In questo capitolo abbiamo usato l’analisi di derivati con metodi di teoria dei gio- chi per risolvere due classici problemi della contrattazione finanziaria, il problema della traslazione del rischio e il problema dell’osservabilit`a e abbiamo visto la relazione che li lega.
La traslazione del rischio sorge quando il mutuatario `e incentivato ad influenzare il rischio del suo progetto per incrementare il valore del suo payoff alle spese del mutuante. L’analisi fatta nella Sezione 2.2 rivela che esistono, in ogni momento, un numero infinito di regole di condivisione dei profitti che evitano la traslazione del rischio. Tuttavia, solo uno di questi contratti `e a prova di rinegoziazione: il contratto lineare di condivisione dei profitti, nel quale il mutante riceve una quota proporzionale del profitto lordo del progetto.
Il problema dell’osservabilit`a sorge quando il mutuante `e impossibilitato ad osservare il ritorno del progetto senza alcun costo. Se viene pattuito uno schema di condivisione lineare dei profitti al fine di evitare la traslazione del rischio, allora il mutuatario ha un incentivo a sottostimare il profitto del progetto. La ragione `e che facendo questo, egli
riduce la somma che deve dare al mutuante. Per risolvere il problema dell’osservabilit`a, pu`o allora essere concordato un pagamento fisso. In questo caso, il contratto tra mutuante e mutuatario prende la forma di un contratto di debito standard.
L’analisi presentata nella Sezione 2.3 dimostra che risolvere il problema dell’osser- vabilit`a attraverso un contratto di debito standard crea un problema di traslazione del rischio, e che ogni tentativo di risolvere il problema della traslazione del rischio con un contratto lineare di condivisione dei rischi crea un problema di rivelazione. Quindi tran- ne nel caso di un debito completamente garantito, che `e in effetti privo di rischio, non si riesce a risolvere i due problemi contemporaneamente. La ragione `e che gli incentivi a prendere dei rischi in un prestito non completamente coperto dalle garanzie sono ca- ratteristici delle responsabilit`a limitate e dell’associata struttura convessa dei payoff al mutuatario.
Capitolo 3
Applicazione del metodo: Corsa alle
banche
3.1
Introduzione
La corsa alle banche `e uno dei fenomeni pi`u impressionanti e inspiegabili nella storia delle banche. Avviene quando un elevato numero di clienti di una banca prelevano con- temporaneamente tutti i loro depositi per paura che la banca diventi insolvente (avendo probabilmente ricevuto negative informazioni sui profitti della banca). Tale avvenimento destabilizza la banca stessa, che spesso fallisce.
L’esistenza della corsa alle banche solleva alcune questioni:
∙ Quali sono gli effetti di incentivazione dovuti alla possibilit`a di corsa alle banche sulla politica di finanziamenti e investimenti della banca?
∙ Saranno d’accordo gli azionisti nel ricapitalizzare la banca se una corsa alle banche sembra essere imminente?
∙ Come la possibilit`a di corsa alle banche e le sue conseguenze influiscono sull’equilibrio del deposit spread (ovvero la differenza tra il tasso di interesse privo di rischio e il tasso di interesse pagato sui depositi) nell’economia?
Per rispondere a queste questioni, in questo capitolo consideriamo che, in tempi continui, i payoffs dei progetti in cui la banca ha investito possano essere incerti. Viene ricavata la condizione sotto la quale le banche sono vulnerabili alla corsa alle banche, e viene dimostrato che gli azionisti sono disposti di solito a ricapitalizzare la banca in modo da evitare le corse alle banche. La possibilit`a di corsa alle banche `e dimostrato avere un effetto disciplinante sulla politica di investimento delle banche. Quindi, nelle semplici impostazioni presentate qui, le corse alle banche avvengono di rado in condizioni di
di finanziamento delle banche stesse, inducendole a usare pi`u capitale societario. Infine, i determinanti dell’equilibrio del deposit spread sono analizzati.
3.2
Il modello
Consideriamo una banca con due risparmiatori 𝐴 e 𝐵, ciascuno dei quali avente un deposito di 𝑋0 unit`a di valuta al tempo iniziale 0. Supponiamo che per ogni unit`a di valuta versata in banca al tempo iniziale, gli azionisti aggiungano 𝑥 ≥ 0 unit`a di valuta del capitale. La banca investe queste somme di denaro in un attivit`a rischiosa con prezzo iniziale 𝑆0 = 𝑋0 e il cui valore 𝑆 segue un moto Browniano geometrico
d𝑆𝑡= 𝜇𝑆𝑡d𝑡 + 𝜎𝑆𝑡d𝐵𝑡 . (3.1)
Perci`o, il valore totale del bene della banca al tempo 𝑡 `e 2(1 + 𝑥)𝑆𝑡.
Assumiamo che un tasso di interesse continuo di 𝑟∗ venga pagato sui depositi e che il tasso di interesse privo di rischio sia 𝑟, dove 𝑟∗ < 𝑟. Quindi, il valore di ogni deposito al tempo 𝑡 `e dato da
𝑋(𝑡) = 𝑋0𝑒𝑟 ∗𝑡
. (3.2)
Inoltre, assumiamo che i risparmiatori possono in qualsiasi momento, senza alcun preav- viso, ritirare la somma totale del loro deposito. Se la banca deve liquidare il progetto in cui ha investito, deve, comunque, incorre in un costo proporzionale di 𝛼. Notiamo che in queste impostazioni, l’intermediazione finanziaria sar`a redditizia se i soldi rimarranno depositati abbastanza a lungo in modo che il differenziale di interesse (o deposit spread ) 𝑟 − 𝑟∗ ricavato dalla banca compone il costo atteso di liquidazione 𝛼.
L’analisi in questo capitolo non tiene conto dei possibili conflitti di interesse tra l’amministrazione della banca e gli azionisti. Per tutta la durata, si presume che la gestione della banca prenda decisioni che massimizzino il valore del patrimonio netto della banca.
La struttura del gioco tra la banca e i depositanti `e raffigurata in Figura 3.1. Per primo cosa, i possessori del capitale della banca decidono quanto capitale 𝑥 fornire alla banca per unit`a di depositi. In una seconda fase, i depositanti decidono se versare i propri risparmi in banca o meno. In una terza fase, la banca sceglie le sue strategie di investimento. Se una corsa alle banche sembra imminente, i possessori del capitale della banca devono decidere se ricapitalizzare la banca o no. Se lo fanno, essi immetteranno 𝑤 unit`a di capitale addizionale per unit`a di valore dei beni della banca. Infine, i depositanti decidono se correre alla banca o meno confrontando il valore nominale dei depositi e i valori totali dei beni (posto che siano osservabili). Se essi decidono di correre alla banca, i beni della banca vengono liquidati e vengono realizzati i payoffs.
Decisione di finanziamento della banca
Impegno di capitale x
Decisione di versamento dei depositanti
Si o No
Decisione di investimento della banca
Attività rischiosa Σ
Decisione di ricapitalizzazione della banca
Incremento di capitale w
Decisione di correre alle banche e payoffs
Proporzione tra i beni e i depositi
Figura 3.1: Struttura del gioco. Per primo, la banca viene finanziata. Dopo aver osser- vato l’impegno di capitale 𝑥 da parte degli azionisti della banca, i depositanti decidono se versare denaro o meno. La banca allora sceglie una strategia di investimento, selezio- nando un rischio 𝜎 per i suoi beni, iniettando 𝑤 unit`a di capitale addizionale per unit`a di valore dei beni bancari. Infine, i depositanti possono decidere di correre alle banche. Se lo fanno, i beni bancari vengono liquidati e si realizzano i payoffs.
Il resto del capitolo `e organizzato come segue. Nella Sezione 3.3 si analizza la deci- sione dei depositanti di correre alle banche o meno e brevemente si descrive la funzione delle banche come fornitori di capitale. Nella Sezione 3.4 vengono stimati il valore dei beni della banca come un opzione call di tipo knock-out, una volta determinato il com- portamento dei depositanti. Nella Sezione 3.5 si esplora la decisione da parte dei titolari del capitale della banca di ricapitalizzare, e viene mostrato che ci si pu`o aspettare che la ricapitalizzazione avvenga quando il valore del capitale scende sotto un certo livel- lo. Nella Sezione 3.6 si determina la politica di investimento ottimale per la banca e si dimostra che la possibilit`a di una corsa alle banche disciplina il comportamento della banca stessa, inducendo la banca a ridurre il rischio dei suoi investimenti. Nella Sezione 3.7 si discutono le conseguenze di una corsa alle banche per la politica di finanziamento della banca. Nella Sezione 3.8 si considerano i determinanti di un equilibrio del deposit spread, che si vede essere collegato alla rischiosit`a dei beni della banca e alla dimensione dei costi di liquidazione. La Sezione 3.9 conclude il capitolo.