Per nodo si intende un’immersione della circonferenza S1 in R3.
Due nodi si dicono isotopi se uno viene trasformato nell’altro da un’omotopia θ : R3 × [0, 1] → R3 tale che, ponendo θt(x) = θ(x, t), si ha che θt : R3 → R3 `e un
Un nodo si dice tame se `e isotopo ad un nodo ottenuto da un’unione finita di segmenti, altrimenti si dice wild. Nel seguito ci interesseremo soltanto ai nodi tame e per brevit`a con la parola nodo intenderemo un nodo tame.
Chiameremo ramo di un nodo una sua parte costituita dall’immagine di un intervallo. Fissiamo un nodo e consideriamo una sua proiezione su un piano. Senza perdita di generalit`a possiamo prendere come proiezione p : R3 → R2, p(x, y, z) = (x, y).
Chiamiamo diagramma del nodo una proiezione, insieme ad una indicazione su quale ramo passa sopra e quale passa sotto agli incroci, che verifica le seguenti condizioni.
• p−1(x, y) `e un insieme contenente al pi`u due punti del nodo.
• I punti che sono immagine di due punti del nodo sono in numero finito. Chiameremo incroci tali punti.
• Per ogni incrocio V e per ogni coppia di rami del nodo senza punti in comune ma le cui proiezioni hanno V in comune, i punti che sono immagine di un ramo del nodo attraversano l’immagine dell’altro ramo del nodo.
• Ad ogni incrocio V associamo l’informazione su quale dei due rami del nodo passa sopra e quale passa sotto confrontando la coordinata z dei rispettivi punti in p−1(V ). Da un diagramma di un nodo con almeno un incrocio possiamo derivare un grafo gaussiano in modo ovvio dimenticandoci delle informazioni agli incroci e prendendo come vertici gli incroci e come archi le componenti connesse del complementare degli incroci.
Un diagramma di un nodo `e detto alternante se, percorrendo un qualsiasi ramo del nodo, esso passa alternativamente sopra e sotto ad ogni incrocio. Un nodo `e detto alternante se ammette un diagramma alternante.
Notiamo che ogni grafo gaussiano (e quindi ogni grafo Sona) corrisponde al diagramma di un nodo alternante. Grazie al Teorema di Gauss 3.3 sappiamo infatti che la lunghezza di ogni sottocammino chiuso di un ciclo gaussiano `e dispari. Etichettare i vertici nella successione di un ciclo gaussiano alternando le etichette passa sopra-passa sotto quindi `e un’operazione ben definita. Infatti se incontrando la prima volta un vertice nella succes- sione usiamo l’etichetta passa sopra, la seconda volta che lo incontreremo dovremo usare l’etichetta passa sotto, e viceversa.
Otteniamo dunque che al diagramma di un nodo corrisponde un grafo gaussiano, il quale corrisponde anche al diagramma di un nodo alternante (nonch´e, banalmente, ad un diagramma del nodo banale).
Consideriamo il diagramma di un nodo e il grafo gaussiano ad esso associato. Pren- diamo un grafo Sona isomorfo al grafo gaussiano condiderato e la linea della curva di riflessione da cui deriva. Dotiamo le autointersezioni della linea delle informazioni “passa sopra-passa sotto” corrispondenti sul diagramma del nodo. Abbiamo ottenuto un modo equivalente di rappresentare il nodo.
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