Contrazione di SU(2) sul gruppo di Heisenberg

Abbiamo già accennato, nel capitolo 1, che il dieomorsmo I : Ω → SU(2), tale che I(α, β) =^_{− ¯}^β¯_α ^α_β^permette di identicare la struttura dierenziabile soggiacente a SU(2) con la sfera unitaria Ω ⊂ C2 centrata nell'origine (Ω ≡ S³ ⊂ R4). Quindi, per rendere simili le strutture dierenziabili sottostanti a

ˆ

H e a SU(2), dobbiamo modicare -per mezzo di trasformazioni C∞ - la sfera Ω, introducendo una famiglia di varietà dipendenti da un parametro  in grado di approssimare, nel limite in cui  tenda a 0, una varietà non più compatta dieomorfa a C × R ≡ ˆH.

Detta S1 la sfera unitaria in C2 di centro (0, i), si indichi con:

• γil dieomorsmo

γ : Ω → S1

(α, β) 7→ γ(α, β) := (−iα, −iβ + i).

• Sl' immagine di S1 tramite la dilatazione D_: _C² → _C2 (z₁, z₂) 7→ D_(z₁, z₂) := z₁ ¹2 ,^z2   .

Si può allora riconoscere in {S}la famiglia di varietà ottenute a partire da Ωper mezzo del dieomorsmo γ:= D◦ γ, ove43

γ: Ω → S (z1, z2) 7→ γ(z1, z2) =  − ⁱ ¹2 z1, ⁱ ^{(1 − z2)}  .

Ora bisogna dotare ciascun S di una struttura di gruppo. Si può ricorrere all'azione di SU(2) su Ω data da

AΩ: SU (2) × Ω → Ω (g, (z₁, z₂)) 7→ A_Ω(g, (z₁, z₂)) :=  gz1 z2  T .

la quale, tramite γ, può essere estesa ad un' azione su S, ottenendo AS_ : SU (2) × S → S (g, (z1, z2)) 7→ AS_(g, (z1, z2)) := γ  AΩ g, γ−1(z1, z2)
 .

E' facile vericare che AS_ eredita da AS_Ω l'importante proprietà che la rende un'azione semplicemente transitiva, secondo cui: per ogni z, ˜z ∈ S esiste un unico gz ˜z ∈ SU (2) tale che AS_(gz ˜z, z) = ˜z. Ciò permette di denire su ciascun S una legge prodotto ·S_ che munisce S di una struttura di gruppo isomorfa a quella di SU(2):

·S: S × S → S

((z1, z2), (w1, w2)) 7→ (z1, z2)·S_(w1, w2) := AS_(I ◦ γ−1(z1, z2), (w1, w2)), cioè44

(z1, z2)·S_(w1, w2) = (z1+ w1+ i(z1w2− ¯z2w1), z2+ w2+ i ¯z1w1+ iz2w2). (3.4) Le varietà S sono state ottenute dilatando anisotropicamente la sfera S1, per cui possono essere pensate come degli ellissoidi in C2, che condividono con

43Verrà utilizzata spesso la funzione inversa di γ, che riportiamo qui, per comodità: γ⁻¹ : S→ Ω, con γ−1

 (z1, z2) = (i^√z1, iz2+ 1).

S₁lo stesso spazio tangente nell'origine. Intuitivamente, mandando  a 0, l'ellis-soide S assume una forma sempre più alta che larga, poiché, per  → 0, −1

2

cresce meno rapidamente di quanto non faccia −1. Se vogliamo che le varietà S riescano ad approssimare, in qualche maniera, la varietà soggiacente a ˆH, conviene modicare anche quest'ultima; ovviamente, bisogna eettuare questa trasformazione preservando la struttura di gruppo di ˆH, proprio come faremo ora.

Consideriamo l'azione A_Hˆ di ˆH su C2 data da:

A_Hˆ : H^ˆ × _C2 → _C2

((ζ, t), (z₁, z₂)) 7→ A_Hˆ((ζ, t), (z₁, z₂)) := (z₁+ ζ, t + ⁱ

2|ζ|²+ z₂+ i ¯ζz₁). Poichè A_Hˆ è semplicemente transitiva sulla varietà S0 := {(z₁, z₂) ∈ C2 : Im z2 = ¹₂|z1|2}, si può identicare ques'ultima con ˆH per mezzo del dieo-morsmo

γ₀: H^ˆ → S₀

(ζ, t) 7→ γ0(ζ, t) := A_Hˆ((ζ, t), (0, 0)) = (ζ, t + ⁱ 2|ζ|2); inoltre, γ0 permette di trasferire su S0 la struttura di gruppo di ˆH:

·S0 : S0 × S0 → S0

((z1, z2), (w1, w2)) 7→ (z1, z2)·S₀(w1, w2) := A_Hˆ(γ0−1(z1, z2), (w1, w2)), cioè

(z1, z2)·S₀(w1, w2) = (z1+ w1, z2+ w2+ i ¯z1w1). (3.5) Osservazione 8. Si vuole mettere in evidenza che, da (3.4) e (3.5), risulta

(z1, z2)·S(w1, w2)= (z^∗ 1, z2)·S0(w1, w2) + (o(), o()),

e le due leggi prodotto potrebbero essere identicate a meno di un errore dell'or-dine di o(); ovviamente, l'uguaglianza appena scritta non è corretta, perchè in (*) si sottintende (z1, z₂), (w₁, w₂) ∈ S_ e, quindi, non è ben denita l'operazio-ne (z1, z₂)·_S0(w₁, w₂). Per rendere rigorosa l'equazione (*), si veda il Lemma 1.

Ora siamo pronti per analizzare la dinamica che lega gli ellissoidi S alla varietà S0. Si noti che quest'ultima deve essere pensata come se fosse un para-boloide in C2, avente vertice assoluto nell'origine, concavità verso l'alto e asse Im z2 come asse di simmetria.

Lemma 1. Sia data una successione {z}_∈R>0 tale che: • z∈ S per ogni  > 0,

• esista il limite lim→0z_=: z₀ in C2. Allora:

1. zo∈ S₀;

2. presa un'altra successione {w}_∈R>0 che soddisfa gli stessi requisiti di {z}_∈R>0, si ha che

lim

→0z·S_w= z0·S₀w0.

Dimostrazione. Se z= (z1, z2) ∈ S, allora γ−1(z1, z2) ∈ Ω, per cui l'equa-zione che denisce Sè |z1|2+ |z2− i|2= 1; questa è equivalente a

Im z2 ∗∗

= ¹

2^(|z1|2+ |z2|2) ∀z∈ S.

L'esistenza di z0 in C2 implica in particolare che lim→0|z2| < ∞; se esiste il limite z0, allora questo deve necessariamente appartenere a S0, come si vede prendendo il limite in (**).

Per quanto riguarda 2), è suciente notare che prendendo il limite nell'e-quazione (3.4) si ottiene il prodotto scritto in (3.5).

Stabilita una procedura che permette di costruire una successione conver-gente in C2 in cui ogni elemento appartiene ad un S diverso, allora questa successione deve convergere necessariamente ad un elemento di S0. Segue che la varietà immagine S= γ(Ω)approssima la varietà S0 per  → 0.

Il Lemma 1 ci consentirà di attribuire un evidente signicato geometrico al-la contrazione tra i due gruppi di Lie SU(2) ≡ S1e ˆH ≡ S0, che ora descriviamo. Sia φ la funzione denita da

φ : S0 → S1\ (0, 2i) (z1, z2) 7→ φ(z1, z2) := (2i ^z1 2i + z2 , 2i ^z2 2i + z2 ).

Allora, indicate con φ ( ∈ R) le mappe45

φ: S0 → S1\ (0, 2i) (z1, z2) 7→ φ(z1, z2) := φ ◦ D−1(z1, z2) = (2i √ z1 2i + z₂^{, 2i} z2 2i + z₂^), (3.6) si vericare immediatamente la seguente

Proposizione 12. La famiglia {φ}_∈]0,1] è una contrazione di SU(2) ≡ S1 su ˆ

H ≡ S₀.

La famiglia {φ}_∈]0,1]denisce un procedimento che permette di costuire la successione {z}_∈R>0convergente ad un certo z0∈ S0(vedi Lemma 1); infatti, dato z0= (z1, z2) ∈ S0, è suciente porre S3 z:= D◦φ(z1, z2), per ottenere che lim→0z= z0, poiché vale46

lim

→0D_◦ φ(z₁, z₂) = (z₁, z₂) ∀(z1, z₂) ∈ S₀. (3.7)

45Si noti che Dinduce un dieomorsmo di S0 in sè.

46L'equazione (3.7) aerma che, per  → 0, la contrazione {φ}_∈]0,1]denisce una funzione limite che è l'inversa della dilatazione D; si giustica quindi il nome attribuito alla famiglia {φ_}_∈]0,1].

Quindi qualsiasi elemento di S0 può essere considerato il limite di elementi appartenenti ai vari S. Concludiamo, quindi, che la famiglia degli ellissoidi {S}_∈]0,1] realizza concretamente la deformazione continua di SU(2) in ˆH.

Ora vogliamo capire come utilizzare questa deformazione tra gruppi per pas-sare da su(2) a ˆh, ove si è indicata47 con ˆh l'algebra di Lie di ˆH introdotta nel capitolo precedente. Di preciso, ci aspettiamo che s1≡ su(2)possa essere con-fusa - nel limite in cui gli ellissoidi S si adagiano su S0 - con s0= ˆh.

Lo spazio vettoriale ˜T := {(z₁, z₂) ∈ C2: Im z₂= 0}sottostante a s è lo stesso per  ∈ [0, 1]. Al variare di  in [0, 1], mutano, invece, le costanti di struttura denenti le parentesi di Lie su ˜T. Ciò non deve stupire, perchè, per deformare S1 in S, bisgona modicare la geometria e la legge prodotto di S1, e ciò equi-vale a cambiare la forma dei campi vettoriali invarianti a sinistra deniti sulla varietà; l'algebra di Lie di un gruppo di Lie G è canonicamente identicabile con lo spazio vettoriale dei campi vettoriali invarianti a sinistra deniti su G munito della naturale parentesi di Lie data dal commutatore fra campi vettoriali48, per cui, in ultima analisi, ad un  diverso deve corrispondere necessariamente una diversa parentesi di Lie su ˆT.

A priori possiamo già aermare che s1 deve essere isomorfa a s per ogni  ∈]0, 1[, poiché vale

s= (dD)(0,0)(s1) = D(s1) ∀ ∈]0, 1[ (3.8) e (dD)(0,0), in quanto dierenziale sull'elemento neutro di un isomorsmo di gruppi di Lie, è un isomorsmo di algebre di Lie.

Scelta la base {X, Y, Z} di ˆT data da X := (1, 0), Y := (i, 0) e Z := (0, 1), possiamo riassumere la struttura di s1esplicitando il valore delle seguenti parentesi di Lie:

[X, Y ]_s1 = −2Z, [Y, Z]_s1 = −2X, [Z, X]_s1 = −2Y ; (3.9) per ricavare (3.10) si è sfruttato il fatto che SU(2) e S1 sono dieomor grazie all'isomorsmo di gruppi di Lie dato da J : SU(2) → S1 tale che g 7→ γ ◦ I−1(g) per ogni g ∈ SU(2); il dierenziale49 _j di J sul punto (0, 0) è allora un isomorsmo di algebre di Lie che permette di calcolare le parentesi di Lie in s1, secondo

[A, B]_s1 = j [j⁻¹(A), j⁻¹(B)]_su(2)

∀A, B ∈ s1.

Con una formula simile50, si possono calcolare le costanti di struttura di s per ogni  ∈]0, 1[, ottenendo:

[X, Y ]s= −2Z, [Y, Z]s = −2X, [Z, X]s = −2Y. (3.11)

47Nel seguito, adotteremo sempre questa convenzione, per cui, dato un gruppo di Lie (G), ci si riferirà alla sua algebra di Lie con le lettere minuscole gotiche (g).

48Si consulti [AT], capitolo 3.5.

49Si ha j : su(2) → s1  _β¯ _α − ¯α β  7→ j  _β¯ _α − ¯α β  := (dJ )_(0,0)  _β¯ _α − ¯α β  = (−iα, iβ). (3.10)

50Il ragionamento è lo stesso, l'isomorsmo di algebre di Lie che si deve utilizzare è D, come già accennato in (3.9).

Grazie a (3.12) si nota immediatamente che, al decrescere di , l'algebra s

diventa sempre meno anticommutativa, no a coincidere, nel limite in cui  → 0, con l'algebra di Heisenberg, determinata dalle seguenti costanti di struttura (vedi equazione (2.7)):

[X, Y ]ˆ_h= −2Z, [Y, Z]ˆ_h= 0, [Z, X]ˆ_h= 0. (3.12) Ciò permette alla contrazione di gruppi di Lie {φ}_∈]0,1]di indurre una contra-zione delle rispettive algebre di Lie, come messo in evidenza dalla

Proposizione 13. Si denisca φ, per ogni  ∈]0, 1], come nella Proposizione (12). Si indichi, per ogni  ∈]0, 1], con ϕ: s₀= ˆh→ s₁≡ su(2) il dierenziale nell'elemento neutro (0, 0) ∈ S0 della funzione φ.

Allora, la famiglia {ϕ}∈]0,1[ è una contrazione di su(2) ≡ s1 in ˆh. Dimostrazione. Si noti che ϕ = (dφ_)_(0,0) = (dφ)_(0,0)◦ D−1

 = D−1

 per ogni  in ]0, 1], per cui {ϕ}∈]0,1] è interamente costituita da isomorsmi di spazi vettoriali. Siano a, b, c, d, e, f ∈ R. Da un lato, abbiamo che

[aX + bY + cZ, dX + eY + f Z]ˆ_h= 2Z(bd − ae)

e dall'altro, risulta che

ϕ⁻¹_ [ϕ(aX + bY + cZ) , ϕ(dX + eY + f Z)]s₁
=

= 2Z(bd − ae) + 2Y (af − cd) + 2X(ce − bf ).

Per cui, (3.3) è soddisfatta.

Si vuole sottolineare che la contrazione permette di ottenere -nel limite-un'algebra di Lie nilpotente ([˜h, ˜h]˜_h=Span_R(Z) ⊂ ˜h) a partire da su(2) che, es-sendo un'algebra semplice, è massimamente anticommutativa ([su(2), su(2)] = su(2)). Ciò potrebbe essere sfruttato per trasferire stime e risultati dalla più maneggevole ˆh, alla più complicata su(2) (e viceversa, nel caso).

3.2 Dalle rappresentazioni di SU(2) a quelle del gruppo di