§ 2 AMES, il modello e le ipotesi sottostanti
2.2 Struttura del modello AMES
2.3.1 DC-OPF in AMESMarket
La formulazione del problema DC-OPF per il mercato elettrico all’ingrosso modellato con il software AMESMarket richiede informazioni dettagliate sulla griglia di trasmissione (Transmission grid), sulla delle Load-Serving Entities e sull’offerta di potenza elettrica dei Generators, per ogni ora del giorno.
2.3.1.1 Transmission grid
Il network su cui risiedono gli agenti produttori e acquirenti del mercato è costituito da una griglia di trasmissione in corrente alternata, su un network trifase costituito da un numero di noti pari a H F 2 e un numero di rami, o collegamenti fra nodi, pari a F 1. Si assume che valga la legge di Kirchoff delle correnti per ogni ora della giornata.
Ogni ramo è caratterizzato da un valore di reattanza totale che tiene conto della lunghezza del collegamento stesso e da un limite di potenza massima che può essere sopportata dalla singola linea.
Non vi è la possibilità di modellare nodi isolati, ciò significa che ogni nodo della griglia di trasmissione deve necessariamente essere collegato ad almeno un altro nodo. Gli agenti-operatori del mercato sono disseminati sui nodi secondo le necessità dell’utente che effettua la simulazione, ogni nodo può ospitare uno o più agenti, ma è anche possibile decidere di non posizionare alcun operatore su specifici nodi. Caratteristica fondamentale di ciascun nodo è il locational price, calcolato dal gestore del mercato elettrico per ogni nodo e per ogni ora del giorno, risolvendo il problema di Optimal Power Flow.
Ulteriori dettagli tecnici sulla griglia di trasmissione possono essere ricavati nel working paper di Tesfatsion e Sun [2007d].
2.3.1.2 Loading-Serving Entities
Gli acquirenti di energia elettrica, detti Load-Serving Entities (LSEs), forniscono al gestore del mercato elettrico il proprio profilo di carico reale, sono modellati come attori che non producono energia e che l’acquistano necessariamente dai Generators.
2.3.1.3 Generators
I Generators sono le unità produttrici di energia elettrica del mercato, essi vendono esclusivamente alle Load-Serving Entities e sono caratterizzati, ciascuno, da una specifica tecnologia di produzione indicata da una funzione di costo. La potenza elettrica M6 che ciascuna unità di produzione N può erogare è compresa fra un limite minimo M6K ed un limite massimo M6O:
(5) M6K P M6P M6O
La funzione di costo è di tipo quadratico: (6) 56 Q6· S6· TUV6
In cui 56, espresso in $/Y, rappresenta i costi totali del Generator N per una potenza erogata pari a , espressa in Z[; TUV6 indica i costi fissi espressi in $/Y, mentre i coefficienti Q6 e S6 sono rispettivamente espressi in $/Z[Y e $/Z[Y.
Dalla funzione di costo è possibile calcolare i costi 560 nel caso di potenza erogata pari a zero, i costi variabili totali 5\6 e la funzione di costo marginale Z6:
(7) 560 TUV6
(8) 5\6 Q6· S6·
(9) Z6 Q6 2 · S6·
All’inizio di ogni iterazione della simulazione, ogni unità di produzione invia una curva di offerta che consiste in una funzione di costo marginale “riportata” e limite minimo e massimo di produzione di potenza elettrica, i quali possono differire da quelli effettivi, data la tecnologia di produzione.
2.3.1.4 Risoluzione del problema di Optimal Power Flow
2.3.1.4.1 Normalizzazione delle variabiliAl fine di ridurre problemi di instabilità numerica, le variabili del modello AMES sono automaticamente normalizzate in modo che ogni grandezza sia espressa in termini di “valore per unità” (per unit normalization).
Primariamente è necessario ricordare che data un’impedenza ] √$1, in cui e sono rispettivamente la resistenza e la reattanza espresse in UY_, è possibile calcolarne l’ammettenza ` 1 ]a b S√$1, in cui y è semplicemente l’inverso dell’impedenza, b a è detta conduttanza e S $ a è detta suscettanza.
Dato un ramo _ della griglia di trasmissione elettrica, il quale connette due nodi distinti e _, è possibile effettuare una normalizzazione delle variabili, così come descritto in Tesfatsion [2007d]. Si considerino la potenza reale Jc, espressa in Z[, e la potenza reattiva, espressa in Z\de, su tale ramo _; si indichino inoltre la potenza elettrica, espressa in \, in ciascun nodo con
\ e \c, gli angoli di voltaggio f e fc in radianti e, infine la conduttanza bc e la suscettanza Sc
per il ramo _, espresse in _YUV. La potenza reale e la potenza reattiva possono essere espresse con (10) Jc \bc$ \\c#bccosf$ fc ScVNjf$ fc&
(11) kc $\Sc$ \\c#bcsinf$ fc $ ScmUVf$ fc&
In Kirschen e Strabac [2004] e McCalley [2006], ipotizzando che la resistenza c per ogni
ramo _ sia trascurabile rispetto alla reattanza c, che il potenziale elettrico sia pari alla base voltage \n per ogni nodo e che le differenze di voltaggio f$ fc siano sufficientemente piccole, la potenza reale e la potenza reattiva possono più semplicemente essere espresse con:
(12) Jc \n /opf$ fc (13) kc 0
Per esprimere delle grandezze fisiche in termini adimensionali, è sufficiente dividere per la grandezza in esame per un valore di base che abbia la sua stessa dimensione. Date la base voltage \n
(in \) e la potenza apparente di base qn (in Z\d, l’impedenza di base rn può essere definita come: (14) rn stu
vt
A questo punto è possibile normalizzare le variabili del problema di Optimal Power Flow rendendole adimensionali:
(15) c w op
xt reattanza
(16) Sc w $op/ yz suscettanza (17) Tc {p
vt |cf$ fc flusso di potenza reale (18) JM6 y}4
vt potenza immessa dal Generator
(19) JK y~
vt potenza richiesta dalla LSE (20) 56JM6 d6· JM6 |6· JM6 FCost6 costi totali
(21) 5\6JM6 d6· JM6 |6· JM6 costi variabili totali
dove:
(22) d6 Q6qn coefficiente della 5 espresso in $/h (23) |6 S6qn coefficiente della 5 espresso in $/h
Infine si assume che l’angolo di voltaggio sia normalizzato a 0 per il nodo 1.
2.3.1.5 DC Optimal Power Flow standard con variabili adimensionali
Effettuata la normalizzazione delle grandezze fisiche, il problema di Optimal Power Flow in corrente continua può essere espresso con la seguente funzione obiettivo da minimizzare:
(24)
∑ ∑
= = ⋅ + ⋅ = I i G i G i I i G i Pi A Pi B Pi TVC 1 2 1 ) (Con rispetto al livello di potenza reale erogata da ciascun Generator e agli angoli di voltaggio:
i
G
P
, i=1,...,I; δk, k =1,...,K;condizionatamente ai vincoli di bilancio di potenza reale per ogni nodo k =1,...,K: (25) JUQ J j$ J j m
dove:
(26) JUQ ∑pJK
(27) J j ∑6pJM6
(28) J j m ∑c c Tc con BR (Branch Flow): tutti i rami del
network
(29) Tc |cf$ fc
Devono infine valere i seguenti vingoli termici, di produzione su ogni ramo e l’ipotesi sull’angolo di voltaggio al nodo 1:
(30) |Tc| P TcO
(31) JM6K P JM6 P JM6O
(32) f/ 0
Attraverso la sostituzione degli angoli di voltaggio con i vincoli di bilanciamento di potenza ad ogni nodo, è possibile risolvere il problema di Optimal Power Flow, tuttavia tale metodo non permette di calcolare direttamente i prezzi ad ogni nodo del network. Questo ostacolo è stato risolto utilizzando, per il modello AMES, un’altra funzione obiettivo “aumentata”.
2.3.1.5.1 Problema DC OPF in forma aumentata
Con il fine di ottenere una risoluzione del problema di Optimal Power Flow che permetta di calcolare direttamente i prezzi marginali, il modello AMES richiede la minimizzazione, rispetto a JM6, di una funzione obiettivo “aumentata” con la differenza fra gli angoli di fase, moltiplicati per un coefficiente . Relativamente bassi angoli di fase f$ fc permettono di approssimare un problema di Optimal Power Flow in corrente alternata (AC OPF) con un problema in corrente continua (DC OPF), per tale motivo, il termine può essere considerato come un coefficiente di penalità introdotto sulla differenza fra gli angoli di fase f$ fc.
Il programma di minimizzazione su cui si basa il modello AMES è pertanto il seguente: Minimizzare la funzione obiettivo “aumentata”:
(33) ∑ d6JM6 |6JM6 #∑ fc ∑ f fc c,
/c &
6/
dato il seguente vincolo di bilancio di potenza:
(34) ∑6pJM6$ ∑c c |cf$ fc ∑pJK
e dati i seguenti vincoli sulla griglia di trasmissione: (35) $|cf$ fc F $TcO
(36) |cf$ fc F $TcO
(37) JM6 F JM6K