Considerazioni sui materiali

I teoremi legati all’analisi allo stato limite sono applicabili fintanto che il portamento dei materiali coinvolti può essere idealizzato. Allora un simile com-portamento viene definito rigido-plastico. Generalmente vengono proposte le seguente classificazione delle leggi costitutive σ/ε dei materiali.

Fig. 2.1 Leggi costitutive σ/ε

Il comportamento di un elemento perfettamente rigido-plastico viene descritto da una serie di quantità statiche σ, chiamate tensioni generalizzate, e una serie di quantità cinematiche ε, chiamate deformazioni specifiche generalizzate; così che il loro prodotto (o meglio il prodotto del loro incremento) costituisce il lavoro interno per unità d’elemento. D rappresenta la dissipazione. Per deter-minare i teoremi dell’analisi agli stati limite, le condizioni di plasticizzazione si basano su due assiomi:

plastico

σ

elastico (reversibile) lineare-elastico

elastico / ideale-plastico rigido-plastico

ε σ

ε ε

ε ε

ε σ

σ

σ σ

elastico / plastico

D = δσ δε⋅

1. la figura di plasticizzazione che rappresenta uno stato senza tensioni deve essere convessa e i punti devono essere al suo interno;

2. l’assioma che definisce la legge della plasticità e mette in relazione lo stato di tensioni con le deformazioni. Un cambiamento dello stato di tensione δσ_p in fase di plasticizzazione combinato ad un incremento della deformazione pla-stica δε_p, non causa alcun lavoro.

Durante la plasticizzazione il cambiamento della tensione può avvenire solo lungo la figura stessa, quindi δσ_p non può che esserle tangenziale. Un vettore orientato verso l’esterno non può che essere in contraddizione con la condizione di plasticizzazione, mentre se l’orientamento di δσ_p è verso l’interno otteniamo un riduzione della tensione priva di deformazioni plastiche. Perché il lavoro ori-ginato dal prodotto scalare dei due vettori possa essere nullo, essi devono essere ortogonali tra di loro. Il vettore delle deformazioni plastiche è quindi perpendi-colare alla figura di plasticizzazione.

Fig. 2.2 Condizioni e legge di plasticizzazione

Con la verifica a rottura, la capacità portante di un sistema statico può essere determinata con l’ausilio dei teoremi del limite superiore ed inferiore. La solu-zione esatta si collocherà tra il carico di rottura che rispetta le condizioni imposte dal teorema statico e il carico di rottura rappresentante un meccanismo, il quale rispetta le condizioni del teorema cinematico.

Il calcestruzzo

Il criterio di rottura assunto per il calcestruzzo scaturisce dalla combinazione dell’ipotesi d’attrito formulata da Coulomb con il limite di resistenza a tensione.

Ne risultano due tipi di rottura possibili: di slittamento e di separazione. La prima interviene quando una determinata resistenza allo slittamento viene superata.

Questa resistenza è dovuta da un lato alla coesione e dall’altro dall’attrito interno attivato da una compressione agente sulla superficie. La rottura per separazione interviene invece quando la tensione nella sezione considerata supera il valore di resistenza a trazione f_t. Le equazioni che ne derivano sono quindi:

(1.5) σj

σi

σ σj

σi ^εpi εpj

δσp _δε p

τ = c–µσ

(1.6)

Fig. 2.3 Cerchio di Mohr per rottura di scorrimento e di separazione

Si consideri uno stato di tensioni in un determinato punto, espresso nelle sue tre direzioni principali σ₁, σ₂, σ₃, con l’ausilio del cerchio di Mohr, dove σ₁ >σ₂ >σ₃.

Geometricamente deduciamo che .

Introducendo , allora è possibile riscrivere la condizione geometrica:

Condizione di rottura per scorrimento considerato che :

2.1

Condizione di rottura per separazione:

2.2

Descrizione del limite di rottura per vari stati di tensione

Compressione pura Trazione pura Taglio puro

, , ,

Naturalmente nel caso di un campo di tensioni piano, dove quindi le tensioni nelle sezioni parallele al piano sono nulle ( ), essendo questo piano la sezione principale, le tensioni in direzione della normale risultano anch’esse nulle. È possibile allora esprimere le condizioni di rottura considerando le ten-sioni principali

La rappresentazione grafica dei criteri di rottura può dunque essere proposta nel sistema di coordinate (σ₁, σ₃) per due casi specifici.

Fig. 2.4 Criteri di rottura per un materiale in uno stato di tensioni piano

A conferma che il calcestruzzo rispetta le ipotesi di rottura di Coulomb vi è una svariata serie di esperimenti. Una loro valutazione permette di calibrare il fattore k definito. Buona approssimazione si ottiene per

, , e quindi

Per l’analisi che segue il calcestruzzo viene considerato un materiale dalle pro-prietà rigido-plastiche, nel rispetto dunque del criterio di rottura di Coulomb ma trascurandone la resistenza a trazione. La ragione di porre uguale a zero la resi-stenza a trazione è di per sè ovvia utilizzando un modello di calcolo plastico, in quanto la rottura per separazione risulta essere tutt’altro che duttile. Tuttavia soluzioni plastiche che tengono conto della resistenza a trazione del calcestruzzo

Descrizione del limite di rottura per un campo di tensione piano espresso in σ₁ e σ₃

, , ,

non sono di poco interesse. A questo proposito Marti e Thürlimann propongono in [56] dei criteri di plasticizzazione.

La resistenza cilindrica ridotta o effettiva

In un elemento sottoposto a compressione uniassiale si originano tensioni e rispettivamente deformazioni laterali. In presenza di un’armatura, questa ten-sione le viene trasmessa.

Fig. 2.5 Compressione in funzione della deformazione media longitudinale e d laterale

Il campo di tensione che viene a crearsi nell’anima di una trave è costituito dalla sovrapposizione di un campo inclinato a compressione e un campo verticale di tensione costituito dalle staffe assunte idealmente ripartite. Con l’intervento della fessurazione diagonale nell’anima la resistenza a compressione della biella si riduce rispetto al valore di riferimento costituito dalla resistenza cilindrica a compressione f_c. Sperimentalmente è possibile determinare la riduzione che sostanzialmente dipende dallo stato delle deformazioni relative a cui è sottopo-sto l’elemento considerato. Inoltre come dimostrano gli esperimenti a compres-sione uniassiale, il fenomeno di perdita di resistenza è più incisiva per i calcestruzzi ad alta resistenza. Muttoni in [64] formula le seguenti proposte di calcolo del fattore di riduzione dovuto alla deformazione laterale:

Considerando l’effetto della tensione trasversale dell’armatura e la capacità di trasmissione degli sforzi attraverso le fessure il Codice CEB-FIP [16] suggerisce la seguente assunzione:

Un’espressione simile viene proposta dall’Eurocode 2 [29] che prevede:

fc

k ^. fc

−σ −σ

−ε3 = u/l ε1

fc

u

l ε1

−σ

−σ

f_ce = 0.6f_c f_c≤20 [MPa]

f_ce 0.6 20 f_c 20

---  ^{2 3⁄}

⋅

= f_c>20 [MPa]

f_ce 0.6 1 f_ck 250

--- – 

 f_cd

=

e come minimo

dove in ambedue le proposte dei codici f_ck e f_cd stanno ad indicare la resistenza cilindrica caratteristica rispettivamente il valore di dimensionamento. Per il pro-seguo dell’analisi verrà preso in considerazione, come valore di riferimento per la resistenza cilindrica effettiva, l’ipotesi proposta da Muttoni.

L’acciaio d’armatura

Per il dimensionamento si assume che l’acciaio d’armatura può assumere esclu-sivamente tensioni longitudinali, quindi le barre risultano essere sollecitate in modo uniassiale. L’effetto spinotto dell’armatura, oggetto di studio dettagliato presso il Politecnico di Milano [15, 23, 24], può venire ragionevolmente trascu-rato nell’analisi allo stato limite ultimo, come ci dimostra Nielsen in [66]. Per convenienza anche la resistenza a compressione delle barre può venire trascu-rata, poiché il suo contributo è insignificante se paragonato a quello fornito dal calcestruzzo circostante. Le barre sono considerate come un’azione concentrata oppure distribuita lungo la sezione longitudinale, se la spaziatura è piccola rispetto alla dimensione dell’elemento considerato. Riassumendo, le condizioni di plasticizzazione ideali per il materiale considerato sono rappresentate dai dia-grammi seguenti:

Fig. 2.6 Condizione di plasticizzazione per il calcestruzzo e relazione σ/ε uniassiale per l’armatura

Come enunciato sopra nel caso della trasmissione di taglio attraverso l’elemento di CA il valore di riferimento della resistenza cilindrica a compressione f_c viene ridotto a quella effettiva f_ce.