Comportamento al variare della frequenza

G₀(θ_inc, ρ) = ^{p11(θinc)ρ + p21(θinc)}

ρ2+ q₁₁(θ_inc)ρ + q₂₁(θ_inc)^{, θinc= 0, 10, . . . , 180 (2.4)} I coefficienti validi per ciascun angolo e gli errori RMS, sui quali si discuter`a in seguito, sono riportati in Tabella 2.1. Per valutare il guadagno corrispondente agli angoli inter-medi ai 19 presi in esame `e stata utilizzata una semplice interpolazione lineare.

2.2.2 Comportamento al variare della frequenza

Il passo successivo `e stato l’analisi per le frequenze diverse da zero, campionando l’NFTF ad intervalli di 10 Hz fino ai 15 KHz e impiegando le ben note 250 distanze. An-cora una volta `e stata effettuata una normalizzazione, dividendo l’NFTF per il guadagno

Capitolo 2. Modello di STF nel campo vicino 13

DC:

ˆ

H_{N F} = ^{HN F(ρ, µ, θinc)}

G₀(θ_inc, ρ) ^{. (2.5)}

Figura 2.3: Andamento in frequenza dell’NFTF normalizzata per ρ = 1.25.

Il comportamento in frequenza dell’NFTF normalizzata `e riportato in Figura 2.3 per un unico valore d’esempio di ρ = 1.25, corrispondente al near field, e per i soliti 19 angoli. Si noti come il guadagno DC rappresenti il massimo per ciascuno degli angoli e come l’andamento vari da quello di un filtro shelving per gli angoli d’incidenza ipsilaterali (prossimi a 0<sup>◦</sup>) a quello di un filtro passa basso per i controlaterali (prossimi a 180<sup>◦</sup>). Per simulare questo comportamento per mezzo di una funzione di trasferimento potrebbe essere una buona idea impiegare un filtro shelving per angoli piccoli, per poi passare ad un filtro passa basso a partire da una certa frequenza in poi. Tuttavia questo metodo `e sconsigliato in quanto, nel passaggio per la frequenza di stacco, si sentirebbero artefatti nel suono; inoltre, un filtro passa basso introdurrebbe un’attenuazione troppo elevata per le alte frequenze.

Si `e allora optato per l’utilizzo di un filtro shelving per alte frequenze del primo ordine per tutto il range di angoli d’incidenza. La legge del filtro `e riportata di seguito [13]:

H_sh(z) = 1 +^H0 2  1 − ^z −1+ a_c 1 + acz−1  , (2.6) a_c = V₀tan^π^fc fs  − 1 V₀tan^π^fc fs  + 1 , V₀ = 10^G∞20 , H₀ = V₀− 1, (2.7)

14 2.2. Sintesi della funzione di trasferimento θ_inc p₁₂ p₂₂ q₁₂ q₂₂ RMS [dB] 0^◦ -4.391 2.123 -0.55 -0.061 0.0007 10^◦ -4.314 -2.782 0.59 -0.173 0.0016 20^◦ -4.18 4.224 -1.006 -0.021 0.0057 30^◦ -4.012 3.039 -0.563 -0.316 0.0116 40^◦ -3.874 -0.566 0.665 -1.129 0.0199 50^◦ -4.099 -34.74 11.39 -8.301 0.039 60^◦ -3.868 3.271 -1.571 0.637 0.0151 70^◦ -5.021 0.023 -0.875 0.325 0.0097 80^◦ -6.724 -8.965 0.37 -0.083 0.0112 90^◦ -8.693 -58.38 5.446 -1.188 0.0179 100^◦ -11.17 11.47 -1.131 0.103 0.0217 110^◦ -12.08 8.716 -0.631 -0.12 0.0069 120^◦ -11.13 21.8 -2.009 0.098 0.0018 130^◦ -11.1 1.91 0.15 -0.401 0.0008 140^◦ -9.719 -0.043 0.243 -0.411 0.0014 150^◦ -8.417 -0.659 0.147 -0.344 0.0012 160^◦ -7.437 0.395 -0.178 -0.184 0.0006 170^◦ -6.783 2.662 -0.671 0.05 0.0006 180^◦ -6.584 3.387 -0.836 0.131 0.0008

Tabella 2.2: Coefficienti per l’equazione sul guadagno all’infinito ed errore RMS. dove f_s `e la frequenza di campionamento. G∞, il guadagno in alta frequenza, `e stato estratto da ˆH_{N F} e corrisponde al guadagno in decibel dell’NFTF normalizzata a 15 KHz. f_c, la frequenza di taglio, `e stata calcolata come la frequenza in corrispondenza della quale ˆH<sub>N F</sub> possiede un guadagno in dB negativo che approssima i due terzi del guadagno in alta frequenza; tale valore `e stato scelto in seguito a considerazioni euristiche.

Analizzando G∞ e f_c lungo le singole direzioni, ancora una volta si `e optato per funzioni razionali del secondo ordine per approssimarne l’andamento:

˜

G∞(θinc, ρ) = ^{p12(θinc)ρ + p22(θinc)}

ρ2+ q₁₂(θ_inc)ρ + q₂₂(θ_inc)^{, (2.8)}

˜

f_c(θ_inc, ρ) = ^p13ρ

2 + p₂₃(θ_inc)ρ + p₃₃(θ_inc)

ρ2+ q₁₃(θ_inc)ρ + q₂₃(θ_inc) ^{. (2.9)} I coefficienti per ciascun angolo e gli errori RMS sono riportati nelle Tabelle 2.2 e 2.3. Ancora una volta si `e fatto uso dell’interpolazione lineare per gli angoli intermedi.

Lo schema generale impiegato per realizzare l’intera funzione di trasferimento `e ripor-tato in Figura 2.4. Si noti come il segnale in ingresso al filtro H_sh venga moltiplicato per il guadagno ˜G₀ calcolato nell’equazione 2.4, producendo la funzione NFTF; moltiplicando poi quest’ultima per la funzione di trasferimento che non tiene conto della distanza, per il teorema di convoluzione si ottiene l’STF. Nel blocco denominato Parameter extraction

Capitolo 2. Modello di STF nel campo vicino 15 θ_inc p₁₃ p₂₃ p₃₃ q₁₃ q₂₃ RMS [Hz] 0^◦ 0.457 -0.668 0.174 -1.746 0.699 1.19 10^◦ 0.455 0.142 -0.115 -0.01 -0.348 0.92 20^◦ -0.87 3404 -1699 7354 -5350 3.36 30^◦ 0.465 -0.913 0.437 -2.181 1.188 7.01 40^◦ 0.494 -0.669 0.658 -1.196 0.256 19.14 50^◦ 0.549 -1.208 2.02 -1.59 0.816 30.67 60^◦ 0.663 -1.756 6.815 -1.296 1.166 21.65 70^◦ 0.691 4.655 0.614 -0.889 0.76 60.32 80^◦ 3.507 55.09 589.3 29.23 59.51 29.59 90^◦ -27.41 10336 16818 1945 1707 36.16 100^◦ 6.371 1.735 -9.389 -0.058 -1.118 4.54 110^◦ 7.032 40.88 -44.09 5.635 -6.18 2.53 120^◦ 7.092 23.86 -23.61 3.308 -3.392 2.72 130^◦ 7.463 102.8 -92.27 13.88 -12.67 2.33 140^◦ 7.453 -6.145 -1.809 -0.877 -0.19 2.9 150^◦ 8.101 -18.1 10.54 -2.23 1.295 5.28 160^◦ 8.702 -9.05 0.532 -0.96 -0.023 2.15 170^◦ 8.925 -9.03 0.285 -0.905 -0.079 3.71 180^◦ 9.317 -6.888 -2.082 -0.566 -0.398 3.87

Tabella 2.3: Coefficienti per l’equazione sulla frequenza di taglio ed errore RMS.

Figura 2.4: Schema a blocchi completo che rappresenta il modello che tiene conto della distanza.

16 2.3. Validit`a del modello e considerazioni finali

vengono calcolati, previa interpolazione lineare sull’angolo, i parametri ˜G₀, ˜G_∞ e ˜f_c che serviranno per la realizzazione dell’intero filtro.

2.3 Validit`a del modello e considerazioni finali

`

E legittimo domandarsi se le NFTF individuate racchiudano in s´e le informazioni sulla distanza proprie delle HRTF; tuttavia, le registrazioni di HRTF finora sono state perlopi`u effettuate nel far field, rendendo difficile trarre delle conclusioni. Ad ogni modo, l’approssimazione della testa con una sfera nel near field `e stata verificata da vari studi, almeno per le basse frequenze [6].

In secondo luogo `e opportuno esaminare lo scostamento tra NFTF normalizzate e relative approssimazioni mediante filtri shelving; a tale scopo sono stati confrontati i moduli di tali funzioni per tre diverse distanze. I risultati sono rappresentati in Figura 2.5.

Figura 2.5: Confronto tra modulo di NFTF normalizzate (a sinistra) e di filtri shelving approssimati (a destra) per ρ = 1.25, ρ = 4 e ρ = 16.

Capitolo 2. Modello di STF nel campo vicino 17

Come gi`a citato, per ciascuna delle funzioni razionali individuate per i tre parametri `e stato verificato lo scostamento tra l’originale e l’approssimazione calcolando l’errore RMS (root mean square); pi`u precisamente, tale errore `e stato calcolato per ogni angolo preso in esame considerando le ben note 250 distanze. Nel caso della tabella 2.1, relativa al guadagno DC, si `e riscontrata un’ottima corrispondenza dei risultati, con un errore RMS sempre minore a 0.01 dB. Lo stesso successo `e stato ottenuto per la tabella 2.2, relativa al guadagno all’infinito, con un errore RMS che non supera i 0.4 dB. Infine, per la tabella 2.3, che riporta i coefficienti relativi alla funzione ˜f_c, l’errore RMS `e risultato stare al di sotto della risoluzione minima di 10 Hz con cui sono state effettuate le analisi per quasi il 70% degli angoli d’incidenza considerati.

Figura 2.6: Distorsione spettrale del modello H_dist.

Per verificare la precisione di H_dist (vedere in Figura 2.4) dopo tutte le approssimazioni introdotte, `e stata effettuata una misura di distorsione spettrale:

SD = v u u t 1 N N X i=1  20 log₁₀|H(f_i)| | ˜H(f_i)| 2 [dB], (2.10)

18 2.3. Validit`a del modello e considerazioni finali

dove H `e la risposta originale (H<sub>N F</sub> in questo caso), ˜H la risposta approssimata (H<sub>dist</sub> in questa trattazione) e N il numero di frequenze prese in considerazione (tra 100 Hz e 15 KHz in questo lavoro). Per mezzo dell’interpolazione lineare dei parametri, l’errore `e stato calcolato anche per distanze intermedie; per determinare il modulo di H_dist si sono impiegate le solite 250 distanze e gli angoli sono stati presi ad intervalli di 5^◦, sempre tra 0^◦ e 180^◦.

La rappresentazione della distorsione `e illustrata in Figura 2.6. Dalla figura si evince come l’approssimazione sia eccellente quasi per l’intero near field, con una distorsione sempre inferiore a 1 dB eccetto per le distanze molto piccole in corrispondenza ai 90<sup>◦</sup>, com’`e facile intuire considerando che in questo caso il comportamento delle NFTF nor-malizzate `e una via di mezzo tra quello di un filtro shelving e un filtro passa basso. Si noti anche come pure per gli angoli intermedi, per i quali i parametri sono stati determina-ti facendo uso dell’interpolazione lineare, non vi siano scostamendetermina-ti inaccettabili, tranne un piccolo salto a θ<sub>inc</sub> = 5<sup>◦</sup> e ρ < 1.5. La bont`a del modello individuato impiegando l’interpolazione lineare rende ingiustificato l’uso di interpolazioni di ordine maggiore e superfluo un campionamento pi`u denso delle funzioni.

Per concludere, `e opportuno segnalare la distorsione pressoch´e nulla per valori di ρ elevati, che equivale a dire che H<sub>dist</sub> tende a 1 per ρ → ∞, confermando la validit`a del modello anche per il far field.

Una panoramica sui possibili sviluppi futuri e ulteriori considerazioni verranno esposti nell’ultimo capitolo, dopo aver illustrato nel dettaglio come `e stato realizzato nella pratica il lavoro di ricerca descritto poc’anzi.

Capitolo 3