Ci sono molti modi di costruire un quadrato magico, ma quello standard (e pi´u semplice) consiste nel seguire determinate configu- razioni/formule che generano i modelli regolari.
I quadrati magici esistono per tutti gli ordini di n, con un’unica ec- cezione - ´e impossibile da costruire un quadrato magico di ordine 2. I quadrati magici possono essere classificati in tre tipi: dispari, semplice- mente pari (n divisibile per 2, ma non per 4) e doppiamente pari (n divisibile per 4). I quadrati magici dispari e doppiamente pari sono fa- cili da generare; la costruzione dei semplicemente pari ´e pi´u difficile ma esistono parecchi metodi, compreso il ‘LUX method for magic squares’ (dovuto a John Horton Conway) and ‘the Strachey method for magic squares’.
Il numero dei differenti quadrati magici con n da 1 a 5 non contando le rotazioni e le riflessioni ´e: 1, 0, 1, 880, 275.305.224. Il numero per n = 6 ´e stato valutato in 1.7745 · 1019.
1. Quadrati di ordine dispari
Kraitchik (1942) propone tecniche generali per costruire quadrati magici di ordine n, con n che pu´o essere sia un numero pari sia un numero dispari.
Per n dispari, pu´o essere utilizzata una tecnica molto semplice conosciuta come il metodo Siamese, come illustrato di seguito (Kraitchik, 1942).
Si inizia mettendo 1 nella colonna centrale della fila superiore. Si compila la colonna seguente del numero uno (a destra) e ad una fila superiore. Se siete gi´a alla fila superiore, si compila una colonna alla destra nella fila inferiore. E se siete nella colonna di estrema destra, si compila il numero seguente nella colonna di estrema sinistra, una fila in su. Se il quadrato ´e gi´a occupato da un numero pi´u piccolo, si posiziona il numero successivo nello spazio immediatamente sotto all’ultimo immesso: si procede in tale maniera fino a comporre tutto il quadrato.
Il metodo, chiamato anche il metodo di de la Loub´ere, si dice che sia stato portato in Europa quando de la Loub´ere ritorn´o in Francia dopo aver servito come ambasciatore in Siam.
Una generalizzazione di questo metodo fa uso di un ‘vettore ordi- nario’ (x, y) che fornisce il bilanciamento per ogni mossa in cui non
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Figura 1. Il metodo Siamese per quadrati di ordine dispari.
ci si imbatte in altri numeri e un ‘vettore di deviazione’ (u, v) che for- nisce il bilanciamento con cui giungere al momento di una ‘collisione’ con una casella gi´a occupata da un altro numero.
Il metodo Siamese standard quindi ha un vettore ordinario (1, −1) e un vettore di deviazione (0, 1). Affinch´e si ottenga un quadrato magico, ogni mossa di deviazione deve terminare in una cella libera, vuota.
Classi speciali di quadrati magici possono essere costruite consideran-
do le somme assolute |u + v|, |(u − x) + (v − y)|, |u − v| e |(u − x) − (v − y)| = |u + y − x − v|.
Chiamiamo l’insieme di questi numeri ‘le somme differenze’(somme e differenze). Se tutte le somme differenze sono relativamente prime con n ed il quadrato ´e un quadrato magico, allora il quadrato ´e anche un quadrato ultramagico.
Definizione 3.1 (quadrato ultramagico o diabolico). Un quadrato ultramagico (o panmagico, o diabolico, o pandiagonale) ´e un quadrato magico che oltre ad avere costante la somma delle righe, delle colonne e delle due diagonali principali, mantiene costanti anche le somme delle diagonali secondarie, come nell’esempio che segue:
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15 10 3 6 4 5 16 9 14 11 2 7 1 8 13 12
Se sommiamo i quattro numeri che costituiscono due semi-diagonali opposte come ad esempio: 4, 10, 13 e 7 oppure 3, 9, 14 e 8 vediamo che otteniamo sempre la costante che per un quadrato di ordine 4, come quello considerato, vale 34. Anche la somma di un numero d’angolo coi tre numeri della diagonale opposta d´a sempre la costante del quadrato: 15, 8, 2, 9 oppure: 6, 4, 11, 13 oppure: 1, 10, 16, 7 oppure ancora: 12, 14, 5, 3.
I quadrati diabolici hanno tantissime altre somme uguali alla costante, come ad esempio la somma dei 4 numeri agli angoli (15, 6, 1, 12).
In questo quadrato diabolico ci sono ben 86 modi diversi di ottenere la costante!
Approfondir´o maggiormente il discorso sui quadrati diabolici o ul- tramagici nella sezione dedicata loro nel Capitolo 4, paragrafo 3.
Figura 2. Unendo con tratti di retta i numeri con i quali si ottiene la costante di questo quadrato ultra- magico di ordine 4, si possono realizzare figure quali parallelogrammi e trapezi.
Ritornando alle somme differenze, la tabella seguente ne fornisce un elenco per particolari scelte di vettori ordinari e di deviazione.
Vet. ord. Vet. dev. Som diff QM QPM (1, −1) (0, 1) (1, 3) 2k + 1 nessuno (1, −1) (0, 2) (0, 2) 6k ± 1 nessuno (2, 1) (1, −2) (1, 2, 3, 4) 6k ± 1 nessuno (2, 1) (1, −1) (0, 1, 2, 3) 6k ± 1 6k ± 1 (2, 1) (1, 0) (0, 1, 2) 2k + 1 nessuno (2, 1) (1, 2) (0, 1, 2, 3) 6k ± 1 nessuno
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Un secondo metodo per generare quadrati magici di ordine dispari ´e stato proposto da J.H. Conway sotto il nome di metodo ‘a losanga’ o a rombo o a caramella.
Come illustrato di seguito, in questo metodo i numeri dispari sono inseriti lungo linee diagonali nella forma di un diamante nella parte cen- trale del quadrato. I numeri pari che mancano sono poi aggiunti sequen- zialmente lungo la continuazione della diagonale ottenuta avvolgendo, accartocciando, piegando il quadrato finch´e la diagonale ‘avvolta’ non raggiunge il suo punto d’inizio.
Nel quadrato sotto, la prima diagonale quindi ´e completata con i numeri 1, 3, 5, 2, 4, la seconda diagonale con 7, 9, 6, 8, 10 e cos´ı via.
Figura 3. Il metodo a losanga per quadrati di ordine dispari.
2. Quadrati di ordine doppiamente pari
Un metodo per costruire quadrati magici di ordine doppiamente pari del tipo n = 4m consiste nel disegnare delle ‘X′ attraverso ogni
sottoquadrato 4 · 4 e riempire tutte le caselle in sequenza. Poi sosti- tuire ogni entrata aij su una diagonale cancellata con (n2+ 1) − aij o,
equivalentemente, invertire l’ordine delle entrate cancellate.
Quindi nell’esempio sotto per n = 8, i numeri cancellati sono orig- inariamente 1, 4, ..., 61, 64 in modo che l’entrata 1 sia sostituita da 64, 4 da 61, etc.
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Figura 4. Metodo per un quadrato di ordine doppiamente pari.
3. Quadrati di ordine semplicemente pari
Un elegante metodo per costruire quadrati magici di ordine sem- plicemente pari n = 4m + 2 con m ≥ 1 (non c’´e un quadrato magico di ordine 2) ´e dovuto ancora a J.H.Conway, che lo chiam´o il metodo ‘LUX’.
Esso si sviluppa nei seguenti passi:
• Si crei un array che consista di m + 1 file di ‘L′, 1 fila di′U′,
ed m − 1 file di ′X′, tutte di lunghezza pari a n/2 = 2m + 1.
• Si scambi la U nel mezzo con la L sopra di essa.
• Ora si generi il quadrato magico di ordine 2m + 1 usando il metodo Siamese (NB: 2m+1 ´e necessariamente un numero dis- pari) centrato nell’array di lettere(partendo dalla casella cen- trale della fila pi´u in alto), ma si riempia ogni insieme di quat- tro caselle che circondano una lettera sequenzialmente secondo l’ordine stabilito dalla lettera. Questo ordine ´e illustrato nella parte sinistra della figura di seguito, ed il quadrato completo ´e illustrato sulla destra.
Le ‘forme’ delle lettere L, U , ed X suggeriscono in materia naturale e spontanea l’ordine di inserimento, da cui il nome dell’algoritmo LUX.
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Figura 5. Il metodo LUX per un quadrato di ordine semplicemente pari.
CAPITOLO 4