Nel lavoro svolto si è dapprima cercato di raccogliere le convinzioni degli allievi sui problemi di matematica allo scopo di ottenere delle informazioni utili a strutturare un percorso di apprendimento mirato a costruire un contratto didattico più efficace nella risoluzione di problemi.
6.1. Risposta alla prima domanda di ricerca
Per rispondere alla prima domanda di ricerca (cfr. Paragrafo 3.2.1.) si è effettuata un’analisi della raccolta delle convinzioni nei confronti dei problemi di matematica da parte degli allievi, svolta tramite un questionario e 3 problemi iniziali (cfr. Paragrafo 5.1., Paragrafo 5.2.). L’analisi effettuata evidenzia, come ipotizzato a partire dal quadro teorico di riferimento (cfr. Paragrafo 2.), che in generale gli allievi qui considerati:
• pensano che tutti i problemi abbiano una soluzione, e che questa soluzione sia unica (cfr.
Figura 3 e Tabella 3);
• non hanno idea del concetto di approssimazione (cfr. Figura 5, Tabella 3).
6.2. Risposta alla seconda domanda di ricerca
Per quanto riguarda la prima parte della seconda domanda di ricerca (cfr. Paragrafo 3.2.2.) l’analisi dei risultati ottenuti in questo lavoro di ricerca, e soprattutto l’osservazione fatta in classe, hanno rivelato che durante un percorso di apprendimento specifico mirato alla rottura di tali convinzioni (cfr. Paragrafo 5.3., Paragrafo 5.4., Paragrafo 5.5) gli allievi sono diventati sempre più competenti nell’affrontare le diverse tipologie di problemi che non avevano affrontato precedentemente. Infatti durante il laboratorio si è riscontrato come gli allievi fossero meno perplessi di volta in volta: i primi esercizi proposti, quelli simili all’Âge du capitaine hanno lasciato la maggior parte degli allievi molto dubbiosi (alcuni allievi hanno infatti giudicato il problema “senza senso”), anche durante la messa in comune quando si è spiegato agli allievi che non vi erano informazioni a sufficienza per le quali si potesse dare una risposta alla domanda del problema, gli allievi erano ancora un po’ esitanti. Con il secondo, e ancora di più con il terzo tipo di problema, gli allievi erano già più fiduciosi del fatto che ci sarebbe stato un senso nell’attività svolta, un senso inteso come un nuovo apprendimento. Per quanto riguarda invece la seconda parte della seconda domanda di
ricerca (cfr. Paragrafo 3.2.2.), al termine dell’analisi svolta ai fini di ricercare un’eventuale evoluzione di classe all’interno di ciascuna tipologia di problemi (senza soluzione, con più soluzioni e con soluzioni approssimate) a distanza di tempo (cfr. Paragrafo 5.7.1, Paragrafo 5.7.2., Paragrafo 5.7.3.), si può concludere che l’evoluzione nelle modalità di affrontare i problemi non è stata uguale all’interno della stessa categoria: infatti per la tipologia di problemi senza soluzione, nonostante la discussione fatta in classe in seguito alla proposta dei problemi analoghi a l’Âge du capitaine, si è riscontrato un numero basso di allievi che hanno risposto criticamente al terzo e al quarto problema proposto (cfr. Figura 40). Nel terzo problema si chiedeva di determinare l’ampiezza del secondo angolo di una coppia di angoli consecutivi data l’ampiezza del primo, nel quarto si chiedeva di calcolare il perimetro di un triangolo che si vuole costruire con tre legnetti, le cui misure delle rispettive lunghezze erano date. Il fatto che quasi la totalità degli allievi ha sbagliato fa credere che probabilmente nell’ambito della geometria, a dipendenza di come il docente ha lavorato negli anni precedenti, vige un contratto didattico più forte. Se questo fosse il caso, bisognerebbe dunque continuare a lavorare nella direzione presa in questo lavoro al fine di mettere ulteriormente in crisi le convinzioni degli allievi, anche in più ambiti della matematica, per cercare di creare un contratto didattico sempre più efficace. Si è quindi consapevoli che non è sufficiente lavorare su alcuni problemi o all’interno di ambiti specifici per rompere alcune clausole legate al contratto didattico, poiché laddove il contratto didattico è più forte occorre porsi costantemente la questione di come aiutare gli allievi a romperlo in modo da riuscire ad assumere il necessario spirito riflessivo e critico per poter affrontare al meglio problemi in qualsiasi contesto e in qualsiasi ambito. Non si ottengono invece gli stessi risultati per le altre due tipologie di problemi con più soluzioni e con soluzioni approssimate. Dopo aver affrontato dei problemi di questo tipo per la prima volta infatti, e dopo una discussione collettiva, gli allievi sono riusciti ad essere critici anche di fronte a questi tipi di problemi in altri contesti e in altri ambiti. I problemi con soluzioni approssimate non hanno destabilizzato più di tanto gli allievi (cfr. Figura 42). Questo potrebbe essere dovuto al fatto che, durante il corso degli anni, sia alle elementari che all’inizio della prima
59 problemi, al controllo del senso del risultato, …). Tuttavia si è consapevoli che nella ricerca permangono delle difficoltà (legate al tempo e alla metodologia) e che il lavoro da svolgere per raggiungere l’obiettivo prefissatosi inizialmente è ancora lungo. Infatti lo sviluppo delle competenze sopracitate richiederebbe la continua e prolungata immersione in momenti capaci di mettere in crisi le convinzioni dell’allievo legate al contratto didattico e alla sua esperienza pregressa. Con maggiore tempo a disposizione (ad esempio potendo seguire allievi per 4 anni di Scuola Media), si potrebbero ideare e proporre diverse e più complesse situazioni-problema che permettano lo sviluppo di più competenze (come la capacità di astrazione, di esplorazione, di interpretare i risultati ottenuti, ecc.). Una possibile prospettiva futura potrebbe essere anche quella di svolgere una ricerca analoga in una classe di quarta media per verificare se si riscontrano gli stessi fenomeni (ad esempio il fenomeno che davanti ad un problema con più soluzioni ci si accontenta della prima che si trova). Oppure addirittura si potrebbero raccogliere dei dati svolgendo una ricerca analoga a questa per osservare se a distanza di 4 anni, vi è un’evoluzione, oppure no, all’interno dello stesso campione di questa ricerca in riferimento alle soluzioni di fronte alle stesse tipologie di problemi. Inoltre attualmente un’altra possibile pista di sviluppo di questa ricerca potrebbe essere quella di verificare l’esistenza di una correlazione tra le singole risposte degli allievi al questionario (cfr. Paragrafo 5.1.) quelle relative ai 3 problemi iniziali (cfr. Paragrafo 5.2.) e le risposte fornite in seguito. Ad esempio nei diagrammi a torta del paragrafo 5. (cfr. Figura 7, Figura 12, Figura 15, Figura 17, Figura 26, Figura 31) si potrebbe individuare chi ha risposto correttamente e chi no. La stessa analisi potrebbe essere svolta per gli esercizi proposti all’interno del programma scolastico annuale, così da verificare se vi sia un’evoluzione negli allievi aventi, inizialmente, maggiori convinzioni errate.
Grazie all’ultima analisi effettuata in questo lavoro (cfr. Paragrafo 5.7.) si è riscontrato che la tipologia di problemi senza soluzione è stata quella nella quale gli allievi hanno avuto più difficolta ad essere critici di fronte a problemi che esulavano dall’ambito numerico. In particolare, è risultato interessante il dato raccolto in occasione del problema sulla costruibilità del triangolo (cfr. Paragrafo 5.6.1.). Da un lato, un limite di questa ricerca è stato quello di non approfondire maggiormente questo aspetto, dall’altro lato, questo dato costituisce un’interessante pista di sviluppo. Per approfondire maggiormente questo aspetto si sarebbe dovuto individuarlo come obiettivo fin dall’inizio della ricerca, per poi adattare l’organizzazione dell’impianto metodologico rendendola idonea al perseguimento di tale obiettivo. Questo però non era lo scopo principale del presente lavoro. L’obiettivo di un possibile sviluppo della ricerca potrebbe dunque essere quello di
continuare a lavorare con questa tipologia di problemi, in diversi ambiti e a distanza di tempo, al fine di rompere il forte contratto didattico vigente tra docente e allievi.
Il limite maggiore legato alla metodologia di questa ricerca è quello dovuto al fatto che tenendo un diario spesso non si trascrive parola per parola e non si colgono tutti commenti interessanti per la ricerca perché il docente in classe non riesce ad ascoltare tutto. In prospettiva di una ricerca futura, per cercare di essere maggiormente oggettivi e per avere più informazioni dettagliate, si potrebbero quindi utilizzare dei videoregistratori per registrare le coppie o i gruppi mentre discutono di fronte a dei problemi non standard. Inoltre si potrebbero condurre anche delle micro-interviste per cogliere direttamente le osservazioni degli allievi.
Un altro limite di questo lavoro è sicuramente il numero ridotto del campione, il quale non permette di fare delle generalizzazioni.
6.4. Crescita come docente
Nella mia classe, come docente, grazie a questa ricerca ho potuto constatare in primo luogo la necessità di svolgere un percorso mirato alla rottura di inevitabili convinzioni di fronte ai problemi di matematica degli allievi e di come di alcune convinzioni da parte degli allievi un docente non può esserne a conoscenza se non proponendo determinati problemi che ne permettano l’evidenza. In secondo luogo è stato per me bellissimo notare un’evoluzione positiva della classe, osservando il gruppo e i singoli allievi settimana dopo settimana. Tuttavia sono cosciente di avere dinnanzi a me ancora tantissima strada da percorrere. Anche negli anni futuri dovrò quindi continuare a migliorarmi consultandomi con colleghi più esperti e soprattutto riflettendo sempre in maniera critica sul mio operato, affinché possa essere l’apprendimento degli allievi il maggiore beneficiario delle mie proposte didattiche.
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