Ora che abbiamo definito gli ideali omogenei e le variet`a proiettive, per costruire una corrispondenza dobbiamo studiare la versione proiettiva delle funzioniV e I studiate nel caso affine.
Scriveremo Va e Ia per denotare la versione affine, e V e I per quella
proiettiva.
Proposizione 21. Sia I ⊂ K[x0, ..., xn] un ideale omogeneo, e supponiamo
che I =hf1, ..., fsi, con f1, ..., fs polinomi omogenei. Definiamo
3.4 Corrispondenza ideali omogenei-variet`a 45 allora V(I) = V(f1, ..., fs) `e una variet`a proiettiva.
Dimostrazione. La dimostrazione `e analoga a quella della Proposizione 2 del Capitolo 1 nel caso affine.
Proposizione 22. Sia V ∈ Pn(K) una variet`a proiettiva e poniamo
I(V ) ={f ∈ K[x0, ..., xn]| f(a0, ..., an) = 0∀ [a0, ..., an]∈ V }.
Se K `e infinito, allora I(V ) `e un ideale omogeneo di K[x0, ..., xn].
Dimostrazione. Si dimostra che I(V ) `e un ideale nello stesso modo del Lemma 3 del Capitolo 1.
Ora dimostriamo che `e un ideale omogeneo. Sia f ∈ I(V ) e fissiamo un punto P ∈ V . Per ipotesi tutte le coordinate omogenee di P annul- lano f , quindi ∀λ 6= 0, f(a0, ..., an) = f (λa0, ..., λan) = 0. Scrivendo f
come somma delle sue componenti omogenee, abbiamo f (λa0, ..., λan) =
P
ifi(λa0, ..., λan) =
P
iλifi(a0, ..., an) = 0,∀λ 6= 0. Questo `e possibile solo
se fi(a0, ..., an) = 0∀ i, ovvero ogni componente omogenea fi di f si annulla
in P . Questo mostra che fi ∈ I(V ), quindi I(V ) `e omogeneo.
Teorema 17. Sia K un campo infinito. Le mappe
I : variet`a proiettive −→ ideali omogenei e
V : ideali omogenei −→ variet`a proiettive
invertono le inclusioni. Inoltre, per ogni variet`a proiettiva V , V(I(V )) = V , cio`e I `e iniettiva.
Dimostrazione. La dimostrazione `e analoga al caso affine, si veda il Lemma 5 del Capitolo 2.
Possiamo subito applicare il Teorema 17 per dimostrare che ogni variet`a proiettiva pu`o essere scritta come unione di componenti irriducibili. Defi- niamo le variet`a proiettive irriducibili come nel caso affine, vale a dire una variet`a proiettiva `e irriducibile se non pu`o essere scritta come unione di due variet`a proiettive pi`u piccole.
Lemma 7. Data una catena discendente di variet`a proiettive V1 ⊃ V2 ⊃
V3· · · in Pn(K), esiste un intero N tale che VN = VN +1=· · · .
Dimostrazione. ApplicandoI alla catena di variet`a, poich´e inverte le inclu- sioni otteniamo una catena ascendente di ideali, I(V1) ⊂ I(V2) ⊂ I(V3)· · · .
Dal Teorema 16 sappiamo che esiste un intero N tale cheI(VN) =I(VN +1) =
· · · , applichiamo V alla catena ed essendo I iniettiva otteniamo VN =
Proposizione 23. Ogni variet`a proiettiva V ⊂ Pn(K) pu`o essere scritta
in modo unico (a meno dell’ordine) come unione finita di variet`a proiettive irriducibili, V = V1∪ · · · ∪ Vm, con Vi 6⊂ Vj per i6= j.
Dimostrazione. La dimostrazione segue facilmente a partire dal Lemma pre- cedente, in modo analogo alle dimostrazioni dei Teoremi 11 e 12 del Capitolo 2 nel caso affine.
Studiamo ora le versioni proiettive dei Nullstellensatz, che serviranno, come nel caso affine, a creare una corrispondenza biunivoca in un campo algebricamente chiuso tra una classe di ideali e una classe di variet`a. Teorema 18 (Nullstellensatz debole proiettivo). Sia K un campo al- gebricamente chiuso e sia I⊂ K[x0, ..., xn] un ideale omogeneo. Allora sono
equivalenti:
(i) V(I)⊂ Pn(K) `e vuoto;
(ii) Esiste un r≥ 1 tale che hx0, ..., xnir ⊂ I;
(iii) Per ogni 1≤ i ≤ n, esiste un intero mi≥ 0 tale che xmi i ∈ I.
Dimostrazione. (i)⇒ (ii) Chiamiamo V = V(I) e definiamo il cono affine di V , CV =Va(I)⊂ Kn+1, la variet`a affine associata all’ideale I. Dato che I `e
un ideale omogeneo, possiamo scrivere I =hf1, ..., fsi con f1, ..., fspolinomi
omogenei, e CV =Va(I) = Va(f1, ..., fs). Sia (a0, ..., an) 6= (0, ..., 0) ∈ CV,
allora ∀ i = 1, ..., s, fi(a0, ..., an) = 0 ed essendo fi polinomi omogenei,
∀λ 6= 0 anche fi(λa0, ..., λan) = 0. Inoltre poich´e esistono dei punti in
cui si annullano, gli fi sono polinomi non costanti e omogenei, quindi anche
(0, ..., 0) di Kn+1appartiene a C
V. Quindi se esiste un punto P che appartie-
ne a CV, allora tutta la retta passante per P e per l’origine appartiene a CV.
Possiamo considerare i punti di questa retta, tranne l’origine, come coordi- nate omogenee del punto P ∈ Pn(K), abbiamo visto che tutte le coordinate omogenee di P annullano i polinomi fi,∀ i = 1, ..., s, quindi P ∈ V . Ci`o
contraddice l’ipotesi, quindi non esiste un punto (a0, ..., an)6= (0, ..., 0) ∈ CV
e necessariamente CV ⊂ {(0, ..., 0)}.
Sappiamo che Ia inverte le inclusioni, quindi Ia({(0, ..., 0)}) ⊂ Ia(CV).
Dal caso affine abbiamo l’uguaglianzaIa({(0, ..., 0)}) = hx0, ..., xni, dal Null-
stellensatz forte affineIa(CV) = Ia(Va(I)) =
√
I, quindi hx0, ..., xni ⊂
√ I. Per concludere vogliamo dimostrare che esiste un r per cuihx0, ..., xnir⊂ I.
I generatori dell’ideale hx0, ..., xnir sono tutti i prodotti del tipo xk00· · · xknn
con k0+· · · + kn = r. Abbiamo detto che hx0, ..., xni ⊂
√
I, in particolare per ogni i = 0, ..., n, xi ∈
√
I ⇒ xmi
i ∈ I per degli interi mi. Scegliendo
un intero r > P
imi, per tutti gli i, xri ∈ I, inoltre considerando k0, ..., kn
interi tali che k0 +· · · + kn = r, anche xk00· · · xknn appartiene a I. Quindi
i generatori dell’idealehx0, ..., xnir appartengono a I perci`o tutto l’ideale `e
3.4 Corrispondenza ideali omogenei-variet`a 47 (ii)⇒ (iii) Ovvia, perch´e se hx0, ..., xnir⊂ I, allora xri ∈ I, ∀ i.
(iii)⇒ (i) Per ipotesi esistono degli interi mitali che xmi i ∈ I ∀ i, e anche
tutto l’ideale hx0, ..., xni ⊂ I. Applicando V, V(I) ⊂ V(x0, ..., xn) = ∅
perch´e l’unico punto che annulla contemporaneamente x0, ..., xn`e (0, ..., 0) /∈
Pn(K). QuindiV(I)⊂ ∅ ⇒ V(I) = ∅.
Teorema 19 (Nullstellensatz forte proiettivo). Sia K un campo al- gebricamente chiuso e sia I ⊂ K[x0, ..., xn] un ideale omogeneo. Se V =
V(I)⊂ Pn(K) `e una variet`a proiettiva non vuota, allora I(V(I)) =√I. Dimostrazione. Consideriamo, come nella dimostrazione del teorema prece- dente, il cono affine di V , CV = Va(I) ⊂ Kn+1. Vogliamo innanzitutto
dimostrare che Ia(CV) = I(V ), se V 6= ∅. Sia f ∈ Ia(CV); dato P ∈ V ,
sappiamo che tutte le coordinate omogenee di P sono in CV, quindi tutte le
coordinate omogenee di P annullano f . Per definizione, questo implica che f ∈ I(V ), e di conseguenza Ia(CV)⊂ I(V ).
Ora supponiamo f ∈ I(V ). Dato che ogni punto diverso da zero di CV
fornisce coordinate omogenee per un punto in V , ne segue che f si annulla nei punti di CV\{0}. Rimane quindi da mostrare che f si annulla nell’origine.
Poich´e I(V ) `e un ideale omogeneo, anche le componenti omogenee fi di
f si annullano in V . In particolare la componente omogenea f0 di grado
zero, cio`e il termine costante di f , si deve annullare in tutti i punti di V 6= ∅. Necessariamente deve essere f0 = 0, che significa che f si annulla
nell’origine. Perci`o f ∈ Ia(CV), eIa(CV)⊃ I(V ).
Abbiamo quindi dimostrato che Ia(CV) = I(V ), dalla forma affine del
Nullstellensatz forte sappiamo che √I = Ia(Va(I)), concludiamo la dimo-
strazione con la seguente catena di uguaglianze: √
I =Ia(Va(I)) =Ia(CV) =I(V ) = I(V(I)).
Osserviamo che, a differenza del caso affine, il Nullstellensatz debole proiettivo sembra associare alla variet`a vuota molti ideali, in realt`a possiamo dimostrare che gli unici ideali radicali omogenei I tali che V(I) = ∅ sono hx0, ..., xni e K[x0, ..., xn].
InfattiV(I) =∅ implica che per ogni i = 0, ..., n una potenza di xi sta in
I che `e radicale, quindi xi ∈ I. Essendo I ideale, per ogni g ∈ K[x0, ..., xn]
abbiamo xi· g ∈ I, che implica che tutto l’ideale generato da xi `e contenuto
in I, per ogni i. Perci`o hx0, ..., xni ⊂ I. Ma dalla Proposizione 10 del
Capitolo 2,hx0, ..., xni `e un ideale massimale in K[x0, ..., xn], quindi o I =
K[x0, ..., xn] o I =hx0, ..., xni.
Restringendoci a variet`a proiettive non vuote e ideali radicali omoge- nei particolari, possiamo rendere biunivoca la corrispondenza descritta nel Teorema 17.
Teorema 20. Sia K un campo algebricamente chiuso. Se ci restringia- mo a variet`a proiettive non vuote e ideali radicali omogenei propriamente contenuti inhx0, ..., xni, allora
I: variet`a proiettive −→ ideali radicali omogenei non vuote contenuti inhx0, ..., xni
e
V: ideali radicali omogenei −→ variet`a proiettive contenuti in hx0, ..., xni non vuote
sono biezioni che invertono le inclusioni, in particolare sono una l’inver- sa dell’altra.
Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che se I `e un ideale omogeneo pro- prio, allora I ⊂ hx0, ..., xni. Supponiamo f ∈ I, allora tutte le componenti
omogenee fi di f sono in I, in particolare la componente omogenea di gra-
do 0, f0 ∈ I. Dobbiamo avere f0 = 0, poich´e se fosse f0 = c ∈ I, allora
1/c· c = 1 ∈ I e I = K[x0, ..., xn]. Quindi f `e somma di polinomi di gra-
do ≥ 1 e si pu`o scrivere come combinazione di xi, ∀ i = 0, ..., n. Perci`o
I ⊂ hx0, ..., xni.
Con queste premesse, il resto della dimostrazione segue dalla dimostra- zione del Teorema 5 del Capitolo 2 nel caso affine.
Grazie ai Teoremi 17 e 20 possiamo riformulare le operazioni su ideali omogenei nelle corrispondenti operazioni su variet`a proiettive, che si corri- spondono come le operazioni studiate nel Capitolo 2 nel caso affine.
Proposizione 24. Siano I e J ideali omogenei in K[x0, ..., xn], allora:
- alla somma di ideali corrisponde l’intersezione di variet`a: V(I + J ) = V(I)∩ V(J)
- al prodotto di ideali corrisponde l’unione di variet`a: V(I· J) = V(I) ∪ V(J)
- all’intersezione di ideali corrisponde l’unione di variet`a: V(I∩ J) = V(I) ∪ V(J)
Dimostrazione. Osserviamo che la Proposizione 16 della Sezione 3 ci assicura che I + J , I· J e I ∩ J sono ideali omogenei, quindi `e possibile applicare la funzioneV e ottenere delle variet`a proiettive.
D’altra parte, ricordando che I e J sono generati da polinomi omogenei, e che il prodotto di polinomi omogenei `e ancora un polinomio omogeneo, si dimostra come nel Lemma 1 del Capitolo 1 cheV(I)∩ V(J) e V(I) ∪ V(J) sono variet`a proiettive.
Il resto della dimostrazione `e uguale al caso affine, si vedano rispettiva- mente i Teoremi 6, 7 e 8 nel Capitolo 2.
3.5 Chiusura proiettiva di variet`a affini 49