Gli algoritmi con tempo discreto studiati (DPFD, PDAD e PDAR) presentano nu- merose dierenze rispetto agli algoritmi con tempo continuo. Quelle maggiori sono: la diversa condizione d'uscita e il tempo discreto. Il loro scopo è quello di mostrare che, sotto opportune ipotesi sempli cative, si possono ricavare delle relazioni che, forse, è possibile mantenere anche rilassando queste ipotesi. Un approfondimento interessante potrebbe essere de nire, in tutti e tre gli algoritmi, due variabili ca- suali: la prima rappresenta l'intervallo tempo, in cui non avvengono reazioni, che intercorre tra due iterazioni in cui iniziano reazioni e la seconda reppresenta quali reazioni iniziano al termine dell'intervallo in cui non accade niente. Studiando la distribuzione di queste variabili per δt che tende a 0 si dovrebbero ottenere, nel caso del DPFD, le variabili τ e j dell'algoritmo con tempo continuo DPF e, nel caso del PDAD e del PDAR, le variabili τ e j dell'algoritmo con tempo continuo PDA.
Quest'ultima aermazione può sorprendere visto che Il PDAR e il PDAD generano in maniera diversa le reazioni. La parte che riguarda la viariabile τ la lasciamo come congettura e diamo la dimostrazione della parte che riguarda la variabile j. Supponiamo di trovarci in una generica iterazione i al termine di una sequenza di iterazioni in cui non è iniziata nessuna reazione. Sappiamo che l'iterazione i-esima pone termine a questa sequenza di iterazioni: in essa inizia almeno una reazione. Sia J l'insieme di reazioni che iniziano nell'iterazione i-esima. Vogliamo, nei due algoritmi, identi care l'insieme di valori possibili per J, associare a ciascuno dei valori una probabilità e prendere il limite per δt che tende a 0 di questa probabilità. Iniziamo con il PDAD. Sappiamo che nel PDAD in una iterazione inizia al più una reazione: i valori possibili per J sono {R1}, {R2},...,{Rm}, ∅ che hanno associate
rispettivamente le probabilità P (J = {R1}) = a1· δt, P (J = {R2}) = a2· δt,..,
P (J = ∅) = 1 −Pm
j=1aj· δt. Sappiamo però che viene applicata una reazione:
vogliamo quindi studiare
P (J = {Ri} |J 6= ∅) P (J = {Ri} |J 6= ∅) = P (J 6= ∅|J = {Ri}) · P (J = {Ri}) P (J 6= ∅) = 1 · ai· δt Pm j=1aj· δt
prendendo il limite per δt che tende a 0 otteniamo ai
a0 che è la stessa espressione
per la probabilità P (j = i) nell'algoritmo PDA.
Consideriamo ora il PDAR. Sappiamo che nel PDAR in una iterazione possono iniziare no ad m reazioni distinte: i valori possibili per J sono tutti i sottoinsiemi di {R1, ...., Rm}che hanno associate le probabilità
P (J = I) = Y Rj∈I aj· δt · Y Rj∈I/ (1 − aj· δt)
Sappiamo però che viene applicata una reazione: vogliamo quindi studiare P (J = I|J 6= ∅) P (J = I|J 6= ∅) = P (J 6= ∅|J = I) ·P (J = I) P (J 6= ∅) = 1 · P (J = I) 1 − P (J = ∅) dove:
1−P (J 6= ∅) = 1−(1−a1·δt)·(1−a2δt)...(1−am·δt) =
m X j=1 aj ·δt+c2·δt2+....+cm·δtm
Consideriamo la formula nel caso in cui I contenga solo la reazione i
P (J = I) = ai· δt · Y Rj∈I/ (1 − aj· δt) = ai· δt + d2· δt2+ .... + dm· δtm P (J = I|J 6= ∅) = ai· δt + d2· δt 2+ .... + d m· δtm Pm j=1aj · δt + c2· δt2+ .... + cm· δtm
prendendo il limite per δt che tende a 0 otteniamo ai
a0 che è la stessa espressione
per la probabilità P (j = i) nell'algoritmo PDA.
Consideriamo la formula nel caso in cui I contenga k reazioni con 1 < k ≤ m
P (J = I) = Y Rj∈I aj· δt · Y Rj∈I/ (1 − aj· δt) = dk· δtk+ .... + dm· δtm P (J = I|J 6= ∅) = dk· δt k+ .... + d m· δtm Pm j=1aj · δt + c2· δt2+ .... + cm· δtm
prendendo il limite per δt che tende a 0 otteniamo 0 ∀k : 1 < k ≤ m.
Come si vede anche nel caso del PDAR i valori possibili per J, tolti quelli che hanno una probabilità nulla, sono uguali ai valori possibili per j nel PDA e hanno associate le stesse probabilità.
Capitolo 6
6 Conclusioni
In questa tesi abbiamo confrontato due varianti dell'algoritmo di simulazione sto- castica di sistemi biologici: il PDA e il DPF. Lo scopo del confronto è stato quello di identi care le condizioni iniziali per cui l'evoluzione del sistema è la stessa nei due algoritmi. Il primo confronto eettuato è stato di tipo sperimentale: i risultati hanno mostrato che gli algoritmi, sotto opportune condizioni iniziali, hanno un comporta- mento simile. Questo ha portato a supporre che, nelle stesse condizioni, il PDA e il DPF soddis no una proprietà di equivalenza che può essere cosi formalizzata: dati i valori xi e ti, le probabilità di raggiungere lo stato x = xi al tempo t = ti sono
uguali nei due algoritmi. Il secondo confronto eettuato è stato di tipo teorico. Sono state de nite due versioni con tempo discreto del DPF e del PDA: rispettiva- mente DPFD e PDAD. Inoltre è stato de nito un terzo algoritmo con caratteristiche intermedie tra i due: PDAR. Al DPFD e al PDAR sono stati associati due sistemi di transizioni etichettate che descrivono formalmente l'evoluzione delle variabili x e t e associano ad ogni reazione applicabile una probabilità. Sono state provate alcune proprietà dei due sistemi di transizione: è stato provato per gli algoritmi DPFD e PDAR che, dati i valori xi e ti, le probabilità di raggiungere lo stato x = xi al
tempo t = ti sono uguali a meno di una quantità trascurabile. In ne sono stati
confrontati il PDAD e il PDAR e sono state provate alcune proprietà riguardanti la probabilità delle reazioni generate.
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