2.3
Coefficiente di generazione dell’energia
Trattiamo ora la terza e ultima relazione caratteristica, riguardante il tasso di energia per unit`a di massa ε, che dipende dalla sorgente energetica.
I possibili processi di produzione di energia stellare sono tre: la contrazione, le reazioni chimi- che e le reazioni nucleari. ´E tuttavia possibile escludere la contrazione e le reazioni chimiche dai candidati principali alla produzione di energia nelle fasi di equilibrio della vita della stella. Questo `e dovuto al fatto che i tempi in scala delle due sorgenti non corrispondono a quanto osserviamo dalla Terra.
Prendendo ad esempio il caso del Sole, il tempo in scala dinamico, ossia il tempo necessario al collasso se `e rimossa la pressione interna, `e di circa 30 minuti. Questo risultato deriva dal rapporto tra il raggio R e la velocit`a di fuga vf, ovvero τdin= vRf.
In particolare, vf =
q
2GM R .
Unendo i due contributi si ha
τdin=
r R3
2GM.
Studiamo ora il tempo di emissione della riserva di energia sotto forma di radiazione termica che mantenga costante la luminosit`a. Per quanto abbiamo visto dallo studio del Teorema del Viriale, nella sezione 1.3.2, e per quanto osservato in 1.4.2, l’energia totale risulta pari a met`a dell’energia potenziale gravitazionale11.
Abbiamo, dalla sezione 1.1, che l’energia potenziale gravitazionale di una sfera `e data da U = −GMR2.
Calcoliamo il tempo scala termico uguagliando l’energia con la luminosit`a per il tempo scala di emissione12 |Etot| = −1 2U = GM 2 2R = τKHL, da cui τKH = GM2 2RL.
Per il Sole risulta un tempo scala termico di circa 20 milioni di anni. Anche in questo caso, come per la contrazione, il risultato ottenuto non pu`o giustificare l’et`a stimata per la nostra stella a partire dalle evidenze geologiche e biologiche rinvenute sulla Terra, che fanno ipotizzare una stabilit`a del Sistema Solare di almeno 4,5 miliardi di anni.
11Vedi in particolare l’equazione (1.10).
12L’indice KH si riferisce ai due fisici Lord Kelvin (Belfast 1824 - Largs 1907) e Hermann von Helmholtz
Possiamo quindi concludere che la sorgente di energia `e principalmente costituita dalle reazioni nucleari che avvengono nella parte pi`u interna della stella. Il tempo scala nucleare, ossia il tempo necessario a bruciare tutto il combustibile disponibile, risulta essere per il Sole τnuc ≈
7 · 109anni. Questo risultato deriva dal fatto che l’energia rilasciata della fusione di un grammo di Idrogeno in Elio `e 6 × 1018erg. Posto q la frazione di combustibile disponibile nel nucleo (per il Sole q = 0, 1) e X la frazione di massa di idrogeno inizialmente presente (nel caso solare X=0,7), si ha
τnuc=
qX M× 6 × 1018erg g−1
L .
L’efficienza di produzione dell’energia dipende dal processo che avviene. Le reazioni nu- cleari negli interni stellari si articolano infatti in diversi meccanismi. Si tratta di combustioni successive che partono dalla fusione dell’Idrogeno, disponibile gi`a dalla formazione della stella perch´e presente nel mezzo interstellare, e producono atomi sempre pi`u pesanti, all’aumentare della temperatura, fino alla combustione del Silicio in Ferro. A quel punto la fusione nucleare si ferma perch´e non `e pi`u efficiente nella produzione di energia. In particolare nelle fasi di bru- ciamento di Idrogeno ed Elio, i meccanismi pi`u importanti sono la Catena protone-protone che, a partire da 4 protoni origina un atomo di Elio, per temperature inferiori a 20 milioni di Kelvin e masse stellari inferiori a 1, 5 masse solari; il Ciclo CNO che forma un atomo di Elio a partire da 4 protoni, con l’ausilio di un elemento pesante come Carbonio, Azoto o Ossigeno che funge da catalizzatore della reazione, per temperature comprese tra 20 milioni e 108 Kelvin e masse superiori a 1, 5 masse solari; la reazione Tripla α per temperature superiori a 108 Kelvin, che causa il bruciamento di Elio in Carbonio e Ossigeno.
Il risultato dei processi di fusione `e il rilascio di energia con consumo del carburante nucleare. Quello che avviene in questi meccanismi `e il mescolamento di due nuclei atomici che generano un nuovo nucleo di massa inferiore alla somma delle masse degli elementi di partenza. Questo difetto di massa ∆m `e convertito in energia per effetto della legge E = mc2.
Pi`u aumenta la temperatura, pi`u vengono generati elementi pesanti, che richiedono un’energia maggiore per la combustione, e pi`u aumenta il tasso di energia per unit`a di massa, ossia l’effi- cienza ε della stella nel produrre energia.
L’efficienza dipende fortemente della temperatura e non `e facilmente esprimibile come leg- ge di potenza. Si pu`o tuttavia ricavare una proporzionalit`a:
ε = ε0ρ Tv con v= dlnε dlnT ρ . (2.11) L’esponente v non `e costante ed `e funzione della temperatura. Derivando il logaritmo
2.3 Coefficiente di generazione dell’energia 2. Relazioni caratterizzanti degli interni stellari definito in (2.11) e operando a densit`a costante si ottiene13
εpp = ε1ρ X2T vpp
6 con vpp= [3, 5 − 6]; (2.12)
εCNO= ε2ρ X XCNOT6vCNO con vCNO= [13 − 20]; (2.13)
ε3α = ε3ρ2Y3T6v3α con v3α = [20 − 30] (2.14)
dove T6 `e un coefficiente adimensionale che esprime la temperatura in milioni di gradi.
La Figura 2.4 riporta graficamente l’efficienza nella produzione di energia dei processi Ca- tena protone-protone, Ciclo CNO e reazione Tripla α in funzione della temperatura.
Figura 2.4: Relazione tra efficienza e temperatura nei processi di fusione. Fonte: [7] Wikipedia, l’enciclopedia libera.
L’efficienza totale ε `e la somma dei contributi in (2.12), (2.13) e (2.14).
Tasso di energia per unit`a di massa
ε = εpp+ εCNO+ ε3α (2.15)
13Gli indici pp, CNO, 3α si riferiscono rispettivamente alla Catena protone-protone, al Ciclo CNO e alla
Condizioni al bordo e modello risolutivo
Nei capitoli precedenti abbiamo analizzato la relazione che intercorre tra le diverse variabili che entrano in gioco nei processi che conducono la stella all’equilibrio, arrivando alla formulazione di un sistema di quattro equazioni differenziali non lineari a coefficienti non costanti, riassunte in 1.6, e di tre relazioni caratteristiche (2.8), (2.9) e (2.15). Abbiamo in questo modo ottenuto un sistema di sette equazioni in sette incognite.