1.4 Esempi di frattali matematici
1.4.2 La curva di Koch
La curva di Koch, descritta per la prima volta nel 1904 da Helge Von Koch, matematico svedese, `e definita ricorsivamente in questo modo: par- tiamo dal primo intervallo C0, un segmento che possiamo identificare con
l’intervallo [0, 1], poi dividiamo C0 in tre parti uguali. Togliamo la parte cen-
trale e la sostituiamo con una ’punta’ costituita da due lati lunghi un terzo della linea originaria che formano un angolo pari a 60 gradi. In questo modo si ottiene una spezzata costituita da quattro segmenti uguali. Si ripete la stessa operazione su ognuno di questi quattro segmenti, ottenendo cos`ı una spezzata pi`u complessa formata da 16 piccoli segmenti, lunghi ciascuno 19 della linea originaria. Si prosegue cos`ı all’infinito e il limite di questa sequen- za `e la curva di Koch. (Figura 1.2)
Dato che la curva di Koch, che denotiamo con K, si ottiene ricorsivamente come l’insieme di Cantor, si ripete lo stesso ragionamento per il calcolo della dimensione di Hausdorff di C, ottenendo:
dimH(K) =
ln4
ln3 ≈ 1, 2618.
Una importante particolarit`a della curva di Koch `e che malgrado sia una curva continua, che non interseca mai se stessa (i triangoli costruiti su cia- scun lato sono abbastanza piccoli da impedirne l’intersezione), essa non ha tangente in nessun punto.
1.4. ESEMPI DI FRATTALI MATEMATICI 19
Le tre curve di Koch, originate da tre lati di un triangolo equilatero gene- rano il fiocco di neve di Koch. La costruzione di quest’ultimo parte infatti da un’isola a forma di triangolo equilatero con i lati di lunghezza unitaria. Poi si divide ciascun lato in tre intervalli, che avranno quindi lunghezza 13. Successivamente si colloca sull’ intervallo centrale di ciascuno dei tre lati un promontorio a forma di triangolo equilatero, dai lati di lunghezza 13. Si ot- tiene cos`ı un esagono regolare stellato, o stella di David, il cui perimetro ha lunghezza uguale a 4. Si ripete lo stesso procediemento su tutti i 12 lati e si continua iterattivamente... Il risultato `e una curva infinita, infatti ad ogni passo la lunghezza aumenta di 43 di quanto era prima. (Figura 2.3)
Figura 1.3: Fiocco di neve di Koch
Osservazione 7. Per costruire la curva di Koch divido in tre l’intervallo [0, 1] e poi costruisco un ’triangolo’ nell’intervallo centrale, ottenendone quattro e cos`ı via. La dimensione di Hausdorff che ottengo `e ln4ln3.
Allo stesso modo, nell’insieme di Cantor divido l’intervallo unitario in tre segmenti e ne considero solo due. In questo caso la dimensione di Hausdorff `e ln2ln3.
Concludo osservando che se avessi un frattale costruito dividendo l’intervallo unitario in tre segmenti, per poi prenderne cinque, la sua dimensione sarebbe
ln5 ln3.
Capitolo 2
L’ Autosimilarit`a
Questo capitolo come anticipato nell’introduzione `e dedicato alla secon- da propriet`a che caratterizza i frattali: l’autosimilarit`a, ovvero la capacit`a di ripetersi identicamente a tutte le scale. Ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all’originale. Il principale scopo `e mostrare usando la teoria degli spazi metrici ed il teorema delle contrazioni come sia possibile caratterizzare dal punto di vista matematico in maniera semplice gli insiemi autosimilari. Ad esempio in un albero ogni ramo `e simile all’intero albero e ogni rametto `e a sua volta simile al proprio ramo, e cos`ı via.
Figura 2.1: albero matematico
22 CAPITOLO 2. L’ AUTOSIMILARIT `A
2.1
Contrazioni e insiemi Autosimilari
Con la seguente definizione iniziamo a descrivere dal punto di vista ma- tematico questi insiemi.
Definizione 2.1 (Contrazione). Diciamo che la mappa ϕ: Rn → Rn `e una
contrazione se esiste una costante (di Lipschitz o di contrazione) c ∈ (0,1) in modo che la disuguaglianza
kϕ(x) − ϕ(y)k ≤ ckx − yk
valga per ogni x,y ∈ Rn. Se poi si ha kϕ(x)−ϕ(y)k = d(ϕ(x), ϕ(y)) = ckx−yk = d(x, y) allora ϕ traforma insiemi in altri geometricamente simili e ϕ prende il nome di similitudine (o contrazione similare).
In altre parole, una mappa ϕ `e una contrazione se soddisfa la definizione di funzione di Lipschitz con una costante c < 1. Secondo il principio di contrazione, che ”vive” nel contesto degli spazi metrici completi (ovvero uno spazio metrico dove ogni successione di Cauchy `e convergente), ϕ ha un unico punto fisso ¯x, cio`e esiste ¯x che soddisfa l’equazione:
¯
x = ϕ(¯x) (2.1)
Questo risultato viene enunciato e dimostrato nel Teorema di Banach-Cacciopoli come segue.
Teorema 2.1 (Banach-Cacciopoli (o delle contrazioni)). Sia (E, d) uno spa- zio metrico completo non vuoto. Sia ϕ: E → E una mappa tale che d(ϕ(x), ϕ(y)) ≤ cd(x, y) ∀ x,y ∈ E con c < 1.
Allora esiste ed `e unico un punto ¯x t.c ¯x=ϕ(¯x).
Dimostrazione. esistenza:
Sia x0∈ E un punto qualunque. Si costruisce la successione xk per ricorrenza,
ponendo xk+1 = ϕ(xk). Ovvero: x1 = ϕ(x0), x2 = ϕ(x1)...
Sfruttando la metrica d e la propriet`a di contrazione appena definita si valuta la distanza tra due punti successivi xk, xk+1 come segue:
2.1. CONTRAZIONI E INSIEMI AUTOSIMILARI 23
Da questo si ricava facilmente che xk `e una successione di Cauchy e dunque
converge(lo spazio metrico `e completo): xk → ¯x. Vediamolo:
Si prendono due numeri n, m naturali t.c m ≤ n e attraverso la disugua- glianza triangolare e la propriet`a di cui sopra si ha
d(xm, xn) ≤ d(xn−1, xn)+d(xm, xn−1) ≤ n−1 X i=m d(xi+1, xi) ≤ n−1 X i=m cid(x1, x0) = d(x1, x0) n−1 X i=m ci = d(x1, x0) n−m−1 X i=0 ci+m = d(x1, x0)cm n−m−1 X i=0 ci ≤ d(x1, x0)cm 1 1 − c
L’ultima disuguaglianza `e ottenuta portando fuori cm e maggiorando con la somma della serie geometrica che converge per n −→ ∞ in quanto il termine generale `e compreso tra 0 e 1. Quindi per m ≤ n si ha che:
d(xm, xn) ≤ d(x1, x0)cm
1
1 − c −→m→∞ 0
La successione (xk) `e dunque convergente e per il criterio di Cauchy delle
successioni essa `e di Cauchy. Essendo lo spazio metrico completo, vale anche il viceversa, ovvero ho la garanzia dell’esistenza del limite xk −→ ¯x. Allora
essendo ϕ continua (perch`e `e lipschitziana) ed essendo ϕ(xk) = xk+1 → ¯x si
ha che
¯
x ← xk+1 = ϕ(xk) → ϕ(¯x)
Dunque esiste un punto fiso: ϕ(¯x) = ¯x. unicit`a:
Se ora si avesse ϕ(¯y) = ¯y con ¯y 6= ¯x, si avrebbe
d(¯x, ¯y) = d(ϕ(¯x), ϕ(¯y)) ≤ cd(¯x, ¯y) < d(¯x, ¯y)
Assurdo. Dunque ¯x `e l’unico punto fisso.
Osservazione 8. Importante `e osservare che una contrazione porta s`ı punti in punti, ma anche insiemi in insiemi; ed essendo continua, porta compatti in compatti ( immagine di compatto tramite funzione continua `e un compatto).
24 CAPITOLO 2. L’ AUTOSIMILARIT `A
Premessa
Perch`e si parla di compatto? Perch`e come vedremo l’insieme autosimilare `e un compatto (fisso).
Usando la distanza di Hausdorff, che permette di misurare la distanza tra compatti di uno spazio metrico, se f `e una contrazione da uno spazio me- trico in s`e, allora la funzione F, definita da F(K) = {f(x), x ∈ K} per ogni compatto K, `e una contrazione dallo spazio dei compatti in s`e rispetto alla distanza di Hausodorff. Siccome lo spazio dei compatti di uno spazio metrico completo `e a sua volta completo una volta che vi si consideri la distanza di Hausdoff, `e possibile applicare il teorema delle contrazioni ad F, e dedurre cos`ı l’esistenza di un unico ”compatto fisso” K, tale che F(K) = K. Se per`o, invece di avere una sola contrazione f, ne abbiamo due, siano esse f e g, al- lora risulta essere una contrazione (sullo spazio dei compatti, e rispetto alla distanza di Hausdorff) la funzione F(K) = f(K) ∪ g(K). Le contrazioni ge- nerano come compatto fisso un insieme autosimilare (definizione che segue), o generano un compatto fisso che approssima bene (nel senso della distanza di Hausdorff) un insieme ”reale” come un albero o una felce.
Definizione 2.2. Sia n ≥ 2 un numero naturale e sia {ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕn}
un’insieme di contrazioni definite su Rn. Diciamo che un insieme V 6= ∅,
compatto in Rn (gli insiemi compatti di Rn sono solo i chiusi e limitati) `e
autosimilare o invariante per le funzioni ϕi se soddisfa
V =
n
[
i=1
ϕi(V ) (2.2)
Esempio 8. Consideriamo l’insieme di Cantor C : C0 = [0, 1] C1 = [0,13] S [23, 1] C2 = [0,19] S [29,13]S [23,79]S [89, 1] .. . C = T k≥0Ck. oppure...
2.1. CONTRAZIONI E INSIEMI AUTOSIMILARI 25 C = C 3 S ( C 3 + 2 3) Posto ϕ1(x) = x 3, ϕ2(x) = x 3 + 2 3 e ϕ(x) = ϕ1(x) ∪ ϕ2(x) risulta C = ϕ(C)
C `e dunque invariante per le mappe ϕ1 e ϕ2.
Ora sia K(Rn) l’insieme di tutti gli insiemi compatti non vuoti di Rn(spazio
metrico). Preso A ∈ K(Rn) poniamo:
N(A) = {x ∈ Rn; dist(x, A) ≡ miny∈A|x − y| ≤ }
e diciamo che N(A) `e l’-collare di A.
Definizione 2.3 (Distanza di Hausdorff). Siano A,B ∈ K(Rn)
dH(A, B) = min≥0{A ⊂ N(B), B ⊂ N(A)}
K(Rn) con questa distanza diventa uno spazio metrico.
Teorema 2.2. Con la distanza di Hausdorff dH, K(Rn) diventa uno spazio
metrico completo
Dimostrazione. Sia {Ai} una successione di Cauchy arbitraria in K(Rn) tale
che per ogni > 0 possiamo scegliere un m ≡ m() abbastanza grande con dH(Ap, Aq) ≤ per ogni coppia di interi p e q, p ≥ q ≥ m. Dobbiamo far
vedere che la successione {Ai} converge rispetto alla distanza di Hausdorff a
un punto di K(Rn). Poniamo Ek = ∞ [ i=k Ai
26 CAPITOLO 2. L’ AUTOSIMILARIT `A
Ogni Ek `e un’insieme compatto. Dato che la successione {Ek} `e monotona
decrescente, l’insieme E = ∞ \ k=1 Ek
appartiene a K(Rn). Da qui segue che
E ⊂ Eq= ∞
[
i=q
Ai ⊂ N(Aq).
Dall’altro lato, dato x ∈ Aq, esistono punti yp ∈ Ap tali che kx - ypk ≤ , per
ogni intero p, p ≤ q, perch`e Aq N(Ap). Se z `e un punto di accumulazione
della successione {yp}, abbiamo che kx - zk ≤ . Inoltre, per ogni p ≥ k
abbiamo
yp ∈ Ap ⊂ Ep ⊂ Ek,
e Ek`e compatto, otteniamo che z ∈ Eke dato che k era arbitrario ci`o implica
che z ∈ E. Quindi abbiamo che
x ∈ N({z}) ⊂ N(E).
Cos`ı dH(E, Aq) ≤ e cio`e la successione {Ai} converge a E.
Grazie a questo risultato, come accennato nella premessa, si dimostra che l’insieme autosimilare `e unico.
Teorema 2.3. Data una famiglia di n contrazioni {ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., ϕn}, n ≥
2 numero naturale, esiste un unico insieme autosimilare V.
Dimostrazione. Definiamo prima una mappa φ : K(Rn) → K(Rn) tale che:
φ(A) =
n
[
i=1
ϕi(A)
Le ϕi(A) sono le immagini di A tramite le contrazioni al variare di i. Per
quanto visto e dimostrato in topologia, l’ immagine di un insieme compat- to tramite funzione continua `e un compatto e l’unione finita di compatti `e compatta (siano K1,..., Km insiemi compatti, un ricoprimento di aperti U di
2.1. CONTRAZIONI E INSIEMI AUTOSIMILARI 27
S
iKi ricopre ogni singolo Ki che per compattezza esiste una famiglia finita
Ui ⊆ U che ricopre Ki e l’unioneSiUi`e un sottoricoprimento finito diSiKi.
Di conseguenza φ(A) `e compatto. In quanto K(Rn) dotato della distanza di Hausdorff `e uno spazio metrico completo , per applicare il teorema delle con- trazioni e dimostrare l’esistenza di un unico compatto fisso A t.c φ(A) = A (l’ insieme autosimilare V), rimane da dimostrare che φ `e una contrazione su K(Rn). Allora dimostriamo che φ `e una contrazione. Presi A0, A1, A2, A3 ∈
K(Rn) insiemi arbitrari, essi godono delle seguenti propriet`a: • dH(ϕi(A0), ϕi(A1)) ≤ c(ϕi)dH(A0, A1)
• dH(A0∪ A1, A2∪ A3) ≤ max{dH(A0, A2), dH(A1, A3)}
Per provare la prima propriet`a, poniamo s = dH(A0, A1); poi per ogni x ∈
A0 esiste un certo y ∈ A1 tale che kx − yk ≤ s. Questo implica che
kϕi(x) − ϕi(y)k ≤ c(ϕi)kx − yk ≤ c(ϕi)s
e quindi ϕi(x) ∈ Nt(ϕi(A1)), dove scriviamo per semplicit`a c(ϕi)s = t. Da
questo otteniamo che ϕi(A0) ⊂ Nt(ϕi(A1)), dato che si `e scelto x in modo
arbitrario. Con lo stesso procedimento si ottiene l’altra inclusione.
Per dimostrare la seconda propriet`a poniamo s = dH(A0, A2) e t = dH(A1, A3),
l’inclusione A0 ⊂ Ns(A2) e A1 ⊂ Nt(A3) danno le inclusioni: A0 ∪ A1 ⊂
Ns(A2) ∪ Nt(A3) ⊂ Nr(A2∪ A3) dove r = max {s, t}. La seconda inclusione
si ottiene dal medesimo procedimento.
∀ A, B ∈ K(Rn) e la ripetuta applicazione della seconda propriet`a si ottiene
dH(φ(A), φ(B)) = dH n [ i=1 ϕi(A), n [ i=1 ϕi(B) ≤ max 1≤i≤ndH(ϕi(A), ϕi(B)).
Dalla prima propriet`a:
≤ max
1≤i≤nc(ϕi)dH(A, B)
da cui otteniamo la disuguaglianza
max
1≤i≤nc(ϕi) < 1
28 CAPITOLO 2. L’ AUTOSIMILARIT `A