Costruzione di ind-fasci

ιX ²² ρ∗ uukkkk^kkkk kkkk^kk Mod(k_Xsa) I(k_X) J_Xsa oo Mod(k_X) Mod(k_Xsa) ^IXsa // ρ−1 _kkk 55k k k k k k k k k k k I(k_X) αX OO Mod(k_X) βX ²² ρ! uukkkk^kkkk kkkk^kk

Mod(k_Xsa) ^IXsa //I(k_X)

Mod(k_X) Mod(k_Xsa) ρ−1 _kkk 55k k k k k k k k k k k I(k_X) J_Xsa oo αX OO

Abbiamo cos`ı un’idea delle relazioni tra la categoria dei fasci, quella dei fasci sottoanalitici e degli ind-fasci.

6.3 Costruzione di ind-fasci

In questo capitolo X sar`a una variet`a analitica reale. Come in precedenza, chiameremo X_sa il sito sottoanalitico.

Chiameremo R-C(k_X) la categoria abeliana dei fasci R-costruibili (vedi [3], [5]), e con R-Cc(k_X) la sottocategoria piena dei fasci R-costruibili a supporto compatto.

Chiameremo I_R-c(k_X) la categoria Ind(R-Cc(k_X)).

In [8] viene dimostrato un teorema, che, unito all’equivalenza tra R-Cc(k_X) e Coh(X_sa), porta al seguente risultato:

Teorema 6.3.1 Sia F ∈ Psh(k_Xsa,c) tale che:

1. F (∅) = 0

2. per ogni U, V ∈ Op_sa,c la sequenza 0 → F (U ∪ V ) → F (U ) ⊕ F (V ) → F (U ∩ V ) sia esatta.

Allora F ∈ Mod(k_Xsa,c) e esiste un unico eF ∈ I_R-c(k_X) tale che eF (U ) ' F (U ) per ogni U ∈ Op_sa,c.

Inoltre vale la seguente

Proposizione 6.3.2 Sia F ∈ Mod(k_Xsa) tale che per ogni U, V ∈ Op_sa,c, con U ⊂ V la sequenza

F (V ) → F (U ) → 0 sia esata, allora F `e quasi-iniettivo in I_R-c(k_X).

42 CAPITOLO 6. FASCI SOTTOANALITICI E IND-FASCI

Chiameremo Db

IR-c(I(k_X)) la sottocategoria piena di Db(I(k_X)) costituita da oggetti a coomologia in I_R-c(k_X). Il funtore esatto I_Xsa : I_R-c(k_X) → I(k_X) induce un funtore triangolato

D^b(I_R-c(k_X)) → D^b_IR-c(I(k_X)). (6.1) Teorema 6.3.3 Il funtore (6.1) `e un’equivalenza di categorie triangolate. Lemma 6.3.4 Sia f : X → Y analitica reale e sia F ∈ Db

R-c(I(k_X)). Allora

i seguenti funtori sono ben definiti: 1. Rf_!! : Db IR-c(I(k_X)) → Db IR-c(I(k_Y)) 2. f!: Db IR-c(I(k_Y)) → Db IR-c(I(k_X)) 3. ⊗ : Db IR-c(I(k_X)) × Db IR-c(I(k_X)) → Db IR-c(I(k_X)) 4. RIhom(F, ·) : Db IR-c(I(k_X)) → Db IR-c(I(k_X))

Proposizione 6.3.5 Sia f : F → G un morfismo in Db

IR-c(I(k_X)), allora f

`e un isomorfismo se e solo se per ogni K ∈ R-Cc(k_X) induce un isomorfismo

RHom(K, F )→ RHom(K, G).^∼

Dim. Consideriamo il triangolo distinto

F → G → L−→⁺¹

e supponiamo che per ogni K ∈ R-Cc(k_X), RHom(K, L) = 0. Sia k ∈ Z tale che Hk = 0 per k < k. Allora abbiamo che Hom(K, Hk(L)) '

HkRHom(K, L). Perci`o Hom(K, Hk(L)) = 0 e quindi, visto che Hk(L) ∈ I_R-c(k_X), si ha che Hk(L) = 0.

2

Proposizione 6.3.6 Sia F ∈ I_R-c(k_X) e supponiamo che il funtore Hom(·, F )

sia esatto sulla categoria R-Cc(k_X). Allora per ogni G ∈ R-Cc(k_X) e per

Capitolo 7

Distribuzioni temperate

7.1 Definizione di distribuzione temperata

Introduciamo ora la definizione di distribuzione temperata (si vedano [3], [9]). D’ora in poi X sar`a una variat`a analitica reale.

Definizione 7.1.1 Sia u una distribuzione su un aperto U ⊂ X. Diremo

che u `e temperata nel punto x ∈ X se esiste un intorno V di x ed una distribuzione v definita su V tale che u|<sub>U ∩V</sub> = v|<sub>U ∩V</sub>. Diremo che u `e temperata in X, se lo `e in ogni punto.

Abbiamo inoltre il seguente

Lemma 7.1.2 Sia u una distribuzione definita su U ⊂ X. Sono equivalenti:

1. u `e temperata in X,

2. u `e temperata in ogni punto della frontiera di U ,

3. esiste una distribuzione v definita su X tale che u = v|_U.

Come conseguenza di un risultato di Lojasiewicz (vedi [10]) abbiamo il seguente

Teorema 7.1.3 Sia U ⊂ X un aperto sottoanalitico e sia {U_i}_i∈I un rico-primento di U con tutti gli U_i sottoanalitici. Una distribuzione u definita su U `e temperata se e solo se lo sono tutte le sue restrizioni u|_Ui.

7.2 Il funtore THom(·, Db)

In [3] viene definito il fascio THom(F, Db_X), sottofascio di Hom(F, Db_X) nella seguente maniera:

44 CAPITOLO 7. DISTRIBUZIONI TEMPERATE

Definizione 7.2.1 Sia F un fascio R-costruibile su X, U ⊂ X un aperto.

Le sezioni Γ(U, THom(F, Db_X)) sono le ϕ ∈ Γ(U, Hom(F, Db_X)) tali che

per ogni aperto sottoanalitico relativamente compatto V di U , e s ∈ F (V ), ϕ(s) sia una distribuzione temperata in U .

Inoltre, si dimostrano le seguenti due proposizioni

Proposizione 7.2.2 Sia U ⊂ X aperto sottoanalitico, e V ⊂ X un aperto.

Allora

Γ(V, THom(C_U, Db_X) = {u ∈ Γ(U ∩ V, Db_X);

u temperata in ogni punto di V }

Proposizione 7.2.3 Per ogni chiuso sottoanalitico S ⊂ X si ha THom(C_S, Db_X) = Γ_S(Db_X)

Se adesso prendiamo in considerazione la categoria dei D_X-moduli (che chiameremo Mod(D_X)), notiamo subito che il funtore THom(·, Db_X), `e un funtore contravariante dalla categoria R-C(C_X) alla categoria Mod(D_X).

Inoltre si dimostra il seguente

Teorema 7.2.4 Il funtore THom(·, Db_X) `e un funtore esatto.

Sia ora U ⊂ X aperto sottoanalitico, S = X\U e consideriamo la sequenza esatta

0 → C_U → C_X → C_S → 0,

applicando il funtore esatto contravariante THom(·, Db_X), otteniamo la sequenza esatta

0 → Γ_S(Db_X) → Db_X → THom(C_U, Db_X) → 0.

7.3 L’ind-fascio delle distribuzioni temperate

Definiamo ora Dbt(U ), lo spazio delle distribuzioni temperate su un aperto sottoanalitico U ⊂ X tramite la successione esatta

0 → Γ_X\U(X; Db_X) → Γ(X; Db_X) → Db_X^t (U ) → 0. Si vede subito che

THom(C_U, Db_X) = V → Db_X^t (U ∩ V ). Inoltre per il Teorema (7.1.3) si ricava il seguente

7.3. L’IND-FASCIO DELLE DISTRIBUZIONI TEMPERATE 45 Lemma 7.3.1 Siano U, V ⊂ X due aperti sottoanalitici. Allora al sequenza

0 → Db_X^t (U ∪ V ) → Db_X^t (U ) ⊕ Db_X^t (V ) → Db_X^t (U ∩ V ) → 0

`e esatta.

Grazie al Teorema 6.3.1, Dbt

X diventa un fascio su X_sa. Inoltre, sempre per il Teorema 7.1.3, la sequenza

Db^t(V ) → Db^t(U ) → 0

con V ⊂ U aperti sottoanalitici `e esatta, e quindi, applicando la Propo-sizione 6.3.2, il funtore Dbt(·) `e esatto sulla categoria R-Cc(C_X)op.

Inoltre, in [8] si dimostra che Dbt

X, `e anche un ρ_!D_X-modulo, quindi, appli-cando il funtore I_Xsa otteniamo che I_Xsa(Db_X^t ) ∈ I(βD_X). Identificheremo

Dbt

X con la sua immagine tramite I_Xsa, ottenendo cos`ı l’ind-fascio delle distribuzioni temperate. Vale la seguente

Proposizione 7.3.2 Sia F ∈ R-Cc(C_X)op, allora Hom(F, Db_X^t ) ' THom(F, Db_X).

Quindi, applicandola Proposizione 6.3.6 otteniamo la seguente Proposizione 7.3.3 Sia F ∈ Db

R-c(C_X), allora

Capitolo 8

Ind-fasci su variet`a analitiche

8.1 D-moduli

D’ora in poi X sar`a una variet`a analitica complessa. Chiameremo O_X il fascio delle funzioni olomorfe su X, Ω_X il fascio delle forme di grado massimo.

Introduciamo D_X, il fascio di anelli degli operatori differenziali di ordine finito a coefficienti olomorfi (come referenze si vedano [1], [16]). Localmente, una sezione P ∈ Γ(U, D_X) si pu`o scrivere in modo unico nella forma seguente

P = ^X

α≤n

f_α(x)∂_x^α

ove f_α(x) `e olomorfa su U . Chiameremo quindi Mod(D<sub>X</sub>) (rispettivamente Mod(D<sub>X</sub><sup>op</sup>) la categoria dei D<sub>X</sub>-moduli sinistri (destri), cio`e dei fasci M su X tali che Γ(U, M) sia un Γ(U, D_X)-modulo sinistro (destro) per ogni aperto

U ⊂ X. Possiamo passare dai D_X-moduli sinistri ai D_X-moduli destri, abbiamo infatti la seguente

Proposizione 8.1.1 Il funtore da Mod(D_X) in Mod(D_X^op) definito da

M 7→ Ω_X⊗_OX M

`e un’equivalenza di categorie. Il suo quasi-inverso `e dato dal funtore N 7→ Hom_OX(Ω_X, N ) ' M ⊗_OXΩ^⊗(−1)_X

ove N ∈ Mod(D^op_X).

Sia ora f : X → Y un morfismo di variet`a complesse. Introdurremo ora i bimoduli di trasferimento

D_X←Y = O_X ⊗_f−1OY f⁻¹D_Y

48 CAPITOLO 8. IND-FASCI SU VARIET `A ANALITICHE D_{Y →X} = Ω_Y ⊗_OY D_X←Y ⊗_f−1OY (f⁻¹Ω_Y)^⊗(−1).

Il primo `e un (D<sub>X</sub>, f−1D<sub>Y</sub>)-bimodulo, il secondo un (f−1D<sub>Y</sub>, D<sub>X</sub>)-bimodulo. Notiamo che se X → Y<sup>f</sup> → Z sono morfismi di variet`a complesse, e h =^g g ◦ f , abbiamo che

D_X→Z ' D_X→Y ⊗ D_{Y →Z}.

Ricordando che ogni morfismo si fattorizza in un’immersione chiusa (nel grafico) ed una proiezione, concentriamoci su questi due casi.

Proposizione 8.1.2 Siano U, V due intorni dello 0 in Cn e Cm. Allora: 1. Il modulo di trasferimento della proiezione

p : U × V → V

(u, v) 7→ v

come D_{U ×V}-modulo sinistro `e isomorfo a

D_{U ×V}/D_{U ×V}∂_u1 + · · · + D_{U ×V}∂_un. `

E coerente, e il complesso di Koszul

K(D_{U ×V}, ·∂_u1, · · · , ·∂_un)

`e una sua risoluzione di lunghezza n.

2. Il modulo di trasferimento dell’inclusione chiusa i : U → U × V

u 7→ (u, 0) come D_{U ×V}-modulo destro `e isomorfo a

D_{U ×V}/v₁D_{U ×V} + · · · + v_mD_{U ×V}. `

E coerente, e il complesso di Koszul

K(D_{U ×V}, v₁·, · · · , v_m·) `e una sua risoluzione di lunghezza m.

Definiamo infine f⁻¹, f_∗, f_!, i funtori immagine inversa, immagine diretta e immagine diretta propria per i D-moduli sinistri (oppure, pi`u in generale, per M ∈ Ob(Db(D_X)):

8.2. OPERAZIONI SULLE DISTRIBUZIONI TEMPERATE 49 f⁻¹M = D_X←Y ⊗^L f−1DX f−1M f_∗M = Rf_∗(D_{Y →X} ⊗^L DX M) f_!M = Rf_!(D_{Y →X} ⊗^L DX M).

Sia ora M una variet`a analitica reale, X una sua complessificazione, i :

M ,→ X l’inclusione. Denoteremo con D_M = i−1D_X = (D_X|_M) l’anello degli operatori differenziali a coefficienti analitici. Definiamo dunque i D_M -moduli. Introduciamo A_M, il fascio delle funzioni analitiche su M (che altro non `e che O_X|_M) e A∨

M = Ω_M ⊗ or_M, il fascio delle densit`a analitiche. Se f : M → N `e un morfismo di variet`a analitiche, i bimoduli di trasferi-mento diventano

D_{M →N} = D_M⊗_f−1ANf⁻¹A_M

D_{N ←M} = A^∨_N ⊗_AN D_X←Y ⊗_f−1AM (f⁻¹A^∨_M)^⊗(−1).

Il primo `e un (D_M, f⁻¹A_N)-bimodulo, il secondo un (f⁻¹A_N, D_M)-bimodulo.

8.2 Operazioni sulle distribuzioni temperate

Come gi`a visto in precedenza, l’ind-fascio Dbt

M `e un I(βD_M)-modulo sinistro. Chiameremo invece Db_M^t,∨l’I(βD_M^op)-modulo

Db^t,∨= βA^∨_M ⊗_βAM Db^t

Lo scopo di questo capitolo `e quello di descrivere le propriet`a funtoriali dell’ind-fascio delle distribuzioni temperate. In particolare, stabiliremo una serie di isomorfismi nella categoria derivata degli ind-fasci costruibili. A tal fine, utilizzeremo i morfismi ottenuti in [12], ed i risultati di [6].

Proposizione 8.2.1 (vedi [12]). Sia f : M → N un morfismo di variet`a

analitiche reali. Esiste un morfismo in Db(I(βf−1D_N^op)):

Db_M^t,∨ ⊗^L

βDM

βD_{M →N} → f^!Db_N^t,∨ (8.1) Proposizione 8.2.2 Il morfismo (8.1) `e un isomorfismo.

Dim. Basta dimostrare che per ogni F ∈ R-C^c(C_M) valga l’isomorfismo RHom(F, Db_M^t,∨ ⊗^L

βDM

50 CAPITOLO 8. IND-FASCI SU VARIET `A ANALITICHE

Abbiamo che, per ogni F ∈ R-Cc(C_M)

RHom(F, Db_M^t,∨ ⊗^L βDM βD_{M →N}) ' RHom(F, Db_M^t,∨) ⊗^L DM D_{M →N} ' THom(F, Db_M^∨) ⊗^L DM D_{M →N}.

Dall’altra parte abbiamo che

RHom(F, f^!Db_N^t,∨) ' RHom(Rf_!!F, Db_N^t,∨)

' THom(Rf_!F, Db_N^∨)

' Rf_!(THom(F, Db_N^∨) ⊗^L

DM

D_{M →N}),

ove il terzo isomorfismo viene dal Teorema (4.4) di [6]. Sapendo che, se

G ∈ R-Cc(C_M), Γ(X, G) ' Γ(Y, Rf_!G) otteniamo il risultato desiderato. 2

Grazie a questo isomorfismo possiamo provare la seguente

Proposizione 8.2.3 Sia f : M → N un morfismo di variet`a analitiche, e

sia N ∈ Db(D_N). Vale allora l’isomorfismo in Db(I(C_M)):

Db_M^t,∨ ⊗^L

βDM

βf⁻¹N → f^{∼ !}(Db_N^t,∨ ⊗^L

βDN

βN )

Dim. `E dato dagli isomorfismi

f^!(Db_N^t,∨ ⊗^L βDN βN ) ' f^!Db_N^t,∨ ⊗^L βf−1DN βf⁻¹N ' Db_M^t,∨ ⊗^L βDM βD_{M →N} ⊗^L βf−1DN βf⁻¹N ' Db_M^t,∨ ⊗^L βDM βf⁻¹N 2

Per l’equivalenza tra moduli D-moduli destri e D-moduli sinistri, la (8.1) ci d`a il seguente isomorfismo in Db(I(βf−1D_N)):

βD_{N ←M} ⊗^L

βDM

8.2. OPERAZIONI SULLE DISTRIBUZIONI TEMPERATE 51 Proposizione 8.2.4 Sia f : M → N morfismo liscio di variet`a analitiche.

Vale allora in Db(I(βf−1D_N)) il seguente isomorfismo:

RIhom_βDM(βD_{M →N}, Db_M^t ) ' f⁻¹Db_N^t

Dim. Sia d = dimN − dimM , consideriamo i seguenti isomorfismi

RIhom_βDM(βD_{M →N}, Db_M^t ) ' βRHom(D_{M →N}, D_M) ⊗^L βDM Db_M^t ' βD_{N ←M} ⊗^L βDM Db_M^t ⊗ or_M/N[−d] ' f^!Db_N^t ⊗ or_M/N[−d] ' f⁻¹Db_N^t

Il primo isomorfismo `e stato ottenuto rimpiazzando D_{M →N} col complesso di Koszul, il secondo, essendo f liscia, deriva dall’isomorfismo

RHom_DM(D_{M →N}, D_M) ⊗ or_M/N ' βD_{N ←M}[−d], e l’ultimo dall’isomorfismo f![d] ' f−1⊗ or_M/N.

2

Sia ora f : M → N un’inclusione chiusa si pu`o dimostrare (vedi [12]) la seguente

Proposizione 8.2.5 Esiste un morfismo in D^b(I(βD_N)):

Rf_!Db_M^t → RIhom_βDN(βRf_!D_{N ←M}, Db_N^t ) (8.2) Proposizione 8.2.6 Il morfismo (8.2) `e un isomorfismo.

Dim. Per ogni F ∈ R-Cc(C_M) abbiamo i seguenti isomorfismi

RHom(F, Rf_!Db_M^t )) ' Rf_!RHom(f⁻¹F, Db_M^t )

' Rf_!THom(f⁻¹F, Db_M)

' RHom_DN(Rf_!D_{N ←M}, THom(F, Db_N))

' RHom_DN(Rf_!D_{N ←M}, RHom(F, Db_N^t ))

' RHom(F, RIhom_βDN(βRf_!D_{N ←M}, Db_N^t )), ove il terzo isomorfismo viene dal Teorema (4.5) di [6]. Grazie alla Propo-sizione 6.3.5 otteniamo l’isomorfismo desiderato.

52 CAPITOLO 8. IND-FASCI SU VARIET `A ANALITICHE

Adesso X sar`a una variet`a analitica complessa, con fascio strutturale olo-morfo O_X. Chiameremo X la variet`a complessa coniugata (con fascio strut-turale antiolomorfo O<sub>X</sub>), e X<sub>R</sub> la variet`a analitica sottostante, identificata con la diagonale di X × X.

Definiamo ora l’ind-fascio Ot

X ∈ Db(I(βD_X)) delle funzioni olomorfe tem-perate nella maniera seguente:

O_X^t := RIhom_βDX(βO_X, Db_X^t_R) Consideriamo anche l’ind-fascio Ωt∈ Db(I(βD^op_X)):

Ω^t_X := Db_X^t,∨

R

L

⊗

βD_XβO_X[−d_X].

Proposizione 8.2.7 Sia M una variet`a analitica reale, X una sua

comp-lessificazione, i : M ,→ X l’inclusione. Allora vale il seguente isomorfismo: i^!Ω^t_X ' Db_M^t,∨[−d_X] Dim. i^!Ω^t_X ' i^!(Db_X^t,∨_R ⊗^L βD_X βO_X)[−d_X] ' i^!Db_X^t,∨_R ⊗^L βi−1D_Xβi⁻¹O_X[−d_X] ' Db_M^t,∨ ⊗^L βDM βD_{M →XR} ⊗^L βi−1D_Xi⁻¹βO_X[−d_X] ' Db_M^t,∨ ⊗^L βDM βi⁻¹D_X[−d_X] ' Db_M^t,∨[−d_X],

ove il penultimo isomorfismo `e dato da

D_{M →XR} ⊗^L_D

X|M O_X|_M ' D_X|_M.

2

A questo punto, grazie alla Proposizione 5.4.3 troviamo che

i⁻¹RIhom(C_M, Ω^t_X) ' Db_X^t,∨_R[−d_X],

entrambi i membri hanno supporto in M , quindi, passando ai moduli sinistri otteniamo

8.2. OPERAZIONI SULLE DISTRIBUZIONI TEMPERATE 53 applicando a destra e a sinistra il funtore α e ricordando la Proposizione 7.3.3, si ha

THom(D⁰C_M, O_X) ' αDb_M^t .

Il Teorema (5.10) di [6] ci dice che

THom(D⁰C_M, O_X) ' Db_M quindi

Bibliografia

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Nel documento UNIVERSIT `A DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLT `A DI SCIENZE MM.FF.NN. Laurea in Matematica Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata (pagine 45-60)