Nell’avvicinarci alle conclusioni di questo lavoro, si intende in modo particolare mettere in evidenza alcuni punti di estrema rilevanza per la tematica appena trattata.
Un primo punto fondamentale riguarda un aspetto contestuale: il dibattito che qui si è cercato di ricostruire non risulta affatto isolato e limitato ai soli Platone e Aristotele. Come si è messo spesso in evidenza nel corso della trattazione, questioni di carattere matematico – come, ad esempio, quelle qui trattate – sembravano essere particolarmente discusse all’interno dell’Accademia330. È presumibile allora ritenere che le problematiche affrontate non fossero ristrette alle sole figure prese in esame qui, ma che avessero trovato ampio seguito sia tra i membri attivi della scuola platonica sia tra quelli della scuola aristotelica. Si tratta quindi, di quello qui ricostruito, di un piccolo tassello di un quadro molto più ampio che sembra coinvolgere figure come ad esempio Speusippo, Senocrate e Teofrasto, ma anche matematici appartenenti alla cerchia ateniese di alta cultura al tempo di Platone – come ad esempio Teodoro e Teeteto, o Eudosso331.
Un esempio delle modalità con cui, presumibilmente, avvenivano le discussioni intorno a questi problemi all’interno dell’Accademia, sembra essere offerto proprio da un dialogo platonico: il Teeteto332.
Nello scritto Teodoro di Cirene – una delle figure centrali –, il quale rappresenta il ruolo di esperto nelle discipline matematiche, tiene una lezione sugli irrazionali di fronte ad un selezionato gruppo di giovani studenti333: attraverso l’ausilio di rappresentazioni grafiche, egli mostra che le lunghezze, espresse dalla radice dei numeri che vanno da 3 a 17, sono incommensurabili in rapporto alla linea lunga un piede, scelta come unità di misura334. Alcuni allievi, fra i quali spicca per qualità ed
330 Cfr. I. Mueller, Mathematica…, p. 175, nel quale si ricorda il ruolo di direttore di studi matematici assunto da Platone all’interno dell’Accademia.
331 Si veda: E. Cattanei, Astronomia…, pp. 165-174.
332 Cfr. E. Cattanei, Le matematiche…, p. 487.
333 Plato, Theaet., 147 d – 148 b. Da qui in poi mi riferisco alla traduzione di F. Ferrari, BUR, Milano, 2021.
334 Plato, Theaet., 147 d5-6.
intelligenza Teeteto, discutono della lezione e si domandano se sia possibile “riunirle sotto un’unica nozione” (πειραθῆναι συλλαβεῖν εἰς ἒν)335, nel tentativo di elaborare una teoria più generale336.
Al di là delle problematiche che questo passo presenta337, il punto che si vuole in modo particolare sottolineare sono proprio le modalità attraverso le quali il problema viene discusso. Come la maggior parte degli storici attestano, sembra che “Teodoro di Cirene e Teeteto, Eudosso di Cnido, Menecmo e suo fratello Dinostrato, Leodamante di Taso e Filippo di Opunte, insieme ad altri matematici e astronomi, tutti in rapporti più o meno stretti con l’Accademia di Platone ad Atene, ricercassero così soluzioni a problemi vecchi e nuovi, nello sforzo di formulare teorie che avessero il grado maggiore possibile di universalità e fondatezza, sistemando, anche attraverso la redazione di Elementi scritti, quei saperi che assumeranno il loro assetto canonico negli Elementi di Euclide”338.
È evidente allora, già da questo breve richiamo al Teeteto, la tendenza della ricerca matematica all’interno dell’Accademia ad arrivare ad un alto grado di generalità che doveva accompagnarsi, come si è potuto vedere nel corso del commento, ad un alto grado di stabilità epistemologica. Da questo punto di vista, tale attitudine non sembra contrapporsi in maniera radicale all’articolarsi di una discussione intorno alla possibilità di una fondazione filosofica delle assunzioni, e quindi delle teorie, matematiche, così come è stata delineata all’interno del presente lavoro339.
In relazione a questo punto però, è necessario richiamare l’attenzione ad un’ultima questione fondamentale, riguardante la chiave interpretativa che qui si è assunta per discutere i passi proposti nel corso del commento.
Come è stato sottolineato più volte nel corso della trattazione, la posizione assunta sulla possibilità che ci sia stata a partire da Platone una discussione inerente ai fondamenti delle matematiche, le cui tracce sarebbero rintracciabili a partire dalle idee di fondo presenti nella metafora della linea, è una
335 Plato, Theaet., 147 d9-e1.
336 Cfr. T.L. Heath, A History…, p. 23.
337 Rimando a: Cfr. E. Cattanei, Le matematiche…, pp. 487-488.
338 Ibid.
339 Ancora una volta la questione viene sottolineata da Hösle in: V. Hösle, I fondamenti…, pp. 40-42.
convinzione piuttosto forte che trova una sua collocazione all’interno di opere come quelle di Toth e Hösle340.
Tuttavia, sono presenti punti di vista che si collocano sul fronte opposto: più precisamente si tratta di studiosi che in buona parte potremmo definire “negazionisti”, ovvero che tendono ad escludere che i riferimenti matematici sottendano realmente al problema discusso dei fondamenti. Fra le varie posizioni341, qui si vuole ricordare a titolo di esempio quella di Leszl nel suo Mathematics, Axiomatization and the Hypotheses, nel quale l’accento viene posto in modo particolare a questioni
che sono inerenti alla struttura linguistico-sintattica della conformazione assunta dalle matematiche, piuttosto che a problematiche di carattere prettamente epistemologico e ontologico.
Un’ultima “fazione” sembra invece presentare una posizione, che potremmo definire, più
“debolista”. Più precisamente342: questi autori, come ad esempio Mario Vegetti, non sembrano negare da una parte la reale possibilità di una discussione intorno a queste tematiche, o più in generale la rilevanza che hanno i riferimenti matematici all’interno di opere quali quelle di Platone e Aristotele;
dall’altra però non assumono in toto la possibilità che si sia dibattuto su un tale problema, sfociando in una posizione molto più prudente, ad esempio, in relazione all’interpretazione della metafora della linea presente sul finire del libro VI.
340 In modo particolare in: I. Toth, Aristotele…; V. Hösle, I fondamenti…; e in E. Cattanei, Enti… .
341 Qui si ricordano: J.J. Cleary, Aristotle and Mathematics. Aporetic method in cosmology and metaphisics, Brill, Leiden, 1995; e W. Leszl, Mathematics … .
342 Si rimanda qui agli articoli di M. Vegetti e F. Ferrari in: Platone, Repubblica, a cura di M. Vegetti, Bibliopolis, Napoli, 2015.