4.2 Il problema della velocit` a
5.1.1 De analysi per aequationes numero terminorum infinitas
Il De analysi per aequationes numero terminorum infinitas fu pubblicato nel 1711, ma cominci`o a circolare tra gli amici dello scienziato inglese a par- tire dal 1669. In questo testo monografico Newton ancora non fa uso della notazione che poi adotter`a nel suo metodo delle flussioni, anzi, ancora non usa nemmeno la terminologia tipica dei suoi lavori successivi. Egli estende l’applicabilit`a dei metodi trovati in Barrow w Ferma attraverso il suo teore- ma del binomio.
Newton introduce il concetto di infinitamente piccolo, sia geometricamente che analiticamente, utilizzando l’idea di un rettangolo indefinitamente picco- lo e ottiene la quadratura delle curve nel modo seguente:
Sia tracciata una curva in modo tale che per l’ascissa x e l’ordinata y l’area sia z = n m + m axm+nn .
Sia o il momento o incremento infinitesimo sull’asse delle ascisse. Il nuovo valore sulle ascisse sar`a dunque x + o e l’area sar`a diventata
z + oy = n m + m a(x + o)m+nn .
Applicando il teorema del binomio, dividendo per o e poi annullando tutti i termini contenenti o18. Il risultato sar`a allora y = axmn.
E dunque, se l’area sottesa alla curva `e
z = n m + m axm+nn .
18Questo `e un passaggio molto delicato e controverso: Newton prima divide per o,
assumendo quindi o 6= 0, ma poi fa tendere o a valori infinitamente piccoli, annullando quindi tutti i termini che si moltiplicano per o, come se all’infinito fosse effettivamente o = 0.
la curva sar`a y = axmn19.
Mentre data una curva y = axmn, sar`a possibile ottenere l’area20
z = n m + m axm+nn .
In questo modo Newton, considerando l’incremento dell’area, risolve quel- lo che in analisi moderna viene detto integrale indefinito. In precedenza l’integrazione veniva considerata soltanto come limite di una somma in un intervallo. Centrale in questo procedimento `e la determinazione dell’incre- mento, cio`e alla base del metodo di integrazione c’`e la derivazione. Newton fu il primo a trovare un metodo generale per calcolare le derivate e un metodo per ricondurre i problemi di somme alla derivazione. In precedenza veniva fatto esattamente l’inverso: i problemi di calcolo di tangento venivano ricon- dotti alla quadratura delle curve.
Sebbene il De Analysi contenga molti dei metodi essenziali alla base del calcolo, Newton non fornisce alcuna giustificazione rigorosa. Si tratta di una spiegazione piuttosto che di una dimostrazione, quindi nessun concetto viene chiarito con cura. Possiamo soltanto dedurre che nell’operazione di integrazione precedentemente descritta l’ordinata y rappresenta la velocit`a dell’incremento dell’area, mentre sulle ascisse x troviamo il tempo. New- ton considerava appartenenti alla metafisica tutti i problemi legati al moto, questa `e una ragione per cui inizialmente evit`o ogni tentativo di definizione troppo rigorosa e limitativa.
5.1.2
Methodus fluxionum ed serierium infinitarum
Il Methodus fluxionum ed serierium infinitarum, che viene fatto risalire al 1671, `e decisamente pi`u estese e per certi versi pi`u completo. Questo trattato, pubblicato soltanto nel 1736, introduce la notazione caratteristica dei testi successivi e i concetti basilari del calcolo delle flussioni di Newton. Fondamentalmente nel sistema di Newton diventa il concetto di moto, stret- tamente legato al concetto intuitivo di tempo e quindi considerato primitivo, tanto che non necessita di alcuna definizione. Newton chiama flussione la velocit`a di generazione della quantit`a variabile detta fluente. Se denotiamo con x e y le quantit`a fluenti, allora le flussioni saranno denotate con ˙x e ˙y21.
19Questa `e una operazione di derivazione. 20Questa `e una operazione di integrazione.
21Nella notazione Newtoniana a partire dal 1691, una flussione `e denotata da una lettera
5.1 Il metodo delle flussioni 55
In analisi moderna una flussione `e semplicemente la derivata prima della fun- zione considerata. Ovviemente Newton considerava anche flussioni di grado superiore denotandone con un ulteriore punto al di sopra della lettera, ad esempio ¨x e ¨y sono le flussioni di ˙x e ˙y, a loro volta flussioni di x e y.
Nel Methodus Fluxionum Newton enunci`o chiaramente il problema fonda- mentale del calcolo: data una relazione tra le quantit`a fluenti, stabilire la relazione tra le relative flussioni, e viceversa. Seguendo il metodo di Newton, si considera la relazione y = xn. La soluzione viene ottenuta con un meto-
do che si discosta leggermente ma in mondo fondamentale da quello del De Analysi. Sia o un intervallo di tempo infinitamente piccolo, siano ˙xo e ˙yo gli incrementi infinitesimi, o momenti, delle quantit`a fluenti x ed y. Tornando a y = xn, sostituiamo x con x + ˙xo e y con y + ˙yo. Infine, in modo analo- go a quanto descritto nel De Analysi, applichiamo il teorema del binomio, cancelliamo tutti i termini non contenenti o e dividiamo tutto per o.
y = xn y + ˙yo = (x + ˙xo)n ˙ y = (x + ˙xo)n .. . ˙ y = nxn−1˙x.
I cambiamenti di notazione non influenzano sostanzialmente i precedenti ri- sultati, ma eliminano le difficolt`a, secondo Newton, della dottrina degli indi- visibili utilizzando il concetto molto pi`u intuitivo di moto. In questa prima formulazione del metodo delle flussioni, resta tuttavia ancora molto incerto il concetto di limite. Newton tratta le flussioni come quantit`a evanescenti, perch´e ad un certo punto i termini sono infinitamente piccoli, ma, poich´e di fatto le flussioni sono sempre in rapporto tra loro, serve una pi`u rigorosa definizione di limite per evitare incertezze nel procedimento22.
Resta comunque il fatto che Newton, a partire dal 1666, gi`a possedeva le regole generali del calcolo infinitesimale. Pi`u tardi, intorno al 1671, inizi`o ad utilizzare un metodo molto evolutivo per trattare i problemi di calcolo delle tangenti e delle quadrature, dando vita al primo sistema strutturato di calcolo di integrali e derivate nella storia della matematica.
ma di quella data Newton utilizzava una notazione molto scomoda, con lettere dell’alfabeto diverse per indicare le fluenti e le relative flussioni.
22Si sta criticandola leggerenza con la quale Newton prima considera o un divisore e poi