La procedura per il calcolo di un indice sintetico prevede diverse fasi quali: la defi-nizione del fenomeno oggetto di studio; la selezione degli indicatori elementari; la stan-dardizzazione degli indicatori elementari; la ponderazione e aggregazione degli indicatori standardizzati in uno o più indici sintetici (OECD, 2008).
La metodologia di sintesi (Adjusted Mazziotta Pareto Index – AMPI)23 utilizzata per la costruzione dell’indice di vulnerabilità sociale e materiale (IVSM) è basata sull’ipotesi di non “sostituibilità” delle diverse componenti e consente di produrre un indice sintetico non compensativo che soddisfa i seguenti requisiti: la non “sostituibilità” degli indicatori ele-mentari ossia l’impossibilità di compensare il valore di un indicatore elementare con quello di un altro; la comparabilità spaziale, ossia la possibilità di confrontare valori di sintesi fra unità territoriali, e la comparabilità nel tempo in termini “assoluti”; la semplicità e traspa-renza di calcolo; la robustezza ed immediata fruizione e interpretazione dei risultati24.
Queste caratteristiche hanno reso il metodo proposto particolarmente adatto per un’ap-plicazione alla serie storica comunale 1991-2011 ricostruita ai confini comunali del 2011 e diffusa dall’Istat nel 2015 con il sistema informativo “8milaCensus”.
23 Per maggiori dettagli si veda: Mazziotta, M., Pareto, A.: A Composite Index for measuring italian regions’ development over time – Rivista italiana di economia e demografia - Volume LXVIII n. 3/4 Luglio – Dicembre 2014.
24 La scelta del metodo di sintesi si basa sull’assunzione di un modello di misurazione di tipo formativo, in cui gli indicatori utilizzati per misurare ciascuna dimensione sono visti come ‘causa’, piuttosto che ‘effetto’ della variabile latente. Per un approfondimento si veda Massoli P., Mazziotta M., Pareto A., Rinaldelli C. (2015).
Figura 1.14 - Famiglie in disagio economico per comune – Anno 2011 (valori percentuali)
La stessa metodologia è stata successivamente utilizzata anche per la costruzione degli indici compositi delle dimensioni di analisi del Rapporto Istat sul Benessere equo e soste-nibile in Italia25.
La normalizzazione dei dati, finalizzata a depurare gli indicatori elementari dalla loro va-riabilità26 e a consentire confronti assoluti nel tempo, è basata su una trasformazione degli indicatori elementari rispetto ai due valori minimo e massimo che rappresentano il campo di variazione di ciascun indicatore per l’intero periodo considerato.
La procedura27 utilizzata prevede, in particolare, i passaggi di seguito descritti.
Data la matrice degli indicatori X={xij }, si calcola, per ogni anno, la matrice dei valori
normalizzati R= {rij } in cui: rij = (xij-Minxj )
60+70 (Maxxj - Minxj)
dove:
rij è il valore normalizzato dell’indicatore j nell’unità i xij è il valore dell’indicatore j nell’unità i
Minxj e Maxxj sono valori calcolati (goalposts) in modo da porre uguale a 100 il valore nazionale nell’anno 1991.
I suddetti valori (goalposts) sono determinati come:
{
Minxj = Rifxj - ∆ Maxxj = Rifxj + ∆dove:
Rifxj è il valore di riferimento per l’indicatore j, dato dal valore dell’indicatore per l’Italia nell’anno 1991;
∆ = (Supxj - Infxj )/2
Infxj e Supxj sono rispettivamente il minimo e il massimo dell’indicatore j nella distribu-zione comunale per tutto il periodo considerato (1991-2011).
I valori ottenuti cadono all’incirca nell’intervallo (70;130), dove 100 rappresenta il dato di riferimento (media nazionale nell’anno 1991).
La procedura di trasformazione utilizzata, sebbene non depuri completamente gli in-dicatori originari dalla loro variabilità, ha il vantaggio di consentire confronti nel tempo dei valori dell’indice in termini assoluti per ciascuna unità (comuni) e per qualsiasi altro valore aggregato (per esempio Italia).
L’indice composito si ottiene aggregando gli indicatori normalizzati con peso uguale mediante media aritmetica semplice, una funzione di sintesi additiva che in quanto tale presuppone un effetto compensativo fra gli indicatori elementari.
25 https://www.istat.it/it/archivio/224669.
26 Quest’ultimo aspetto assume particolare importanza perché consente di evitare che gli indicatori elementari con variabilità più elevata pesino in misura maggiore sulla costruzione dell’indice, influenzando maggiormente i risultati. 27 L’indice è stato calcolato con il software COMIC (COMposite Index Creator) che permette di effettuare una valutazione
dei diversi metodi di sintesi attraverso l’analisi di robustezza dei risultati. Per maggiori dettagli si veda Massoli P., Mazziotta M., Pareto A., Rinaldelli C. (2015).
Nell’ipotesi di non sostituibilità o sostituibilità parziale degli indicatori elementari, in questa applicazione l’effetto compensativo della media aritmetica (effetto medio) è corretto aggiungendo alla media un fattore (coefficiente di penalità) che dipende dalla variabilità dei valori normalizzati di ciascuna unità (denominata variabilità orizzontale), ossia dalla variabi-lità degli indicatori rispetto ai valori di riferimento utilizzati per la normalizzazione.
L’indice sintetico della i-esima unità si ottiene pertanto applicando con penalità positiva la versione corretta del metodo delle penalità per coefficiente di variazione (AMPI+/-) dove:
AMPIi+ = Mri + Sri cvi
Mri e Sri sono rispettivamente la media aritmetica e lo scostamento quadratico medio dei valori normalizzati degli indicatori dell’unità i e cvi=Sri /Mri è il coefficiente di variazione dei valori normalizzati degli indicatori dell’unità i.
Il segno dell’indice composito dipende dal tipo di fenomeno considerato. Nel calcolo dell’indice di vulnerabilità sociale e materiale (IVSM) si è utilizzata la versione con penalità positiva, poiché a variazioni crescenti dell’indicatore corrispondono variazioni negative del fenomeno in esame (vulnerabilità sociale e materiale). Viceversa, se l’indicatore è di tipo crescente o positivo, ossia se a variazioni crescenti dell’indicatore corrispondono variazioni positive del fenomeno, si utilizza la versione con penalità negativa28.
Nel primo caso, il coefficiente di penalità corregge la media degli indicatori normalizzati “spingendola” verso l’alto, mentre nel secondo la corregge “spingendola” verso il basso.
Pertanto l’indice di vulnerabilità sociale e materiale (IVSM) ottenuto è tanto maggiore quanto più grande è la media aritmetica degli indicatori standardizzati e lo scostamento quadratico medio. Il fattore correttivo (coefficiente di penalità) è funzione diretta del co-efficiente di variazione dei valori normalizzati degli indicatori per ogni unità e, a parità di media aritmetica, consente di penalizzare le unità che presentano un maggiore squilibrio fra gli indicatori, spingendo verso l’alto il valore dell’indice. Più è alto il valore dell’indice, maggiore è il livello di vulnerabilità dell’unità.