Confronto tra i metodi utilizzati

per i reticoli 203_{× 10 e 22}3_{× 10.} 0 2 4 6 8 10 12 θL 0 1e-05 2e-05 3e-05 4e-05 5e-05 ­ Q®/V ­ Q3® c/V 0 2 4 6 8 10 12 θL 0 1e-05 2e-05 3e-05 4e-05 ­ Q2® c/V ­ Q4® c/V

Figura 4.16: Nelle figure `e mostrato il risultato del best-fit globale ai dati fino al momento quarto connesso per il reticolo 203_{× 10 a β = 6.173. Le funzioni con cui}

`

e stato eseguito il fit sono quelle indicate nella (4.16). Nel riquadro in alto sono raffigurate le funzioni hQi_V e hQ3ic

V , in quello in basso hQ2_i c V e hQ4_i c V .

Infine, abbiamo estrapolato il valore di b2 nel limite di volume infinito. Per fare

questo, abbiamo considerato i valori ricavati dal fit globale ai dati dei quattro momenti e il risultato `e riportato in Fig. 4.18. Come si pu`o osservare dal grafico, anche in questo caso riusciamo a riprodurre il limite termodinamico di b2 mediante

un best-fit con una funzione esponenziale.

Il valore estrapolato `e b2(V = ∞) = −0.038(4). Questa stima `e compatibile

con il valore b2 = −0.03(1) trovato dagli autori dell’articolo [5], i quali hanno

lavorato allo stesso valore di β e con un reticolo 403 _{× 10.}

4.4 Confronto tra i metodi utilizzati

Cosa rende cos`ı diversi (dal punto di vista degli errori sui parametri) il calcolo dei cumulanti a θL = 0 dal “metodo del θ immaginario” ? Si `e visto, infatti, che

con il primo metodo gli errori sui parametri aumentano notevolmente col volume del reticolo (anche di un fattore 10), invece se si usa la dipendenza da θ dei valori

0 2 4 6 8 10 12 θL 0 2e-05 4e-05 6e-05 ­ Q®/V ­ Q3® c/V 0 2 4 6 8 10 12 θL 0 2e-05 4e-05 6e-05 8e-05 ­Q2®c/V ­ Q4® c/V

Figura 4.17: Risultato del best-fit globale per il reticolo 223_{× 10 a β = 6.173. I}

parametri del fit sono stati ottenuti dalle quattro funzioni (4.16).

203_{×10 22}3_{×10 25}3_{×10 30}3_×10 V 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 b2

b

2(

V

) =

b

2(∞) +

a

·

e

−cV

Figura 4.18: b2 in funzione dei volumi (adimensionati) dei reticoli analizzati.

Il valore b2(V = ∞) = −0.038(4) `e ottenuto tramite best-fit con la funzione

4.4 Confronto tra i metodi utilizzati di aspettazione connessi della carica topologica non si osserva un incremento cos`ı evidente degli errori. Vediamo dove sta la diversit`a.

Poniamo innanzitutto θ = 0 (cos`ı hQi = 0) e supponiamo, per semplicit`a, che la distribuzione di carica topologica sia esattamente una gaussiana, del tipo

P (Q) = √ 1 2πχVe

−_2χVQ2

(con Q variabile continua). (4.29)

Introduciamo la variabile ζ ≡ Q/√V ; tale variabile seguir`a la distribuzione P (ζ) = √1

2πχe

−ζ2_2χ

. (4.30)

Come si vede da questa equazione, ζ `e anch’essa distribuita in modo gaussiano. Inoltre, la varianza di P (ζ) `e una costante (indipendente dal volume V ) pari a

hζ2i = χ . (4.31)

Se si estrae un campione di dimensione N della variabile ζ secondo la 4.30, il valore misurato di hζ4ic quantifica le deviazioni della “distribuzione campionata”

dalla gaussiana e, a statistica fissata, l’incertezza su hζ4_i

crimane costante in virt`u

della (4.31),

δhζ4ic= cost. a statistica fissata . (4.32)

Riscriviamo adesso b2 in termini della variabile ζ

b2 = − hQ4_i c 12hQ2_i c = −V 12 hζ4_i c hζ2_i c = − V 12χhζ 4_i c . (4.33)

Se si estraggono N valori di Q secondo la (4.29), l’errore che si commette su b2 `e

quindi

δb2 = −

V

12χ· cost. , (4.34)

ovvero, a statistica fissata, l’errore su b2 cresce linearmente col volume. Cos`ı, se

si vuole che le stime di b2 eseguite a volumi diversi (V e V0) abbiano un errore

costante, la nuova statistica N0 deve soddisfare la condizione V √ N = V0 √ N0 ⇒ N 0 = V 0 V 2 × N . (4.35)

Nel nostro lavoro, poich´e la statistica di misure a θ = 0 `e all’incirca costante, abbiamo infatti ottenuto un errore che cresce in modo lineare con il volume, come mostrato in Fig. 4.19. Per quanto riguarda la suscettivit`a χ, essendo

50000 100000 150000 200000 250000 volume 0.010 0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 δb2

f

(

V

) =

a

+

bV

Figura 4.19: Errori assoluti di b2 in funzione dei volumi (adimensionati) dei

reticoli 124_{, 14}4_{, 18}4 _{e 22}4_{, a β = 6.07. Gli errori mostrati in figura sono stati}

ottenuti ricavando b2 da b2 = −hQ 4_i

c

12hQ2_i a θ = 0. L’errore cresce in modo lineare

con il volume, come mostra il best-fit ai dati eseguito con una funzione lineare f (V ) = a + bV . χ = hQ 2_i V = hζ 2_i l’errore δχ = δhζ2i = cost. (4.36)

resta costante al variare del volume. In effetti, abbiamo proprio osservato che l’errore che si commette sulla suscettivit`a rimane pressoch´e costante cambiando il volume del reticolo.

Vediamo adesso perch´e gli errori sui parametri sono pi`u piccoli se si introduce un θ 6= 0. Analizziamo separatamente i quattro cumulanti della carica topologica che abbiamo usato per i best-fit, facendo riferimento alla variabile ausiliaria ζ. In particolare, determiniamo la dipendenza degli errori relativi dei cumulanti dal volume. Estraendo N valori di Q secondo la distribuzione (4.29), si ha che:

• hQi_V = √hζi V = χθi(1 − 2b2θ 2 i + 3b4θ4i + . . .) ⇒ hζi = √ V χθi(. . . .) δhQi hQi = δhζi hζi ∼ 1 √ V. • hQ2ic V = hζ 2_i c= χ(1 − 6b2θ2i + 15b4θi4+ . . .)

4.4 Confronto tra i metodi utilizzati δhQ2ic hQ2_i c = δhζ2ic hζ2_i c = cost. • hQ3ic V = hζi √ V = χ(−12b2+ 60b4θi3+ . . .) ⇒ hζ3ic= √1_Vχ(. . . .) δhQ3_i c hQ3_i c = δhζ3_i c hζ3_i c ∼ √ V . • hQ4ic V = hζ 4_i cV = χ(−12b2+ 180b4θi2+ . . .) ⇒ hζ4ic= _V1χ(. . . .) δhQ4_i c hQ4_i c ∼ V .

Tenendo conto delle dipendenze dal volume degli errori relativi dei cumulanti, si possono trarre le seguenti conclusioni:

- per V piccoli, tenendo conto dello sforzo computazionale richiesto dalle simulazioni a θ 6= 0, il metodo pi`u conveniente per determinare i parametri consiste nel calcolare i cumulanti a θ = 0;

- all’aumentare del volume del reticolo il metodo del θ immaginario si rivela pi`u efficiente;

- per V molto grandi gli errori sui momenti hQ3ic e hQ4ic aumentano e di

conseguenza l’uso di questi due cumulanti non migliora molto l’informazione che si ottiene considerando solo i dati di hQi e hQ2_i

c. Questo effetto `e visibile

5 Conclusioni

In questo lavoro si `e studiata numericamente la dipendenza della teoria di gauge SU (3) dal parametro topologico θ, sia a T = 0 che a T 6= 0. La quantit`a fondamentale da cui siamo partiti `e l’energia libera F (θ), il cui sviluppo di Taylor in θ = 0 si scrive come F (θ, T ) = F (0, T ) + 1 2χ(T )θ 2_{1 + b} 2(T )θ2+ b4(T )θ4+ . . .  .

Il nostro obiettivo `e stato quello di determinare la suscettivit`a χ, i parametri adimensionati b2, b4 e la costante di rinormalizzazione Zq della carica topologica

su reticolo. Tutti questi coefficienti sono legati a vari cumulanti della distribu- zione di carica topologica e per determinarli abbiamo utilizzato l’operatore di carica topologica introdotto in [37]. Tutti i parametri sono stati ricavati con due procedure diverse.

1. Tramite simulazioni Monte Carlo a θ = 0: in questo caso le formule a cui abbiamo fatto riferimento sono le seguenti:

χ = hQ 2_i θ=0 V Zq= hQLQi hQ2_i    θ=0 b2 = − hQ4_i c 12hQ2_i    θ=0 b4 = − hQ6_i c 360hQ2_i    θ=0 (5.1)

con V volume quadri-dimensionale del reticolo. Questo `e stato finora il metodo pi`u utilizzato in letteratura per determinare l’energia libera. 2. Tramite simulazioni a θ 6= 0 utilizzando il “metodo del θ immagi-

nario”: in quest’altro caso i coefficienti di F (θ) sono stati calcolati facendo best-fit ai dati dei cumulanti hQn_i

c/V , calcolati ai diversi θ.

Questo approccio `e stato finora studiato in forma preliminare e applicato solo a T = 0; in [30] si `e osservato che, per grandi volumi reticolari, esso fornisce stime pi`u precise dei parametri di F (θ). Cos`ı, in questo lavoro abbiamo cercato di ottimizzarlo, sfruttando l’informazione proveniente dai primi quattro cumulanti della distribuzione di carica topologica.

Ci siamo accorti che questi due approcci portano a risultati perfettamente com- patibili, per`o abbiamo rilevato che la loro efficienza cambia a seconda del regime in cui si opera. Per capire l’origine di questa differenza abbiamo elaborato dei modelli matematici che potessero fornire una spiegazione dei risultati trovati.

Sia a T = 0 che a T finita, abbiamo notato che la precisione sulla stima della suscettivit`a rimane pressoch´e inalterata usando i metodi sopra elencati, mentre si osservano differenze notevoli per i parametri b2 e b4. In particolare,

all’aumentare del volume del reticolo, abbiamo riscontrato che gli errori su b2 e

b4 diminuiscono fino ad un fattore 10 se si utilizza il secondo metodo. Tenendo

conto dello sforzo computazionale richiesto da simulazioni a θ 6= 0 e della nostra statistica di dati su tutti i valori di θ, siamo giunti alle seguenti conclusioni: per piccoli volumi reticolari `e pi`u efficiente il metodo 1, mentre nel regime di grandi volumi il metodo 2 si rivela pi`u conveniente. `E da notare che, il regime di grandi volumi include anche quelli minimali per non avere effetti di size finita. I modelli che abbiamo elaborato, per capire questa differenza, confermano quanto trovato dalle simulazioni numeriche. Infatti, essi suggeriscono che l’errore assoluto su b2, se calcolato con il metodo 1, cresca linearmente col volume, δb2 ∝ V e, in

effetti, dalle simulazioni numeriche `e stato osservato proprio un andamento lineare dell’errore. D’altra parte, abbiamo dimostrato che gli errori relativi dei cumulanti hQn_i

c/V (utilizzati nel metodo 2) hanno un’altra dipendenza dal volume; ad

esempio, per hQi/V l’errore relativo scala come 1/√V e per hQ2_i

c/V si mantiene

costante. Questi argomenti spiegherebbero perch´e, a grandi volumi reticolari, il metodo 2 risulta pi`u efficiente.

Dopo aver studiato le correzioni di volume finito su b2, abbiamo poi estrapolato

il suo valore al continuo, che a T = 0 risulta

b2 = −0.021 ± 0.003 . (5.2)

Ottimizzare il metodo del θ immaginario ci ha consentito di trovare un nuovo metodo per fissare la costante di rinormalizzazione Zq e di ottenere un limite

superiore di b4 pi`u piccolo di quelli trovati finora in letteratura.

Dato che la nostra implementazione del metodo del θ immaginario si `e rivelata un metodo migliore per stimare i coefficienti di F (θ), sarebbe interessante conti- nuare su questa strada per approfondire lo studio sulla dipendenza dal parametro θ. Sebbene b4 sia stato stimato con maggiore precisione, tale parametro risul-

ta ancora compatibile con zero. In futuro si potrebbe, ad esempio, aumentare la statistica di misure per poterlo determinare in modo pi`u accurato. Questo consentirebbe di ricavarne il valore nel limite termodinamico e di eseguirne poi

l’estrapolazione al continuo. Il lavoro svolto in questa tesi, si potrebbe anche ripetere per teorie di gauge SU (N ) con N > 3. `E previsto che, a T = 0, i coeffi- cienti b2n vadano a zero come Nc−2n; cos`ı, sarebbe interessante effettuare un test

di precisione per queste previsioni, almeno per quanto riguarda il parametro b2.

Inoltre, si potrebbero anche raffinare le stime dei parametri b2 e b4 a temperatura

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Nel documento Proprieta topologiche delle interazioni forti (pagine 115-127)