Conclusioni della simulazione

Dopo aver analizzato le serie storiche dei prezzi e le conseguenti serie storiche dei rendimenti logaritmici di ogni titolo azionario, Unicredit, Bank of America, Lloyds Banking Group e Enel, siamo andati a costruire due portafogli, uno comprensivo dei tre titoli bancari (Unicredit, Bank of America, Lloyds Banking Group) e l’altro comprensivo del titolo Enel, al posto del titolo Unicredit (Bank of America, Lloyds Banking Group e Enel); questo per cercare di capire, tramite la simulazione Monte Carlo, come la rischiosità del portafoglio, misurata tramite un Value at Risk al 99%, cambiasse in

-0,03 -0,025 -0,02 -0,015 -0,01 -0,005 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

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funzione dei titoli azionari inseriti al suo interno. Questo perchè le correlazioni dei titoli appartenenti al primo portafoglio sono chiaramente maggiori rispetto a quelle dei titoli appartenenti al secondo, dove è stato inserito un titolo di un settore diverso da quello bancario.

Per una analisi maggiormente più completa è stato considerato anche un “terzo” portafoglio, con i medesimi titoli del primo (Unicredit, Bank of America e Lloyds Banking Group), ma con la matrice di correlazione modificata. In particolare, sono state inserite al suo interno, delle correlazioni fittizie più elevate rispetto a quelle risultanti dalle serie storiche dei rendimenti.

Da quanto detto sopra, è possibile stilare una classifica dal portafoglio più rischioso a quello meno rischioso, sulla base dell’andamento del Value at Risk al 99%, individuato nei 20 scenari simulati:

• “Falso Portafoglio Bancario”: il portafoglio con le correlazioni fittizie più elevate (nel grafico è rappresentato dalla Serie3, evidenziata in verde);

• “Vero Portafoglio Bancario”: il portafoglio con le correlazioni reali ricavate dalle serie storiche dei titoli (nel grafico è rappresentato dalla Serie2, evidenziata in rosso);

• “Portafoglio Enel”: il portafoglio al cui interno è inserito il titolo Enel (nel grafico rappresentato dalla Serie1, evidenziata in blu).

Le risultanze sono quelle ipotizzate all’inizio, ovverosia che il portafoglio maggiormente rischioso risulta essere quello con le correlazioni più alte, in quanto i titoli, al suo interno, andranno tendenzialmente tutti nella stessa direzione, ovverosia, nel caso di titoli con Trend positivo, il portafoglio avrà rendimenti maggiormente positivi, ma, nel caso di andamenti negativi, il portafoglio subirà delle perdite maggiori (questo significa maggiore rischiosità).

Abbiamo appositamente scelto un periodo particolare, quello della crisi finanziaria del 2007 − 2008, in cui il Trend dei titoli è decrescente, per cui un portafoglio costruito con titoli altamente correlati avrebbe portato maggiori perdite. La costruzione di un buon portafoglio, sulla base dei titoli azionari a nostra disposizione e in condizioni del genere, potrebbe essere quello costruito come il “Portafoglio Enel”, al cui interno è stato inserito

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un titolo non molto correlato con gli altri due; per cui, come risultato, abbiamo ottenuto un portafoglio meno rischioso.

Quanto detto sopra è ben evidenziato nel Grafico 20, riportato sotto, dove abbiamo messo sullo stesso piano gli andamenti del Value at Risk al 99% dei tre portafogli nei 20 scenari simulati, per ciascuno dei quali sono stati simulati 2000 rendimenti logaritmici giornalieri

Grafico 20. Confronto tra i Value at Risk al 99% dei tre portafogli nei 20 scenari

simulati (Fonte Excel)

-0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Serie1 Serie2 Serie3

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CONCLUSIONI

Il fulcro della trattazione, dal quale è emersa la susseguente analisi, è stato il Value at Risk, ovverosia un indicatore della rischiosità insita in un portafoglio o in uno strumento finanziario. Risulta essere semplicemente un numero, che in sé considerato, è incapace di tradursi in una chiara descrizione strategica di ciò che è necessario fare.

Betti, in “Value at Risk. La gestione dei rischi finanziari e la creazione del valore”, afferma che il VaR è “un attrezzo non un mestiere”, incitando il risk manager a svolgere un lavoro fatto di proprie intuizioni e di soggettività.

Dopo una breve introduzione sulle origini e lo sviluppo del Value at Risk nel mondo bancario, ne è stata data una definizione statistica e ne sono state elencate le sue proprietà. È stato dimostrato che, secondo Artzner et al., tale indicatore non può essere considerato una misura di rischio coerente, in quanto non soddisfa l’assioma della subadditività. Eccezion fatta, quando andiamo a lavorare in particolari condizioni, come, ad esempio, nel caso di una famiglia di Gaussian r.v.

Per completare le “fondamenta teoriche” del Value at Risk, indispensabili per l’analisi empirica, sono state descritte le metodologie di calcolo del VaR, concentrando maggiore attenzione sulla metodologia utilizzata in essa, cioè quella della simulazione Monte Carlo applicata al caso uni variato e al caso multivariato.

L’analisi empirica ha avuto come protagonisti quattro titoli azionari (Unicredit Bank, Lloyds Banking Group, Enel e Bank of America), il cui andamento è stato ben descritto dalle serie storiche dei prezzi, e di conseguenza dei rendimenti logaritmici, nel periodo 3/01/05 − 31/12/16, e la cui combinazione ha portato alla nascita di tre portafogli:

• “Vero Portafoglio Bancario”: si chiama così perché al suo interno sono presenti (con pesi uguali) tre azioni di tre diverse banche: Unicredit Bank, Lloyds Banking Group e Bank of America;

• “Falso Portafoglio bancario”: è costituito nello stesso modo del “Vero Portafoglio Bancario”, ma con correlazioni fittizie incrementate rispetto a quelle reali; • “Portafoglio Enel”: si chiama così perché al suo interno è presente il titolo

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La simulazione Monte Carlo, applicata al caso multivariato, ci ha permesso di creare i rendimenti logaritmici simulati (pari a 2000) dei portafogli da noi costruiti, per un numero di volte pari agli scenari da noi presi in considerazione (pari a 20).

Per simulare i rendimenti logaritmici di ciascun titolo costituente il portafoglio, tenendo conto della dipendenza evidenziata dai dati empirici e misurata dall’indice di correlazione, c’è stato bisogno dell’intervento della matrice di decomposizione di Cholesky, che non è altro che la matrice triangolare inferiore che, moltiplicata per la sua trasposta, dà come risultato la matrice di correlazione.

Quest’ultima è stata ricavata dalle serie storiche dei rendimenti logaritmici giornalieri, delle singole azioni, nel periodo precedente la crisi finanziaria, il cui inizio, convenzionalmente, è stato fissato il 15/09/08, giorno del fallimento di Lehman Brothers, poiché è stato ritenuto più interessante simulare la distribuzione dei rendimenti oltre tale giorno.

Una volta costruita la tabella di simulazione sul foglio di lavoro EXCEL, siamo andati a simulare 2000 rendimenti logaritmici del portafoglio per 20 volte (numero di scenari considerati), li abbiamo ordinati dal più piccolo al più grande e, per ciascuno, ne abbiamo individuato il Value at Risk al 99% come percentile della distribuzione. Di conseguenza, per ogni portafoglio, è stato possibile ricavare la media e l’andamento del Value at Risk simulato al 99%.

Con il VaR medio giornaliero del “Portafoglio Bancario”, ricavato dalla media dei VaR dei singoli scenari simulati, siamo andati a monitorare la serie storica dei rendimenti logaritmici giornalieri effettivamente realizzati, contando il numero di volte che tale soglia viene oltrepassata da questi ultimi, per ciascun periodo di analisi (abbiamo suddiviso il periodo in tre intervalli, in modo tale da separare, in maniera più marcata, il periodo più vicino alla crisi dagli altri due periodi); si è evidenziato che nel periodo maggiormente colpito dalla crisi finanziaria, cioè quello del 15/09/08 − 31/12/10, il 12% delle realizzazioni hanno oltrepassato il livello di Border Line.

Mediante gli andamenti del Value at Risk simulato al 99%, è stato possibile fare un confronto grafico e numerico della rischiosità dei tre portafogli, dimostrando che l’indice di correlazione è un elemento determinante la rischiosità di un portafoglio, in quanto maggiore è la correlazione tra i titoli, maggiore sarà la rischiosità del portafoglio e

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viceversa. Detto questo, è stato possibile stilare una classifica del portafoglio maggiormente rischioso, per quel periodo di investimento:

• “Falso Portafoglio Bancario”: è costituito nello stesso modo del “Portafoglio Bancario”, ma sono state considerate delle correlazioni fittizie incrementate rispetto a quelle reali; il VaR medio al 99%, ricavato dalla simulazione, mostra un valore di −0,0464, più alto degli altri due; questo rappresenta il portafoglio più rischioso, in quanto i titoli all’interno tendono ad andare nella medesima direzione, rafforzandone il Trend che, nel nostro caso, è assolutamente negativo; • “Vero Portafoglio bancario”: si chiama così, perché al suo interno sono presenti

(con pesi uguali) tre azioni di tre diverse banche: Unicredit Bank, Lloyds Banking Group e Bank of America; dalla simulazione abbiamo ricavato il VaR medio al 99% , pari a −0,03579 > −0,0464; questo rappresenta un portafoglio abbastanza rischioso, considerando che deriva da correlazioni effettivamente ricavate dalle serie storiche; i titoli all’interno, appartenendo al medesimo settore colpito fortemente dalla crisi, tendono ad andare nella medesima direzione rafforzandone il Trend, che nel nostro caso è assolutamente negativo;

• “Portafoglio Enel“: si chiama così, perché al suo interno è presente il titolo azionario Enel, con Lloyds Banking Group e Bank of America (con pesi uguali); dalla simulazione abbiamo ricavato il VaR medio al 99%, pari a −0.024 − 0,03579 > −0,0464; questo rappresenta il portafoglio meno rischioso, in quanto è stato inserito all’interno un titolo non appartenente al medesimo settore e quindi meno correlato con gli altri due, per cui tenderà a smorzare l’andamento del Trend, che anche in questo caso rimane negativo.

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