La dinamica `e completamente determinato dal fattore di struttura, la funzione di memoria `e un espressione complessa:
M22= Ω0
n 2(2π)3q2
Z h
dkS(k)S(|q − k|)ˆq · ~kc(k) + ˆq (~q − ˆqk) c(~q − ~k)iφk(t)φ|q−k|(t)
E l’equazione che deve soddisfare la funzione di correlazione di densit`a
¨
φ + Ω2qφ + γ ˙φ + Z
M22(t − t0) ˙φ(t)dt = 0
La dipensenza di M22dal quadrato della funzione di correlazione di densit`a `
e ingrediente fondamentale che da la transizione non ergotica.
fq = M (∞) 1 + M (∞)
Quindi la teoria predice un comportamnto di fq(q) un altra predizione teorica `
e come la teoria si approccia al plataux e parte dal plataux. Questo pu`o essere risolto analiticamente
La teoria prevede che
τ=|T − Tc|−γ
QUindi la teoria prevede effettivamente una divergenza del tempo, quindi una vera e propria transizione di fase, e la relazione tra γ, a e b:
γ = 1 2a+
1 2b
Le soluzioni che possono essere calcolate per via numerica sono la fq(q) e altri andamenti che si ottengono attraverso la risoluzione numerica di questi integrali.
Fisicamente avere un platoux significa che la particella `e bloccata in una gabbia fatta dai suoi vicini. L’accordo con la teoria `e molto buono se si com-parano i dati sperimentali alla stessa distanza dai dati critici, non alla stessa
temperatura. La teoria fallisce nel predire essattamente i tempi cricitici e la temperatura critica, ma gli andamenti asintotici sono descritti bene. Quindi riscalando le quantit`a rispetto ai valori critici si ottiene una buona descrizione sperimentale. La teoria predice per fq(q) oscillazioni in fase con S(q). Queste oscillazioni si osservano sperimentalmente anche se la funzione osservata non `e esattamente la stessa predetta dalla teoria.
Se andiamo dentro il vetro. Il platoux al variare della temperatura `e mostrato in Figura 5.14
Figura 5.14: Andamento del Platoux al variare della temperatura.
Nelle simulazioni non si forma mai un vetro, ma sempre un cristallo. Il trucco per studiare il sistema di vetro `e fatto usando particlle con differenti diametri.
In questo modo si riescono a riporodurre molto bene i risultati. Se si ripetono gli stessi calcoli per la funzione newtoniana se si assume che le particelle soffrono le forze casuali se si ripetono questi calcoli si ottiene la stessa funzione di memoria. Seconda la teoria da qualunque vettore d’onda si fa l’esperimento vicino alla temperatura critica si avr`a sempre lo stesso valore di γ. Quindi in un grafico log log dovrebbe avere tutte le pendenze uguali. In realt`a le pendenze sono leggermente differenti. Quando ci si avvicina molto alla temperatura i risultati sperimentali divergono dai risultati sperimentali. Questo perch´e seguono la legge di Arrinus vicino alla temperatura critica, che non `e affatto una legge di potenza.
Le leggi di approccio al platoux sono effettivamente verificate sperimental-mente. Anche il tempo di rilassamento finale:
e−(τt)β `
E ben confermato per temperature non ecessivamente elevate.
In questa teoria descriviamo molto bene fq quindi in qualche modo la teoria descrive molto bene la gabbia di particelle. Questa teoria descrive molto bene anche la β correlazione (l’approccio e la partenza delle curve dal plataux). La teoria funziona molto bene a tempi brevi. A tempi molto lunghi la teoria sembra suggerire che ci sia una divergenza in cui il si blocca, mentre gli esperimenti sembrano suggerire che ci sar`a sempre un tempo di rilassamento.
La spiegazione che si da per questo `e che qualche possibile canale di decadi-mento `e dato da i modi che abbiamo trascurato, come adesempio i prodotti tra le autocorrelazioni della corrente.
La teoria termo-coupling pu`o essere generalizzata alle molecole. Si pu`o usare il centro di massa della molecola come variabile e il le armoniche sferiche.
5.6.1 Vetri per interazione e volume escluso
La teoria pu`o predire quancosa di mai visto prima. Se si mettono piccoli polimeri una interazione appiccicosa (interazione a cortissimo raggio ∆ σ). Ad alta temperatura le particelle si comportano come sfere dure. Quando si diminuisce la temperatura le particelle cercano di formare dei legami. Nella teoria dei vetri, lo spostamento quadratico medio `e circa dell’ordine di 0.1σ la mode-couplig predice correttamente questa come distanza della transizione vetrosa. Se facciamo un potenziale molto pi`u corto del 10In questo sistema sono possibili
due tipici arresti, uno dato dal volume escluso, l’altro `e dato dal potenziale di interazione. Come va il isstema da vetro in cui le particelle sono al 0.1σ ad alte temperatura (vetro per volume escluso) alla distanza ∆ σ per basse temperatura. Deve esserci una transizione tra questi due tipi di vetro.
Questo pu`o essere predetto dalla teoria mode-coupling. Una cosa strana `e che se ∆ `e molto piccolo si pu`o avere situazioni con un vetro sia riscandando che raffreddando.
Ad un certo punto la teoria sembra predire singolarit`a di ordine maggiore. Quando ∆ `e molto piccolo allora esistono due differenti vetri. Esistono punti in cui si hanno transizione tra i due tipi di vetro.
Questo non `e cos`ı folle, Se chiediamo al sistema di formare dei legami libera molto spazio, e questo consente al sistema di liquefare (con dei cluster al posto delle particelle iniziali). Se la packing fraction `e molto elevata questo sistema non si sciogler`a in un liquido ma former`a un altro tipo di vetro direttamente.
Questi due vetri hanno comportamenti molto differenti. La prima cosa che si pu`o fare `e una simulazione per verificare questi risultati. La forma rientrante c’`e:
Figura 5.15: Schema della formazione dei due liquidi differenti in curve isodiffusive.
Su questo sono stati fatti anche gli esperimenti che sembrano effettivamente avere gli stessi risultati. Questo si pu`o anche vedere attraverso esperimenti di scattering. `E stato verificato con simulazioni anche i comportamenti delle curve nelle vicinanze delle transizioni di ordine superiore predette dalla mode-coupling.