Quando abbiamo parlato delle sorgenti sismiche, le abbiamo supposte puntiformi. Que- sta approssimazione `e utile, ma d`a alcuni problemi specifici (Sykes e Evernden, 1982). Il primo `e che la formazione della sorgente non `e istantanea: impiega un tempo pari alla dimensione massima della sorgente divisa per la velocit`a di formazione della sorgente stessa. Per i terremoti la dimensione della sorgente `e pari alla lunghezza della disloca-
zione nella quale viene liberata la maggior parte dell’energia di breve periodo, ed `e da 3 a 20 volte maggiore (a seconda dello stato di sforzo nelle rocce) del raggio della cavit`a e della zona di distruzione di un’esplosione comparabile. Per i terremoti la velocit`a di formazione della sorgente `e da poco meno a molto meno della velocit`a delle onde trasver- sali nelle rocce circostanti la faglia, mentre per le esplosioni la velocit`a corrispondente `e quella delle onde d’urto nella roccia, che `e essenzialmente la velocit`a delle onde di com- pressione. Come conseguenza di queste differenze fra le dimensioni della sorgente e della velocit`a di formazione della sorgente stessa, i tempi caratteristici delle esplosioni e dei terremoti differiscono di un fattore variabile dalle sei alle quaranta volte. Non `e strano quindi il fatto che generalmente venga osservata una chiara differenza fra gli spettri delle onde P di breve periodo dei terremoti e quelle delle esplosioni.
Un’altra peculiarit`a `e che, al contrario di quanto ci si aspetterebbe, le esplosioni pro- ducono una piccola quantit`a di onde S, e di conseguenza si possono registrare onde di Love anche in un test nucleare. Queste onde S non sono prodotte direttamente dall’e- splosione, ma da un piccolo terremoto da essa generato (Dahlman e Israelson, 1977). Infatti la cavit`a generata e il cono di distruzione circostante causati dall’esplosione porta alla liberazione di una parte dello sforzo naturale, che a sua volta genera onde sismiche, comprese quelle di Love, equivalenti alle onde di un piccolo terremoto. Le onde osservate sono una sovrapposizione delle onde dovute all’esplosione e di quelle dovute alla libera- zione dello sforzo. La liberazione dello sforzo naturale modifica anche l’ampiezza delle onde di Rayleigh. La perturbazione per`o non `e mai tanto grande da mettere in dubbio la natura di un evento identificato in base al rapporto fra le onde di lungo periodo e quelle di breve periodo. Solo di rado la perturbazione incide in maniera significativa sull’ampiezza delle onde P: non si `e mai avuto notizia che ne abbia modificato qualche volta la direzione del primo movimento. Se inoltre la magnitudo Ms `e determinata dalle
onde di Love anzich´e da quelle di Rayleigh, il metodo del rapporto (Ms : mb) `e in grado
di offrirci un’ottima discriminante.
Le tecniche descritte non sono in grado di fornire risultati con una certezza assoluta, e d’altronde sarebbe impossibile averla. Per sismi con mb > 4, l’IMS fornisce risultati con un buon intervallo di confidenza. Questi risultati sono resi ulteriormente affidabili dal fatto che lo sviluppo e il mantenimento di un arsenale di armi nucleari richiederebbe numerosi test, aumentando la probabilit`a che almeno uno venga rilevato.
Conclusioni
In questa tesi si sono discussi vari metodi di discriminazione tra terremoti ed esplosioni sotterranee. Per poter introdurre tali metodi, sono stati introdotti i sistemi di forze in un mezzo elastico. Sono stati discussi due modelli per le sorgenti puntiformi, il centro di dilatazione e la doppia coppia di forze, sia nel caso statico che nel caso dinamico. Nel caso dinamico sono state introdotte le onde sismiche, e nel secondo capitolo si `e proceduto a ottenere espressioni per gli spostamenti e le velocit`a di propagazione. Una volta ricavate queste informazioni, `e stato possibile introdurre i vari metodi di discriminazione, dei quali il principale e pi`u potente `e il discriminante mb/MS. I criteri studiati certamente
non sono affidabili al 100%, ma forniscono un buon intervallo di confidenza. Questi buoni risultati sono rafforzati da fattori esterni, tra cui la necessit`a di compiere una serie di test per poter ottenere e mantenere operativo un arsenale nucleare, e il rischio politico che un Paese correrebbe compiendo test clandestini. In definitiva se e quando il CTBT diventer`a operativo, ci sono ottime possibilit`a che un’eventuale violazione venga rilevata.
Appendice A
Il tensore di Green
Il tensore di Green per un mezzo elastico illimitato, omogeneo e isotropo `e la soluzione fondamentale per i problemi elastodinamici. La conoscenza del tensore di Green con- sente di calcolare l’effetto di qualunque distribuzione di forze applicata al mezzo (Aki e Richards, 2002).
A.1
I potenziali di Helmholtz
Abbiamo gi`a detto che `e sempre possibile scrivere un campo vettoriale A(x) nella forma A = A1+ A2 (A.1)
dove
∇ × A1 = 0, ∇ · A2 = 0 (A.2)
Dato che il rotore di un gradiente `e sempre nullo, si pu`o scrivere
A1 = ∇Φ (A.3)
dove Φ `e un campo scalare. Analogamente, poich´e la divergenza di un rotore `e sempre nulla, si pu`o scrivere
dove ΨΨΨ `e un campo vettoriale. Dunque la (1) pu`o essere scritta come
A = ∇Φ + ∇ × ΨΨΨ (A.5) I campi Φ e ΨΨΨ sono detti potenziali di Helmholtz.
Per calcolare i potenziali di Helmholtz relativi ad un campo A, bisogna trovare un campo vettoriale B che soddisfa l’equazione di Poisson vettoriale
∇2B = A (A.6)
Infatti, in base all’identit`a
∇2B = ∇(∇ · B) − ∇ × (∇ × B) (A.7)
l’equazione di Poisson `e identicamente soddisfatta se si sceglie
Φ = ∇ · B, ΨΨΨ = −∇ × B (A.8) Infatti, introducendo queste espressioni nell’identit`a scritta sopra, si ottiene
∇2B = ∇Φ − ∇ × (−ΨΨΨ) = A (A.9)
Risulta soddisfatta anche la condizione ∇ · ΨΨΨ = 0, perch´e la divergenza di un rotore `e uguale a zero.
La soluzione dell’equazione di Poisson vettoriale, analogamente al caso scalare, `e B(x) = − 1 4π Z V A(x0) |x − x0|dx 0 (A.10) dove V `e il volume nel quale `e definito il campo A. Ottenuto B, i potenziali di Helmholtz si calcolano poi tramite le (8).
La scomposizione in potenziali di Helmholtz `e particolarmente utile per il campo degli spostamenti u(x, t) in un corpo elastico.