ch:cp
In questo capitolo indicheremo con ξ un fibrato principale, con spazio totale P, base M e gruppo strutturale G.
2.1. La distribuzione verticale
sec:13.1
All’azione di G su P associamo le applicazioni
eq:22.0.1
eq:22.0.1 (2.1.1) `σ: G 3 a −−−−−→ σ · a ∈ P, per ogni σ ∈ P,
eq:22.0.2
eq:22.0.2 (2.1.2) Ra: P 3 σ −−−−−→ σ · a ∈ P, per ogni a ∈ G.
Indicando con Laed Rale tralsazioni a sinistra e a destra in G, abbiamo `σ◦ La= `σa,
Ra◦`σ= `σa◦ ad(a−1). Infatti
`σ(La(x))= `σ(ax)= σ · (ax) = (σa) · x = `σa(x),
Ra(`σ(x))= `σ(x) · a= σxa = (σa)ad(a−1)(x)= `σa◦ ad(a−1)(x). Definizione 2.1.1. Indichiamo con
(2.1.3) V(P)= {X ∈ X(P) | dπ(σ)(Xσ)= 0, ∀σ ∈ P} la distribuzione verticale su P e con
(2.1.4) V P=[
σ∈P{Xσ| X ∈ V(P)} ⊂ T P il corrispondente fibrato verticale.
La V(P) `e totalmente integrabile, in quanto la π : P → M definisce una foliazione globale di V(P). In particolare, `e
eq:22.0.3
eq:22.0.3 (2.1.5) [V(P), V(P)] ⊂ V(P).
Ogni X ∈ g definisce un gruppo a un parametro di diffeomorfismi di P:
eq:22.1.3
eq:22.1.3 (2.1.6) R 3 t−→Rexp(tX)∈C∞
(P, P).
Definizione 2.1.2. Il suo generatore infinitesimale X? si dice il campo fondamen-taleassociato a X.
Osservazione 2.1.3. Se ξ `e il fibrato banale G → {p0}, allora il campo fondamen-tale X?coincide con il campo invariante a sinistra X∗su G.
Notazione 2.1.4. Indichiamo con λσ : g → TσP il differenziale nell’identit`a dell’applicazione `σ: G 3 a → σ · a ∈ P.
Lemma 2.1.5. Per ogni X ∈ g, `e X?∈ V(P) ed
eq:1329
eq:1329 (2.1.7) Xσ?= λσ(X), ∀σ ∈ P.
Dimostrazione. Le curve integrali t → σ·exp(tX) di X?sono verticali e quindi X? `e verticale. Risulta poi
X?σ = d dt t=0σ · exp(tX) = d dt t=0`σ(exp(tX))= d`σ(e)(X).
prop:12.2.2 Proposizione 2.1.6. Con le notazioni introdotte sopra, abbiamo:
02 (1) ∀σ ∈ P, λσ= d`σ(e) : g 3 X → Xσ?∈ VσP `e un isomorfismo lineare.
03 (2) La P × g 3 (σ, X) → X?σ ∈ V P `e un’equivalenza di fibrati vettoriali. In particolare V P `e trivializzabile.
04 (3) LaΛ : g 3 X → X?∈ V(P) `e un monomorfismo di algebre di Lie.
05 (4) Vale la formula
eq:14.1.y
eq:14.1.y (2.1.8) dRa(X?)= [Ad(a−1)X]?, ∀a ∈ G, ∀X ∈ g.
06 (5) La distribuzione V(P) `e il sotto-C∞(P)-modulo generato dai campi di vettori X?, al variare di X in g.
Dimostrazione. (1). Poich´e l’azione di G su P `e libera, l’applicazione λ0202 σ `e iniettiva. `E anche un isomorfismo, perch´e VσPe g hanno la stessa dimensione.
La (2) `e conseguenza della (0303 1). Per (0202 02021),Λ `e iniettiva. I campi X∗su G ed X?su Psono `σ-correlati per ogni σ ∈ P. Questo implica cheΛ `e anche un omomorfismo di algebre di Lie, completando la dimostrazione del punto (3). La formula (0404 eq:14.1.yeq:14.1.y2.1.8) si ottiene dalla
Ra(σ · exp(tX))= σ · (exp(tX)a) = σ · a · (a−1exp(tX)a)= (σ · a) · exp(Ad(a−1)X), che dimostra come la traslazione Ra trasformi il flusso generato da X? nel flusso generato da [Ad(a−1)X]?. Infine, la (5) segue dalla (0606 3).0404 Sia σ ∈ P. Per la Proposizione 2.1.6, per ogni vettore verticale w ∈ Vprop:12.2.2prop:12.2.2 σP vi `e un unico elemento X dell’algebra di Lie g di G tale che X?σ = w. Questa corrispondenza definisce un’applicazione
eq:14.1.13
eq:14.1.13 (2.1.9) ωv: V P → g
di classeC∞
ed R-lineare sulle fibre di VP.
Diremo quindi che la ωv `e una forma differenziale sulla distribuzione verticale V P, a valori nell’algebra di Lie g.
Per la (2.1.8), la ωeq:14.1.yeq:14.1.y vsoddisfa
(2.1.10) (Ra)∗ωv= ad(a−1) ◦ ωv ∀a ∈ G.
Per semplificare le notazioni, sar`a a volte conveniente scrivere Xa invece che dRa(X), per X ∈ T P, a ∈ G, σA invece che λσ(A), per σ ∈ P, A ∈ g,
2.2. IL CONCETTO DI CONNESSIONE PRINCIPALE 31 aA invece che dLa(A), per a ∈ G, A ∈ T G.
2.2. Il concetto di connessione principale
Definizione 2.2.1. Una connessione principaleΓ su ξ `e il dato di una forma diffe-renziale ω ∈Ω1(P, g) (la sua forma di Cartan) che soddisfi le:
ω(A?)= A per ogni A ∈ g, (1)
R∗aω= Ad(a−1)ω ∀a ∈ G, cio`e (2)
ω((Ra)∗(X))= Ad(a−1)(ω(X)) ∀X ∈ X(P). (20)
Per ogni punto σ ∈ P, la la composizione
(2.2.1) TσP 3 Xσ −−−−−→ ω(Xω σ) ∈ g −−−−−→ [ω(Xλσ σ)]?σ∈ VσP definisce una proiezione di TσPsu VσP.
Il nucleo di questa proiezione `e la distribuzione orizzontale
(2.2.2) HP= {v ∈ T M | ω(v) = 0}.
Indichiamo con
(2.2.3) H (P) = {X ∈ X(P) | Xσ ∈ V P, ∀σ ∈ P} lo spazio dei campi orizzontali, cio`e delle sezioniC∞ di H M.
La distribuzione orizzontale di una G-connessione affine Γ `e caratterizzata dalle propriet`a: TσP= VσP ⊕ HσP, ∀σ ∈ P eq:22.0.1p eq:22.0.1p (10) (Ra)∗(HσP)= Hσ·aP, ∀σ ∈ P , ∀a ∈ G. eq:22.0.1s eq:22.0.1s (20)
Sia HP un sottofibrato vettoriale di T P che verifichi le (eq:22.0.1peq:22.0.1p10) e (2eq:22.0.1seq:22.0.1s0). Indichia-mo con prh e prv le proiezioni sulla componente orizzontale e sulla componente verticale, corrispondenti alla decomposizione (eq:22.0.1peq:22.0.1p10):
eq:1324 eq:1324 (2.2.4) T P prv ||zzzzzz zz prh ""E E E E E E E E V P HP.
Si verifica immediatamente che la forma ω ∈ Ω1(P, g), definita da
eq:yyyyy
eq:yyyyy (2.2.5) ω(X)= ωv(prv(X)), ∀X ∈ T P.
`e la forma di Cartan di una connessione principaleΓ su ξ ed abbiamo quindi la1: Proposizione 2.2.2. La ω ←→ HP= Sσ∈Pker ω(σ) definisce una corrisponden-za biunivoca tra le connessioni principali Γ su ξ ed i sottofibrati HP di T P che
soddisfano le condizioni(10) e (20).
1
La definizione della connessione a partire dalla distribuzione orizzontale `e dovuta a Char-les Ehresmann: Les connexions infinit´esimaChar-les dans un espace fibr´e diff´erentiable, Colloque de Toplogie, Bruxelles, (1950), pp. 29-55.
La caratterizzazione di una connessione principale mediante la sua distribuzio-ne orizzontale ci d`a facilmente:
prop:13.2.3 Proposizione 2.2.3 (estensione). Sia ξ0 = (P0 π0
−−→ M) un sottofibrato principale di ξ, con la stessa base M e gruppo strutturale G0⊂ G. Indichiamo conı : P0,→ P l’inclusione. Per ogni connessione principaleΓ0 su ξ0, con forma di Cartan ω0, vi `e un’unica connessione principaleΓ su ξ, la cui forma di Cartan ω soddisfi
(2.2.6) ω0 = ı∗ω.
Dimostrazione. Indichiamo con H0P0 il fibrato orizzontale della connessio-ne Γ0
. Poich´e H0P0 `e invariante per le traslazioni a destra mediante elementi di G0, abbiamo Ra1Hσ0
1P = Ra2H0σ
2P se σ1, σ2 ∈ P0, a1, a2 ∈ G e σ1a1 = σ2a2. L’applicazione
P0× G 3 (σ, a)→σ · a ∈ Pξ
`e surgettiva. Per l’osservazione precedente, possiamo allora definire il fibrato orizzontale HP della connessioneΓ ponendo
Hσ·aP= (Ra)∗(H0σP0), ∀σ ∈ P0, ∀a ∈ G.
Chiaramente HP `e univocamente determinato da H0P0, verifica le condizioni (10) e (20), e definisce quindi un’unica connessione principaleΓ su ξ, la cui forma di
Cartan ω estende quella diΓ0.
Osservazione 2.2.4. Viceversa, `e possibile restringere la connessione principale Γ su ξ ad una connessione principale Γ0 sul sottofibrato ξ0 se, e soltanto se, la restrizione a V0P0 della sua forma di Cartan ω `e a valori nell’algebra di Lie g0 di G0.
Teorema 2.2.5 (esistenza). Ogni fibrato principale ammette una connessione prin-cipale.
Dimostrazione. Siano ξ = (P −−→ M) un fibrato principale con gruppo strut-π turale G ed ωG ∈Ω1(G, g) la forma di Maurer-Cartan di G. Fissiamo un atlante di trivializzazione {(Uα, σα)} di ξ ed indichiamo con
eq:22.3.5
eq:22.3.5 (2.2.7) Ψα : Uα× G 3 (p, a)→σα(p) · a ∈ π−1(Uα)
le corrispondenti trivializzazioni locali. Per ogni indice α, sia prα,G : Uα× G → G la proiezione sul secondo fattore. Allora la ω0α= Ψα∗pr∗α,GωG ∈Ω1(π−1(Uα), g) `e la forma di Cartan di una connessione principale su ξ|Uα.
Fissiamo una partizione dell’unit`a {χα} su M subordinata al ricoprimento {Uα} e definiamo
ω=X
α(π∗χα)ω0α ∈Ω1(P, g),
ove le forme (π∗χα)ω0α si intendono estese con la forma nulla fuori dell’aperto π−1(Uα). Si verifica facilmente che ω `e la forma di Cartan di una connessione
2.4. IL FIBRATO DELLE CONNESSIONI PRINCIPALI 33 2.3. Pullback di una connessione principale
Sia ξ0 = (P0 π0
−→ M0) un altro fibrato principale, con gruppo strutturale G0, ed f : P0 → P un’applicazione differenziabile che induca un morfismo di fibrati principali2. Allora, se ω `e la forma di Cartan di una connessione principaleΓ su ξ, la sua immagine inversa ω0 = f∗ω `e la forma di Cartan di una connessione principaleΓ0su ξ0, che si dice il pullback della connessioneΓ.
In particolare, se N `e un’altra variet`a differenziabile ed f ∈ C∞
(N, M), defi-niamo il pullback f∗ξ= (Pf πf −−→ N) ponendo Pf = {(y, σ) ∈ N × P | π(σ) = f (y)}, πf : Pf 3 (y, σ) −→ y ∈ N.
Otteniamo cos`ı un un fibrato principale su N, con gruppo strutturale G, per l’azione (y, σ) · a= (y, σ · a), ∀(y, σ) ∈ Pf, ∀a ∈ G.
La f si rialza ad un morfismo ˜f di fibrati G-principali ˜
f : Pf 3 (y, σ) −→ ˜f(y, σ)= σ ∈ P.
Se ω `e la forma di Cartan di una connessione principaleΓ su ξ, allora la ˜f∗ω ∈ Ω1(Pf, g) `e la forma di Cartan di una connessione principale f∗Γ su f∗ξ.
2.4. Il fibrato delle connessioni principali
Sia ξ= (P−−π→ M) un fibrato principale, con gruppo strutturale G. Il differen-ziale della proiezione π definisce un fibrato differenziabile Tξ = (T P−−−dπ→ T M), la cui fibra tipica `e G × g, ove g `e l’algebra di Lie di G. Possiamo associare ad ogni sezione σ di ξ, definita su un aperto U di M, la trivializzazione locale
Ψσ : T U × G × g 3 (v, a, X) −→ (dσ(v)) · a+ (σ a) Ad(a−1)(X) ∈ T P|dπ−1(T U). Il differenziale dell’azione a destra di G su P definisce un’azione di G su T P, che preserva le fibre di T ξ. Infatti, da π= π ◦ Ra, otteniamo che dπ= dπ ◦ dRa, per ogni a ∈ G.
Indichiamo con Cξ il quoziente di T P rispetto a questa azione: due vettori X, Y ∈ T P definiscono lo stesso elemento di Cξse Y = Xa = dRa(X), per qualche a ∈ G. Il quoziente Cξ`e una variet`a differenziabile e il diagramma commutativo
T P $ // dπDDD""D D D D D D Cξ dπξ }}{{{{{{ {{ T M. definisce un fibrato vettoriale Cξ
dπξ
−−−−→ T M con fibra tipica g.
2Esistono cio`e una f0 ∈ C∞
(M0, M) ed una φ ∈ Hom(G0, G) tali che π ◦ f = f0 ◦π0
ed f ◦R0
a= Rφ(a)◦ f , per ogni a ∈ G0
Una trivializzazione locale (Uα, σα) di ξ ci permette di definire una sezione Ψα: T Uα× g 3 (X, A) −→ dσα(X)+ A?σα ∈ T P
del fibrato T P−−−dπ→ T M. Compondendola con la proiezione nel quoziente ottenia-mo una trivializzazione locale
T Uα× g 3 (X, A) −→ $ ◦Ψα(X, A) ∈ dπ−1(T Uα)= Cξ T Uα.
Componendo con la proiezione sulla base, Cξ `e lo spazio totale di una fibrato vettoriale su M
ρ: Cξ−→ M, con fibra tipica Rm⊕ g. Abbiamo3:
Teorema 2.4.1. Le connessioni principali su ξ sono in corrispondenza biunivoca con le sezioniΓ : T M → Cξdel fibrato Cξ−−−dπ→ T M tali che
T M Γ // pr !!C C C C C C C C Cξ ρ ~~~~~~~~ ~~ M sia un morfismo di fibrati vettoriali su M.
In questa corrispondenza, la distribuzione orizzontale `e caratterizzata da
eq:174a
eq:174a (2.4.1) HP= $−1(Γ(T M)).
2.5. Automorfismi di una connessione principale
Sia ξ un fibrato principale con una connessioneΓ, con forma di Cartan ω. Definizione 2.5.1. Un automorfismo di Γ `e un automorfismo ( ˜f, f, id) di ξ che preserva la connessione.
Abbiamo cio`e un diagramma commutativo
P ˜ f −−−−−→ P π y yπ M −−−−−→ f M
in cui f ∈C∞(M, M) `e un diffeomorfismo e la ˜f gode delle propriet`a: ˜ f(σ · a)= ˜f(σ) · a, ∀σ ∈ P, ∀a ∈ G, (i) ˜ f∗ω= ω. (ii)
Denotiamo con Aut(Γ) il gruppo degli automorfismi di Γ.
2.6. FORME DI CHRISTOFFEL ED EQUAZIONI DI GAUGE 35 2.6. Forme di Christoffel ed equazioni di gauge
sec:14.5
Sia ξ= (P−−→ M) un fibrato principale con gruppo strutturale G.π Fissiamo su ξ una connessione principaleΓ, con forma di Cartan ω.
Sia σU ∈Γ(U, P) una sezione C∞di ξ, definita su un aperto U di M. Indichia-mo con
eq:1361
eq:1361 (2.6.1) ωU = σ∗
Uω= ω ◦ dσU ∈Ω1(U, g). il pullback su U di ω mediante la sezione σU.
Definizione 2.6.1. La ωU ∈ Ω1(U, g), definita dalla (eq:1361eq:13612.6.1), si dice la forma di Christoffel4della connessioneΓ nella trivializzazione locale (U, σU).
La sezione σU∈Γ(U, P) definisce la trtivializzazione locale ΨU: U × G 3 (p, a) −→ σU(p)a ∈ P|U.
Identifichiamo in modo canonico T (U × G) con il prodotto cartesiano T U × T G. Un vettore tangente ad U × G si pu`o allora descrivere come una coppia (v, A∗a) con v ∈ T U, A ∈ g, a ∈ G.
lem:1329 Lemma 2.6.2. `E
eq:22.5.b2a
eq:22.5.b2a (2.6.2) Ψ∗
Uω= Ad(a−1)ωU+ a−1da,
ove abbiamo indicato con a−1da la forma di Maurer-Cartan di G.
Notiamo che, nella (eq:22.5.b2aeq:22.5.b2a2.6.2) il primo addendo a secondo membro opera sui vettori di T U, il secondo su quelli di T G; `e cio`e
Ψ∗
Uω(v, A∗a)= Ad(a−1)ωU(v)+ A, ∀v ∈ TU, ∀A ∈ g, ∀a ∈ G. Dimostrazione. Con le notazioni introdotte alla fine di §sec:13.1sec:13.12.1, abbiamo
dΨU = dσU· a+ σU· da. `
E poi
ω(dσU(v)a)= Ad(a−1)ω(dσU(v))= Ad(a−1)ωU(v), ∀v ∈ T U, ∀a ∈ G, ω(σU· da(A∗))= ω(σUA∗)= ω(A?)= A, ∀A ∈ g, ∀a ∈ G.
Da queste relazioni ricaviamo la (2.6.2).eq:22.5.b2aeq:22.5.b2a Sia ora A = {(Uα, σα)} un atlante di trivializzazione di ξ. Poniamo per semplicit`a
ωα = σ∗
αω, ω˜α = Ψ∗ αω
per indicare le forme di Christoffel delle trivializzazioni locali dell’atlante e i pull-back ˜ωαdella forma di Cartan mediante le trivializzazioni locali
Ψα: Uα× G 3 (p, a) −→ σα(p)a ∈ P|Uα.
4Elwin Bruno Christoffel (10/11/1829, Montjoie, ora Monschau (villaggio tedesco vicino ad Aquisgrana e alla frontiera belga) - 15/3/1900 Strasburgo) matematico e fisico tedesco. Ha lavo-rato su applicazioni conformi, teoria del potenziale, teoria degli invarianti, analisi tensoriale, fisica matematica, geodesia e onde d’urto. Oltre ai simboli di Christoffel, sono note le applicazioni di Schwarz-Christoffel, mappe conformi dei poligoni semplici sul semipiano superiore.
Notazione 2.6.3. Siano5ψα,β = σ−1
α σβ ∈ C∞(Uα,β, G) le funzioni di transizione dell’atlanteA . Per ogni coppia di indici α, β per cui Uα,β, ∅ indichiamo con
eq:22.4.2
eq:22.4.2 (2.6.3) θα,β= ψ∗
α,βωG = ψ−1
α,βdψα,β∈C∞(Uα,β, g)
il pullback della forma di Maurer-Cartan ωG = a−1dadi G mediante la funzione di transizione ψα,β.
Vale il seguente:
Teorema 2.6.4. SianoA = {(Uα, σα)}α∈I un atlante di trivializzazione di ξ, con funzioni di transizione {ψα,β = σ−1
α σβ∈C∞(Uα,β, G)}, ed{ωα∈Ω1(Uα, g)}α∈Iuna famiglia di forme differenziali, definite sugli aperti Uαdell’atlanteA , ed a valori in g. Allora:
(1) Vi `e al pi`u una connessione principaleΓ su ξ di cui le {ωα} siano le forme di Christoffel di Γ rispetto alle trivializzazioni locali dell’atlante A . (2) Condizione necessaria e sufficiente affinch´e le {ωα} siano le forme di
Christoffel di una connessione principale Γ su ξ `e che siano verificate le ωβ= Ad(ψ−1
αβ)ωα+ ψ−1
α,βdψα,β su Uα,β (equazioni di gauge).
eq:cop.2.c
eq:cop.2.c (2.6.4)
Dimostrazione. L’unicit`a segue dal Lemma2.6.2, in quanto, per (lem:1329lem:1329 eq:22.5.b2aeq:22.5.b2a2.6.2), le ˜ωα sono determinate dalle ωα e a loro volta determinano univocamente le restrizioni di ω agli aperti P|Uα.
Per dimostrare la seconda affermazione, baster`a verificare che le equazioni di gauge esprimono una condizione necessaria e sufficiente affinch´e risulti
eq:cop14
eq:cop14 (2.6.5) Ψα∗ω˜α= Ψβ∗ω˜β su P|Uα,β
e quindi le {Ψα∗ω˜α} si rincollino e definiscano una forma di connessione ω su P. Le (eq:cop14eq:cop142.6.5) sono equivalenti a
eq:cop15
eq:cop15 (2.6.6) (Ψ−1
α ◦Ψβ)∗ω˜α= ˜ωβ su Uα,β× G.
Indichiamo con (p, b) il punto generico in Uβ× G e con (p, a) il punto generico di Uα× G. Allora
Ψ−1
α ◦Ψβ(p, b)= (p, σα(p)−1σβ(p) b)= (p, ψα,β(p)b), ∀p ∈ Uα,β, ∀a ∈ G e b= ψ−1
α,β(p)a= ψβ,αa. Abbiamo quindi (Ψ−1 α Ψβ)∗ω˜β= (Ψ−1 α Ψβ)∗(Ad(b−1)ωβ+ b−1db) = Ad([ψβ,αa]−1)(Ad(ψ−1α,β)ωα+ ψ−1 α,βdψα,β)+ [ψ−1 β,αa]−1((dψβ,α)a+ ψ−1 β,αda) = Ad(a−1)ωα+ Ad(a−1)[(dψα,β)ψβ,α+ ψα,βdψβ,α]+ a−1da.
Poich´e ψα,βψβ,α = eG, `e [(dψα,β)ψβ,α+ψα,βdψβ,α]= 0. Otteniamo cos`ı l’uguaglian-za (Ψ−1
α Ψβ)∗ω˜β= ˜ωα. La dimostrazione `e completa. 5Indichiamo con Uα1,...,αhl’intersezione Uα1∩ · · · ∩ Uαh.
2.8. SOLLEVAMENTO ORIZZONTALE DI CAMMINI E TRASPORTO PARALLELO 37 Osservazione 2.6.5. Identificando T (Uα× G) al prodotto cartesiano T Uα× T G, possiamo descrivere il pullback su Uα × G della distribuzione orizzontale su P mediante
eq:13613
eq:13613 (2.6.7) Ψ∗
αHσα(p)a= {Xp− [ωα(Xp)]∗a| Xp∈ TpM}, ∀p ∈ Uα, ∀a ∈ G. 2.7. Sollevamento orizzontale di campi di vettori
Sia assegnata una connessione principaleΓ su ξ, con forma di Cartan ω. Per ogni σ ∈ P l’applicazione
(2.7.1) HσP 3 Xσ−→dπ(σ)(Xσ) ∈ Tπ(σ)M `e un isomorfismo lineare. La sua inversa
(2.7.2) hσ: Tπ(σ)M−→HσP
ci permette di definire l’applicazione
cop.1.4
cop.1.4 (2.7.3) h : X(M) 3 X−→ ˜X ∈H (P), con ˜Xσ= hσ(Xπ(σ)), ∀σ ∈ P.
Definizione 2.7.1. Il campo ˜X ∈ X(P) `e il sollevamento orizzontale di X ∈ X(M). Si verifica facilmente che vale il seguente :
Proposizione 2.7.2. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e ˜X ∈ X(P) sia il sollevamento orizzontale di X ∈ X(M) `e che siano soddisfatte le due condizioni:
ω( ˜X)= 0, eq:cop.i eq:cop.i (i) dπ( ˜X) = X. eq:cop.ii eq:cop.ii (ii)
Queste due propriet`a implicano che:
(Ra)∗( ˜X)= ˜X ∀a ∈ G .
eq:cop.iii
eq:cop.iii (iii)
Il sollevamento orizzontale(2.7.3) `e un’applicazione R-lineare che soddisfa:cop.1.4cop.1.4 h( f X)= π∗ ( f ) ˜X, ∀ f ∈C∞ (M) , ∀X ∈ X(M), (a) dπ([ ˜X, ˜Y])) = [X, Y], ∀X, Y ∈ X(M) . (b)
Osservazione 2.7.3. Il commutatore del sollevamento orizzontale a P di due cam-pi di vettori su M `e invariante rispetto alle traslazioni a destra, soddisfa cio`e la propriet`a (eq:cop.iiieq:cop.iiiiii), ma pu`o non essere orizzontale, non soddisfare cio`e la (eq:cop.ieq:cop.ii).
2.8. Sollevamento orizzontale di cammini e trasporto parallelo
sec:14.14
Indichiamo conC1
tr([0, 1], M) l’insieme delle curve di classeC1a tratti in M. Proposizione 2.8.1 (Sollevamento orizzontale dei cammini). Siano γ ∈C1
tr([0, 1], M) eσ0 ∈ P, conπ(σ0) = γ(0). Allora esiste un unico cammino ˜γσ0 ∈C1
tr([0, 1], P), tale che eq:22.4a.1 eq:22.4a.1 (2.8.1) ˜γσ0(0)= σ0, π ◦ ˜γσ0(t)= γ(t), ∀t ∈ [0, 1], d±˜γσ0(t) dt ∈ HP, ∀t ∈ [0, 1].
Dimostrazione. Possiamo limitarci al caso in cui γ ∈ C1([0, 1], M). Poich´e il fibrato ξ `e localmente banale, esiste senz’altro una curva γP∈C1([0, 1], P) tale che
γP(0)= σ0, π ◦ γP(t)= s(t), ∀t ∈ [0, 1]. Cerchiamo allora la ˜γσ0 nella forma
˜γσ0(t)= γP(t) · a(t), con a ∈C1([0, 1], G). Poich´e d˜γσ0(t) dt = ˙γP (t)a(t)+ γP (t)˙a(t), la condizione che ˜γσ0 sia orizzontale si pu`o riscrivere mediante
0= ω d ˜γσ0(t) dt
!
= ω(˙γP(t)a(t))+ ω(γP(t)˙a(t))= ω(dRa(t)( ˙γP))+ ωG(˙a(t)) = Ad(a(t)−1) ◦ ω( ˙γP)+ a(t)−1˙a(t). La a(t) deve essere quindi soluzione dell’equazione
˙a a−1= ω(˙γP).
Per la Proposizione1.3.10, quest’equazione ammette una ed una sola soluzione, eprop:fp.1.1prop:fp.1.1 quindi anche la (eq:22.4a.1eq:22.4a.12.8.1) ha una ed una sola soluzione. Definizione 2.8.2. L’unica soluzione ˜γσ0 di (eq:22.4a.1eq:22.4a.12.8.1) si dice il sollevamento orizzon-taledi γ a partire dal punto σ0.
Sia γ ∈C1
tr([0, 1], M).
Definizione 2.8.3. Il trasporto parallelo lungo γ, `e l’applicazione
eq:22.4a.2
eq:22.4a.2 (2.8.2) τγ : Pγ(0) 3σ −→ ˜γσ(1) ∈ Pγ(1).
Vale la seguente:
prop:22.4a.2 Proposizione 2.8.4. Il trasporto parallelo gode delle seguenti propriet`a:
(1) Per ogni γ ∈C1 tr([0, 1], M) la τγ: Pγ(0)→Pγ(1) `e invertibile e6 τ−1 γ = τγ−1. eq:22.4a.4 eq:22.4a.4 (2.8.3) Inoltre τγ(σ · a)= (τγ(σ)) · a, ∀σ ∈ Pγ(0), ∀a ∈ G. eq:22.4a.3 eq:22.4a.3 (2.8.4) (2) Se γ, γ1, γ2∈C1 tr([0, 1], M) e7γ = γ1·γ2, allora eq:22.4a.3 eq:22.4a.3 (2.8.5) τγ = τγ2 ◦τγ1.
6Indichiamo con γ−1la curva γ−1(t)= γ(1 − t).
7Ricordiamo che γ1·γ2(t)= γ1(2t) se 0 ≤ t ≤ 1 2, γ2(2t − 1) se 1 2 ≤ t ≤ 1.
2.9. IL GRUPPO DI OLONOMIA 39 2.9. Il gruppo di olonomia
sec:13.9
Notazione 2.9.1. Per ogni punto p ∈ M indichiamo conL (p) lo spazio dei laccetti in p, di classe8C1a tratti. Ogni elemento γ diL (p) definisce un elemento [γ] del gruppo fondamentale π1(M, p) di M con punto base p. Denotiamo con L0(p) l’insieme dei laccetti γ con [γ]= 0.
Fissata una connessione principaleΓ su ξ = (P −−→ M), il trasporto paralleloπ associa ad ogni laccetto γ ∈L (p) un’applicazione τγdella fibra Ppin s´e
eq:cop.9.3
eq:cop.9.3 (2.9.1) τγ : Pp3σ −→ ˜γσ(1) ∈ Pp.
Lemma 2.9.2. Per ogni p ∈ M, l’insieme
eq:22.5.1
eq:22.5.1 (2.9.2) Φ(p) = {τγ |γ ∈ L (p)}
dei trasporti paralleli corrispondenti a laccetti di classe C1 a tratti in p `e un gruppo di permutazioni di Pp.
L’insieme
eq:22.5.2
eq:22.5.2 (2.9.3) Φ0(p)= {τγ |γ ∈ L0(p)}
dei trasporti paralleli corrispondenti a laccetti diL (p) omotopi al laccetto
co-stante `e un sottogruppo normale diΦ(p).
Definizione 2.9.3. Chiamiamo Φ(p) gruppo di olonomia ed il suo sottogruppo normaleΦ0(p) gruppo di olonomia ristretto della connessioneΓ in p.
Ad ogni σ ∈ Pp associamo un monomorfismo del gruppo di olonomia nel gruppo strutturale mediante:
eq:cop.9.6
eq:cop.9.6 (2.9.4) ρσ:Φ(p) 3 τγ −→ a= σ−1◦ τγ(σ) ∈ G.
Definizione 2.9.4. I sottogruppi Φ(σ) = ρσ(Φ(p)) di G e Φ0(σ) = ρσ(Φ0(p)) si dicono rispettivamente gruppo di olonomia e di olonomia ristretta diΓ in σ ∈ P. Proposizione 2.9.5. Il gruppo di olonomia ristrettaΦ0(σ) `e un sottogruppo
nor-male del gruppo di olonomiaΦ(σ).
Osservazione 2.9.6. Consideriamo in P la relazione di equivalenza “∼” che identi-fica due elementi σ1, σ2∈ P se `e possibile trovare una curva orizzontale, di classe C1a tratti, con punto iniziale σ1e punto finale σ2. Allora
(2.9.5) Φ(σ) = {a ∈ G | σ · a ∼ σ}.
Proposizione 2.9.7. (1) Se p ∈ M, σ ∈ Pp, a ∈ G, allora
eq:13166
eq:13166 (2.9.6) Φ(σa) = ad(a−1)(Φ(σ)), Φ0(σa)= ad(a−1)(Φ0(σ)).
8Possiamo definire i gruppi di olonomia utilizzando laccetti di classeCka tratti, per k ≥ 1. Un teorema di Nomizu e Ozeki [On the degree of differentiability of curves used in the definition of the holonomy group, Bull. Amer. Math. Soc. 68 (1962), 74-75] ci dice che diversi gradi di regolarit`a (1 ≤ k ≤ ∞) danno gli stessi gruppi di olonomia.
(2) Se σ0, σ1 ∈ P possono essere congiunti con una curva orizzontale di classeC1a tratti, allora
(2.9.7) Φ(σ1)= Φ(σ0), Φ0(σ1)= Φ0(σ0).
(3) In particolare, se M `e connesso, allora tutti i gruppi di olonomiaΦ(σ), al variare diσ in P, sono coniugati tra loro come sottogruppi di G. Dimostrazione. (1) `E ˜γσa = ˜γσae quindi
(σa)−1˜γσa(1)= a−1σ−1˜γ(1)a= ad(a−1)(σ−1˜γσ(1)), da cui segue la (2.9.6).eq:13166eq:13166
(2) Sia ˜s una curva orizzontale di classeC1a tratti che congiunga σ0a σ1 ed s= π ◦ ˜s la sua proiezione su M. Per ogni a ∈ Φ(σ0), possiamo trovare un laccetto γ ∈ L (π(σ0)) tale che ˜γσ0(1) = σ0a. La curva ˜sa `e una curva orizzontale di estremi σ0ae σ1a. Quindi la curva ( ˜sa) · ˜γσ0· ˜s−1`e una curva orizzontale che rialza il laccetto s · γ · s−1 ∈L (π(σ1)) e che congiunge σ1a σ1a. Questo dimostra che a ∈ Φ(σ1). QuindiΦ(σ0) ⊂ Φ(σ1). Ripetendo lo stesso ragionamento possiamo dimostrare anche l’inlcusione opposta. Per completare la dimostrazione del punto (2), basta osservare che s · γ · s−1∈L0(π(σ1)) se γ ∈L0(π(σ0)).
La (3) `e conseguenza immediata della (2) e della (1). Vale9il :
thm:13244 Teorema 2.9.8. Sia ξ= (P−→ M) un fibrato principale con gruppo strutturale G,π
con base connessa, su cui abbiamo fissato una connessione principaleΓ. Sia σ0 un punto di P. Allora:
(a) Φ0(σ0) `e un sottogruppo di Lie connesso di G.
(b) Φ0(σ0) `e un sottogruppo normale diΦ(σ0) ed il quozienteΦ(σ0)/Φ0(σ0) `e al pi`u numerabile.
(c) In particolare, Φ(σ0) `e un sottogruppo di Lie di G, e Φ0(σ0) `e la sua componente connessa dell’identit`a.
Dimostrazione. Sia γ ∈ L0(p) un laccetto omotopo all’identit`a. Se F : [0, 1]× [0, 1] → M `e un’omotopia di laccetti di classe C1 a tratti di γ con il laccetto costante, allora [0, 1] 3 t → σ−10 τFt(σ0) `e un cammino continuo in Φ0(σ0) che congiunge σ−10 τγ(σ0) con l’identit`a. Per il teorema di Freudenthal citato nella nota, ne segue cheΦ0(σ0) `e un sottogruppo di Lie di G.
La seconda affermazione segue dal fatto che Φ0(σ0) `e un sottogruppo normale ed abbiamo un omomorfismo surgettivo
π1(M) −→Φ(σ0)/Φ0(σ0).
Poich´e M `e connesso e paracompatto, il suo gruppo fondamentale `e al pi`u
nume-rabile e da questa osservazione ricaviamo la tesi.
9Per la dimostrazione di questo risultato, `e utile utilizzare il seguente teorema di Freudenthal [Die Topologie der Lieschen Gruppen als algebraisches Ph¨anomen I Ann. of Math. 42 (1941) 1051-1074]: Un sottogruppo H connesso per archi di un gruppo di Lie G, in cui ogni coppia di punti si possa congiungere con un arco di classeC1a tratti, `e un sottogruppo di Lie di G.
2.9. IL GRUPPO DI OLONOMIA 41 Dal Teorema2.9.8 segue subito ilthm:13244thm:13244
thm:13245 Teorema 2.9.9 (di riduzione). Sia ξ= (P−→ M) un fibrato principale con gruppoπ
strutturale G, e supponiamo M connesso e paracompatto. SiaΓ una connessione principale su ξ. Fissiamoσ0 ∈ P e sia P(σ0) l’insieme dei punti di P che possono essere congiunti aσ0da un cammino orizzontale. Allora:
(i) ξσ0 = (P(σ0) −−→ M) `e un sottofibrato principale di ξ, con gruppoπ strutturaleΦ(σ0).
(ii) La connessioneΓ su ξ si riduce ad una connessione Γ0su ξσ0. Definizione 2.9.10. Chiamiamo ξσ0 il fibrato d’olonomia per σ0.
CAPITOLO 3