Confronto con alcuni precedenti risultati

Come precedentemente accennato, nel caso particolare in cui Ω = RN _{(N ≥ 3), ρ} µ=

1e ρν è un peso che soddisfa opportune condizioni di decadimento all'innito, recenti

lavori hanno portato a risultati di esistenza e unicità per la WPME (chiamata anche Inhomogeneous PME) considerando dati iniziali (e quindi soluzioni) non-negative. La sintesi più completa di tali risultati si può trovare in [RV08].

Fissato quindi u0 ≥ 0 ∈ L1(RN; ν), in [RV08, def. 1.1] per soluzione debole della

WPME su RN _{corrispondente al dato iniziale u}

0 si intende una funzione u(x, t) non-

negativa, continua in RN _{× (0, ∞) e tale che per ogni τ > 0 soddis le seguenti}

proprietà: • u ∈ C([0, ∞); L1_(RN_{; ν)) ∩ L}∞ (RN × (τ, ∞)); • ∇(um_{) ∈L}2_(RN_{× (τ, ∞))}N ; • per ogni ϕ ∈ C1 c(RN × (0, ∞)) vale l'identità Z ∞ 0 Z RN [∇(um)(x, t) · ∇ϕ(x, t) − u(x, t)ϕt(x, t)ρν(x)] dx dt = 0 ; (2.1.32) • u(·, 0) = u0(·).

Oltre che in alcune questioni di regolarità, come la limitatezza in L∞_(RN_{× (τ, ∞)),}

la continuità a valori in L1_(RN_{; ν) e la possibile validità delle proprietà appena}

elencate no a τ = 0, la dierenza principale tra la denizione di soluzioni di energia da noi data e quest'ultima denizione risiede nello spazio in cui si cerca u. Infatti osserviamo che, indipendentemente dalle proprietà del peso ρν, secondo la [RV08,

def. 1.1] non c'è modo di legare um _{alle funzioni test scelte nella (2.1.32), altrimenti}

detto di imporre che um_{(·, t) appartenga alla chiusura di C}1

c(RN) in un opportuno

spazio funzionale. E in eetti, quello che accade, è che se ρν tende a zero in modo

sucientemente rapido per |x| → ∞ si osservano casi di non unicità. Notiamo che nella dimostrazione della proposizione 2.1 (unicità delle soluzioni di energia) abbiamo utilizzato in maniera cruciale il fatto che um_{(·, t) appartenesse a V}(m+1)/m

0 (Ω; ν, µ).

I due principali risultati dimostrati in [RV08] sono i seguenti:

• se ρ_ν > 0 ∈ C1(RN) è limitata, allora esiste una soluzione debole secondo la (2.1.32) [RV08, teo. 3.1];

• se ρν > 0 ∈ C1(RN) soddisfa la disuguaglianza

A0(1 + |x|)−N ≤ ρν(x) ∀x ∈ RN (2.1.33)

per qualche ssata costante A0 > 0, allora tale soluzione è anche unica [RV08,

teo. 4.1] nella classe denita in [RV08, def. 1.1].

Il risultato di unicità, in un certo senso, non è migliorabile. Infatti se ρν(x)all'innito

si comporta come |x|−γ _{con γ > N, la nitezza della ν-misura di R}N _{permette di}

concludere che se il dato iniziale è 1 (o una qualsiasi altra costante positiva), allora u(x, t) = 1 è soluzione della (2.1.32). Tuttavia si può dimostrare (si veda [RV08, sez. 8]) che in questo caso (in realtà anche solo per γ > 2) la soluzione costruita col risultato d'esistenza [RV08, teo. 3.1], per dati iniziali anche limitati, soddisfa la seguente condizione di decadimento all'innito (per ogni T > 0):

lim R→+∞R 1−N Z |σ|=R Z T 0 um(σ, t) dt dσ → 0 ; (2.1.34) dato che evidentemente la (2.1.34) non è vericata dalle costanti, se u0= 1 abbiamo

quindi almeno due soluzioni e l'unicità si perde. Alla medesima conclusione si poteva giungere a partire dal risultato [Eid90, teo. 1.3], in cui si fornisce di fatto la stessa soluzione di [RV08, teo. 3.1], la quale soddisfa

Z T

0

um(x, t) dt ≤ c |x|2−N ∀x ∈ RN (2.1.35) per qualche costante c indipendente da x. Integrando la (2.1.35) su |x| = R e pas- sando al limite per R → +∞ otteniamo la (2.1.34).

Ora, se il dato iniziale appartiene a L1_(RN_{; ν) ∩ L}∞

(RN), eettivamente la soluzione costruita in [RV08, teo. 3.1] soddisfa le richieste di [RV08, def. 1.1] sopraelencate no a τ = 0, perciò è a tutti gli eetti una soluzione di energia (nel senso della propo- sizione 2.1); ma anche una costante è banalmente una soluzione di energia. Per cui risulta naturale chiedersi in che modo questo problema di non unicità sia compati- bile con l'unicità delle soluzioni di energia dimostrata con la proposizione 2.1. La risposta in realtà è semplice: in queste condizioni una costante non appartiene a V₀(m+1)/m(RN; ν, λ), ovvero non ha traccia nulla, ed è piuttosto una soluzione del problema di Neumann, che vedremo nel prossimo capitolo. Infatti si può vericare che se ρν(x)all'innito si comporta come |x|−α, con α > N, allora in W01,2(RN; ν, λ)

vale la disuguaglianza di 2-Poincaré senza media (sezione 4.1.2), perciò evidentemen- te le costanti non possono appartenervi (essendo la ν-misura di RN _{nita analoga}

conclusione si trae per V(m+1)/m

0 (RN; ν, λ)).

Qualitativamente, si intuisce come l'andamento del peso ρν all'innito renda lo

spazio euclideo RN _{più o meno simile ad un dominio limitato; se ρ}

ν va a zero troppo

rapidamente, per garantire l'unicità delle soluzioni della (2.1.32) occorre allora speci- care opportune condizioni al bordo per um _{(come l'appartenenza, per l'appunto,}

a V(m+1)/m

0 (RN; ν, λ)). Inoltre la (2.1.34), intesa ora come condizione imposta, si

rivela anche suciente per l'unicità (si vedano sempre [RV08, sez. 8] e i riferimenti ivi citati).

procedimento del tutto analogo a quello utilizzato nella dimostrazione del teorema 2.1. Ovvero, si risolve il problema di Dirichlet in domini regolari Ωnb RN ottenendo

una successione di soluzioni {un}n, e poi si passa al limite per n → ∞ (la rimozione

del carattere degenere dell'equazione, allo scopo di appellarsi alla teoria quasilineare, si eettua qui agendo direttamente sul dato piuttosto che sulla funzione Φ(x) = xm_).

Non a caso si può dimostrare [RV08, lemma 4.2] che per u0 ∈ L1(RN; ν) ∩ L∞(RN)

la soluzione u così ottenuta, indipendentemente dall'unicità, è minimale, ovvero per ogni possibile altra soluzione v (relativa allo stesso dato iniziale) secondo [RV08, def. 1.1] si ha u ≤ v. Ciò non è sorprendente, dato che risolvendo il problema di Dirichlet in Ωn si forza un ad annullarsi su ∂Ωn. Siccome tale soluzione è ottenuta

tramite il suddetto processo approssimante, si verica che essa è a tutti gli eet- ti una soluzione debole e di energia secondo la denizione 2.2, ovvero coincide con la soluzione di energia fornita dal teorema 2.1. Perciò, per esempio, abbiamo che in questo caso le soluzioni di energia appartengono anche a C([0, ∞); L1_{(Ω; ν)) (si}

vedano le considerazioni immediatamente successive al corollario 2.1). Sempre dai risultati di [RV08] deduciamo poi che per generici dati in L1_(RN_{; ν)ha luogo una re-}

golarizzazione no a L∞_(RN_{); ciò è coerente col fatto che nello spazio W}1,2

0 (RN; ν, λ)

è sempre valida la disuguaglianza di Sobolev senza media6

kvk 2N N −2;ν

≤ C_Sk∇vk₂ ,

perciò è applicabile il risultato [BG05m, teo. 1.5].

Abbiamo già segnalato, nell'introduzione a questa tesi, che uno studio approfon- dito, in particolare sul comportamento asintotico, delle soluzioni della (2.1.32) è stato eettuato di recente per γ ≤ N prevalentemente con i lavori [RV09] e [KRV10]. Per il dettaglio rimandiamo ai citati articoli, tuttavia osserviamo che tali risultati per- mettono di dedurre principalmente stime sulla quanitità ku(t)k∞, e non sono quindi

adeguatamente confrontabili con quelli ricavati nella sezione 2.3 (ricordiamo che qui vale una disuguaglianza di Sobolev, oltre alla Poincaré per γ ≥ 2, e la ν-misura di RN è innita).

2.2 Una costruzione alternativa di soluzioni deboli trami-