εph. Ai fini di ridurre le fluttuazioni stocastiche `e stato fatto un fit con un polinomio di

quarto grado. I valori di β dalla curva pi`u scura alla pi`u chiara sono −0.1, −0.45, −1.0, −1.5. In (b) la differenza relativa della media su εph del coefficiente di assorbimento in

funzione di |β|. La linea tratteggiata a |βc| = 1/2 delimita i due regimi caratteristici del

DKP. I parametri spaziali sono R = 50 nm e r0= 0.1 nm, per il calcolo sono stati usati

sibilmente oltrepassato il valore critico (Fig.3.13(b)). Una misura accurata delle propriet`a di assorbimento ottico permetterebbe di discriminare sperimentalmente la transizione al regime supercritico.

Variando le dimensioni del sistema la Fig. 3.14(a) mostra il decrescere del coefficiente di assorbimento relativo al decrescere del raggio R. Come gi`a accen- nato, possiamo fare una stima sul coefficiente di assorbimento di un campione di grafene con una certa densit`a di impurezze n_imp considerando, per il nostro sistema di area circolare con una singola impurezza,

nimp =

1

πR2 . (3.36)

Dalla Fig.3.14(b) riconosciamo distintamente un andamento lineare perci`o pos- siamo stimare, dal fit con una retta passante per l’origine,

η = ηfree(1 − ςnimp) (3.37)

ς ≈ 66 nm2 . (3.38)

ς rappresenta quindi una superficie caratteristica attorno all’impurezza entro la

quale il sistema `e trasparente all’onda elettromagnetica incidente. Da questa superficie, supposta circolare per simmetria, si ricava il raggio caratteristico % ≈ 4.6 nm.

(a)

(b)

Figura 3.14: (a) Differenza relativa fra il coefficiente di assorbimento di un campione

di grafene di taglia finita con e senza impurezza di Coulomb al variare della dimensione, in funzione di εph. Ai fini di ridurre le fluttuazioni stocastiche `e stato fatto un fit con un

polinomio di quarto grado. I valori di R dalla curva pi`u scura alla pi`u chiara sono 75 nm, 50 nm, 33 nm, 25 nm. In (b) la differenza relativa della media su εph del coefficiente di

assorbimento in funzione di nimp = 1/(πR2). Viene rappresentato anche il fit con una

retta passante per l’origine (linea tratteggiata). I restanti parametri sono β = −0.6 e

In questo lavoro di Tesi ci siamo occupati dello studio di una impurezza cari- ca depositata su un foglio di grafene non drogato. Pi`u precisamente, abbiamo innanzitutto riprodotto vari risultati esistenti in letteratura riguardanti la solu- zione esatta del problema detto, che nella Tesi abbiamo denominato “problema di Dirac-Kepler”. Matematicamente, tale problema consiste nella soluzione di un problema agli autovalori posto da una equazione di Dirac-Weyl per fermioni a massa nulla in due dimensioni spaziali ed in presenza di un potenziale centra- le Coulombiano. Abbiamo presentato la soluzione del problema sia in un foglio di grafene spazialmente illimitato che in un disco di grafene di raggio R (mol- to maggiore della distanza tra due atomi di Carbonio in un foglio di grafene imperturbato). Nel secondo caso abbiamo risolto il problema con condizioni al bordo di tipo “zigzag” (annullamento di una componente dello spinore sul bordo del cerchio di raggio R). In accordo con quanto esiste in letteratura, abbiamo trovato che il problema di Dirac-Kepler nel grafene ammette soluzioni con carat- teristiche fisiche molto diverse. Per valori sufficientemente bassi della costante di accoppiamento, le soluzioni sono nel regime sub-critico con una densit`a indotta spazialmente che risulta confinata sopra l’impurezza (funzione Delta di Dirac, e dunque senza lunghezza scala). Per valori sufficientemente grandi della costante di accoppiamento invece le soluzioni sono di tipo super-critico con una densit`a indotta che sviluppa una coda a legge di potenza del tipo r−2 a grandi distanze (nel caso di un foglio di grafene illimitato). Tutti questi risultati sono riassunti con adeguato dettaglio matematico nel Capitolo due di questa Tesi. Nel Capitolo 3 abbiamo usato questi risultati per calcolare l’assorbimento ottico di un disco di grafene in presenza di un’impurezza Coulombiana, problema non ancora affron- tato nella letteratura e quindi originale. Scopo del lavoro di Tesi era di capire se misure di spettroscopia ottica possono indicare il passaggio dal regime subcritico a quello supercritico. Come dettagliato nel Capitolo 3, i nostri risultati numerici

danno risposta affermativa a questo quesito.

Questa Tesi potr`a essere sviluppata in almeno due direzioni. Da un lato vor- remo capire l’impatto delle interazioni elettrone-elettrone nel problema di Dirac- Kepler, fino ad ora trascurato in letteratura. Da un altro lato, per motivi tecno- logici, sarebbe molto interessante per applicazioni nel campo dell’optoelettronica capire come ridurre l’assorbimento di un foglio di grafene al di sotto del valore universale πα ∼ 2.3% discusso nell’Introduzione di questa Tesi (Capitolo uno). Sulla base dei risultati preliminari presentati nel Capitolo 3 deduciamo che siste- mi di impurezze sparse in un foglio di grafene potrebbero avere l’effetto voluto. Queste speculazioni verranno studiate in dettaglio nei prossimi mesi.

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